Музыкальная наука

Эта статья в обозримое время появится в электронной версии БРЭ, но до того размещу ее здесь.

---

ОБЕРТО́Н (нем. Oberton, букв. – верхний тон, верхний звук), призвук, входящий в спектр муз. звука; звучит выше основного тона. Наличие обертонов обусловлено сложным колебанием звучащего тела (вибратора), которое является наложением (суперпозицией) простых колебаний (см. в ст. Спектр звука). В физике понятие осн. тона и О. иногда распространяется на сложные периодич. колебания любой природы (в т.ч. электрические).
Количество и распределение О. по высоте и интенсивности в значит. мере определяют тембр (окраску) звука и зависят от формы вибратора, его упругости, физич. характеристик резонаторов и др. Обертоны вместе с осн. тоном называются частичными тонами (нем. Teilt͗one, Partialt͗one); 1-й частичный тон равен осн. тону, 2-й – первому О. и т.д. Если частоты последовательных О. кратны частоте осн. тона (образуют вместе с ним натуральный звукоряд или его начальный участок), то такие ...

Это для математиков и/или программистов. В связи с тем, что я написал тут: http://www.forumklassika.ru/showpost...5&postcount=80

Итак, кто способен решить следующую задачу - найти "обратную функцию", которую я там упомянул.

Точная формулировка задачи. Используя целые константы, четыре арифм. действия, а также операции возведения в степень и вычисления остатка от деления написать формулу f(i), которая для порядковых номеров клависов (ступеней) обычной белоклавишной диатоники (считая от C=0, т.е. C=0, D=1, E=2 и т.д.) вычисляет количество квинтовых шагов до соотв. ступени, считая от C: т.е. f(0)=0 (C), f(1) = 2 (D), f(2) = 4 (E), f(3) = -1 (F) и т.п.

Функция НЕ должна быть интерполяционным многочленом, типа Лагранжа (это-то тривиально, понятно).

Призов не будет, но всё равно .

Я вот решил продолжить некие интернет-обзоры для интересующихся - в продолжение темы "музыка и другие естественные науки".

Вот рекомендую книгу
Music: A Mathematical Offering, by Dave Benson (большой PDF-файл, больше 500 страниц).

Крайне дельный и достаточно внятный обзор математических основ акустики, теории кон- и диссонанса, обзор исторических темпераций с таблицами и картинками, математические и компьютерно-музыкальные аспекты. Ясно, просто, живо и интересно.

Также здесть прилагаю копипастой фрагмент этой книги (может быть, это станет "традицией" моего бложика тут), интересного независимо ни от чего.
Это знаменитая "таблица характеров тональностей" (одна из "последних" в свете барочно-классической музыкальной науки) К. Ф. Д. Шубарта (1739-1791); английский тут наверное больше народу читает, чем немецкий, потому и привожу. Ну, а кто не знает, кто это такой Шубарт, легко найдет в интернетах.

...

Внимание! Этот пост предназначен прежде всего для лиц с математическим образованием. (Замечания для "нематематиков" - специально чуть ниже).

Предлагаю ознакомиться с некоторыми статьями (PDF) Т. Нолля (Thomas Noll), одного из редакторов журнала Journal of Mathematics and Music. вот по этой ссылке:
user.cs.tu-berlin.de/~noll

Внимание! Все ссылки ниже - на PDF файлы.

Особенно интересной показалась статья
''Sturmian Sequences and Morphisms: A Music-Theoretical Application (вторая в списке). Неожиданный (для меня) чисто алгебраический подход (т.е. без какой-либо "акустики" и чисел, хотя в качестве иллюстрации возникают (полу)подходящие дроби. Совершенно неожиданно, помимо прочего, двойственность Кристоффеля как бы объясняет "порождение" "диатонических" ладов, причем с их финалисами и кофиналисами, разделением на плагальные и автентические (и дано алгебраическое объяснение "вырожденности" ...

Вот нечто пришло в голову, постараюсь изложить это "общедоступным языком". Это всё "просто так", на уровне исключительно математических замечаний, не имеющих какого-то отношения к "перцептивно-акустическим" вещам.

Напомню, что число называется (классически) построимым, если оно может быть построено с помощью циркуля и линейки, т.е. существует геометрическое построение к произвольному заданному отрезку (с помощью циркуля и линейки) отрезка, отношение (длины) которого к данному равно заданному числу.

На математическом языке построимые числа (с точностью до знака) совпадают с квадратично-рациональными (поле квадратично-рациональных чисел - минимальное подполе вещ. чисел, замкнутое относительно операции извлечения квадратного корня). Краткая идея доказательства (схема Ванцеля): построение циркулем и линейкой на языке координат не выводят за пределы систем квадратных и линейных уравнений; и наоборот, для любой цепочки элементов квадратичных ...

Что-то я совсем уж в своей деятельности на зарабатывание честного трудового доллара отвлекся от музыкальных публикаций up-to-date. А между тем относительно недавно была выставлена довольно интересная - очередная - гипотеза реконструкции "баховской" темперации для "Хорошо темперированного клавира". Гипотеза состоит в том, что ключ можно найти в ... виньетке, украшающей титульный лист автографа WTC ("первого тома"). Да-да, не возмущайтесь, в первый момент и мне эта гипотеза показалась совершенно дикой, но... Все же нерегулярность вида виньетки, если в нее всмотреться, обращает на себя внимание. 11 петелек, с внутренними "одинарными", "двойными" петельками и без внутренних петелек вообще наводит на мысль об умышленности. "Просто" красивая виньетка могла бы быть нарисована по-другому, особенно если мы посмотрим на другие "регулярные" украшения рукописей. Вопрос только в интерпретации - говорит ли это за количество биений ...