Является ли диатоника природным феноменом разделения октавы на семь ступеней?

[rar]

Угу, и Никомах при деле...

Это "природно" или нет?

И на неправильный вопрос можно дать правильный ответ! Когда знаешь. За что и спасибо!

Т.е., коротко говоря, квинта внутри октавы "естественно" производит ступени звукоряда, и "естественным" первым приближением (на уровне тонов и диатонических полутонов) такого деления является диатоника.

Так с коньяком как-будто разобрались?
Вообще такое ощущение, что все это, может без фразы о персональной ответственности логарифма, в каком-то учебнике, не слишком узкоспец... А мозги темперировали скока - 10 дней...

Акустически можно типа "объяснить и так".

А что - "так" оно и понятней!
Все-таки - интересно: как соотносятся по времени появления трактаты о сальто квинт и о разложении ответственного логарифма?

[Zub01]

Я это и имел ввиду, когда говорил, что натуральный звукоряд лежит в основе всех ладов.

Это очень размытая формулировка, мало что говорящая. Вообще любой интервал m/n можно свести к "натуральному звукоряду" по той простой причине, что он встречается в ряду гармонических обертонов (интервал между гармониками с номерами n и m ). К тому же лад - это нечто более конкретное, чем "звуковысотная" (интервальная) система, и с таким же успехом можно говорить, что "в основе музыки лежат звуки". "Основой" (квинтовой) диатоники, ее "строительным кирпичиком", производящей, является квинта - второй по "созвучности" после октавы интервал. И ключ именно в этом, как именно квинта производит остальные интервалы. Ну а то, что квинта - интервал между 1-м и 2-м обертонами, этого еще мало, для того, чтобы "натуральный звукоряд" (физико-математическая абстракция, состоящая из частот, кратных заданной) был "в основе" звуковысотной системы того или иного интервального рода. Но впрочем, особо тут спорить не о чем , т.к., говорю, вообще всё можно свести к натуральному звукоряду, поскольку он "содержит" все целые (и рациональные) числа.

Любопытно, выходит полутон "естественный" интервал между ближайшими звуками? Спасибо за подробное разъяснение!

На "данном" уровне приближения (диатонический полутон) - да (он получается как "хвостик" до кварты, заполненной 2-мя целыми тонами, а целый тон, в свою очередь - это разность кварты и квинты). В терминах квинтовой цепочки (скажем, E-A-D-G-C-F - здесь последовательно откладываются квинты вниз (или кварты вверх) с переносом в одну общую октаву) этот интервал возникает на 5-м квинтовом шаге (вниз). В известном смысле это явление "обосновывает" пентатонику - как "максимально возможный" звукоряд, звуки которого могут быть расположены в цепочку квинт, и между соседними звуками которого (снесенными в общую октаву) расстояния - не менее целого тона.

Такой звукоряд "максимален" потому, что его квинтовую цепочку нельзя продолжить дальше, чем на 5 ступеней, например, вот цепочка из 4-х квинт:

E-A-D-G-C (тут пишу по квинтам вниз)

Тогда, если снести в одну октаву и расположить звуки по высоте, например - получится C,D,E,G,A - пентатоника. Дальше, "новыми шагами", квинтовую цепочку продолжить нельзя, т.к. иначе возникнет полутон (E-F или H-C - в зависимости от того, в какую сторону продолжать указанную цепочку квинт).

Но есть одна тонкость: нужно не забывать, что кроме такого диатонического полутона (лиммы), в квинтовом строе есть еще и хроматический полутон, или апотома (это разность целого тона и лиммы). То есть, еще раз, если производить интервалы от акустически чистой квинты (3/2) и октавы (2/1), получится:

кварта = октава - квинта
целый тон = квинта - кварта
лимма = кварта - два целых тона
апотома = целый тон - лимма

Вычисления показывают, что апотома шире лиммы, и она возникает на 7-м квинтовом шаге вверх, например:
C-G-D-A-E-H-Fis-Cis

И вот, интервал C-Cis - это апотома, или хроматический полутон, который шире лиммы, или диатонического полутона. Лимма от C - это будет интервал C-Des (проверим: 5 квинтовых шагов вниз: C-F-B-Es-As-Des).

Проще говоря, диатонический полутон (лимма) соответствует малой секунде (E-F, F-Ges, Cis-D), а хроматический (апотома) - увеличенной приме (C-Cis, Des-D, B-H). При желании, скажем, сольные скрипачи, действительно могут интонировать Cis и Des по-разному, различая увеличенные примы и "нормальные" "диатонические" полутона (малые секунды), делая последние уже первых. Или - в каких-то ситуациях при нисходящем движении Des-C Des стремится к C (разрешение), а при восходящем C-Cis, наоборот, Cis - удаляется от C, стремясь к D. (Ср., между прочим, школьные "правила написания восходящей и нисходящей хроматической минорной или мажорной гаммы" - где у нас и в каком направлении движении будут увеличенные примы, а где малые секунды, и к каким ступеням минора или мажора они будут "стремиться")

В обычной семиступенной диатонике апотом нет: между соседними звуками там либо целый тон, либо диатонический полутон (лимма).

Если 7-ю квинту включить в звукоряд, то получится та самая "неоднородная" миксодиатоника с одной апотомой, которую в пример приводил Olorulus, например:
B-F-C-G-D-A-E-H

("края" этой цепочки образуют B-H - единственную апотому в такой цепочке; если "отрезать" либо левую, либо правую из квинт (B-F или E-H), то остается только один из вариантов "си" - B или H, и остается обычная 7-ступенная квинтовая диатоника.)

Такая же конструкция возникает при разделении и соединении тетрахордов (от древних греков). Как я писал в прошлый раз, имеется "каноническое" деление тетрахорда (кварты) на лимму и два целых тона (напр., чтобы быть ближе к древним, я беру E-F-G-A, чтобы полутон был внизу). Далее, два тетрахорда могут быть либо разделенными целым тоном, то есть: берем "божественную гамму" (целый тон в центре октавы, как я писал раньше):

E-A-H-e

и каждая из крайних кварт делится на на лимму и два целых тона:
E-F-G-A - H-C-D-e .

В этом случае крайние звуки тетрахордов образуют октаву (E-e). Другая ситуация, когда второй тетрахорд соединен с первым, то есть начинается прямо от верхнего звука первого. Другими словами, будет полутон-тон-тон (нижний тетрахорд E-A), а следующий опять полутон-тон-тон (A-D):

E-F-G-A-B-C-D (-e)

состав ступеней внутри октавы E-e одинаков, за исключением "варьирующейся" H-B, в зависимости от "соединения" или "разделения" двух тетрахордов.


Аналогично, можно квинтовыми шагами заполнять октаву дальше. Следующей "остановкой" будет 12-й квинтовый шаг - возникнет новый феномен, новый наименьший интервал в звукоряде, называемый (пифагорова) комма. Это интервал, скажем, C-His (или, например, D-Cisis или даже Des-Cis тоже образует комму).

ВНИМАНИЕ! Все сказанное в строгом смысле относилось к квинтовой диатонике, "строительным кирпичиком" которой является акустически чистая квинта. Квинто-терцовую диатонику (в основе которой, кроме квинты, лежит чистая большая терция 5/4), вообще говоря, нужно "обосновывать" чуть по-другому, хотя это вещи сильно связанные. В квинто-терцовом строе все усложняется: целых тонов становится два вида (больший и меньший), 4 вида полутонов и др. "Субъективно" при всех вариациях и темперациях "сущность" диатоники в смысле звукоступенных "зон" остается одной и той же. Основа тут все равно древняя каноническая гамма из тонов и полутонов.

2 paukenschlag: Откуда берется логарифм и цепная дробь, постараюсь объяснить "на пальцах", без формальных математических строгостей. Вопрос, почему и откуда 3/2 (или 2/3) - и почему это квинта - чуть попозже, в другой раз (наверное). А так, на пальцах:

квинта (3/2) - это "строительный" кирпичик для заполнения октавы новыми интервалами (ступенями). Ступени внутри октавы получаются последовательным откладыванием квинт вверх или вниз (с переносом в общую октаву). Последовательное откладывание квинт соответствует умножению 3/2 на самое себя. Двоичный логарифм числа 3/2 - это, скажем так, "какую долю составляет квинта" от октавы. Этот логарифм (если кто помнит определение логарифма - это решение уравнения (3/2)^x = 2, где ^ означает возведение в степень). Он есть число трансцендентное и приблизительно равен

0.405465108108164...

Для получения вариантов деления октавы это число надо приблизить рациональными дробями. Наилучшие рациональные приближения, как известно из математики, дают подходящие дроби цепной дроби. (Ну, могу это объяснить подробнее, но тут будет чисто арифметика-математика одна). Вот для указанного логарифма будут те самые последовательные приближения, которые я приводил.

2 rar: Насколько я знаю, это замечание (о связи разложения логарифма в цепную дробь с вопросом о делении октавы) принадлежит выдающемуся математику Феликсу Клейну (тот самый, который изобрел "бутылку Клейна") - в примечаниях в книге "Элементарная математика с точки зрения высшей" (начало 20 в.).

О Клейне см. тут, например: http://www.computerra.ru/focus/330503/

Хотя, строго говоря, он обосновывал немного другой вопрос: каковы наилучшие равномерные деления октавы (на сколько равных интервалов), чтобы они наилучшим образом приближало акустически чистые квинты. Одно из очередных приближений - это 7/12, соответствующее "нашему" 12-ступ. равномерному делению, при этом 7-я ступень (7-й полутон) соответствует квинте (равномерно темперированной), и это же число 7 есть число "белых" (диатонических) ступеней.

Следующим приближением будет 41-ступенное деление (и 24-я ступень в таком звукоряде будет соответствовать очередному приближению чистой квинты). Но тут же кроется и именно то, что я говорю - этим дробям соответствуют и "наилучшие" заполнения октавы с точки зрения чистых квинт (см. предыдущий пост).

Ну, в общем, как-то попроще объяснить затрудняюсь .

Идея сальто - квинтового круга (квинтовой цепочки), привычного нам (типа 2-й квинтовый шаг соответствует целому тону, 4-й - большой терции и т.п.) - достаточно поздняя (в четком виде сформулирована где-то на рубеже 17-18 веков, если не ошибаюсь, в Германии, которая тогда была центром муз. науки силами Веркмейстера, Нейдхардта и компании).

С классической древнегреческой точки зрения никаких квинтовых кругов ("квинтовых шагов") не рассматривалось, использовался метод "откладывания консонансов", т.е. например, целый тон - это квинта вверх и кварта вниз.

Никомах конечно при деле - у него в "Арифметике" про это дело целая глава (и за ним у Боэция, тут уж Olorulus тоже подтвердит). Там же он толкует про "гармонию куба", например (куб имеет "естественное" происхождение или нет, кстати? ).

Смысл: у куба 6 граней, 8 вершин и 12 ребер. Эти числа 6, 8, 12 образуют гармоническую пропорцию, или, в современных терминах, 8 - это среднее гармоническое чисел 6 и 12, т.е.

1/8 = (1/6 + 1/12) /2 . Либо, если говорить в классических греческих терминах, в пропорции 6:8:12 избыток наибольшего члена над средним относится к большему члену так же, как избыток среднего члена над наименьшим относится к наименьшему:

(12-8 ) /12 = (8-6)/6.

Собсно (см. Ямвлих), пифагорейцами для того и была изобретена гармоническая пропорция (и гармоническая средняя) - чтобы отразить божественное деление октавы на кварту и квинту. Деление октавы на кварту и квинту (чтобы кварта была внизу) соответствует этому самому 6:8:12 = 3:4:6

6/4=3/2 - квинта, 4/3 - кварта, 6/3=2:1 - октава.

При делении октавы с помощью арифметической средней (т.е., например, 6:9:12, 9 - среднее арифметическое чисел 6 и 12), тоже получится кварта и квинта, но в этом случае квинта окажется внизу.

Соединяя одно с другим (6:8:12 и 6:9:12) - получится
6:8:9:12
- та самая "самая совершенная гармония", о которой я толковал.

P.S. Да, много букв, но что делать. На самом деле это все только начало музыкальной науки, только "начала квинтовой диатоники" .

[Olorulus]

Это очень размытая формулировка, мало что говорящая. Вообще любой интервал m/n можно свести к "натуральному звукоряду" по той простой причине, <snip>

Как все-таки это красиво. Еще бы выстроить это в курс... когда же, когда???

[Skripkas]

Проще говоря, диатонический полутон (лимма) соответствует малой секунде (E-F, F-Ges, Cis-D), а хроматический (апотома) - увеличенной приме (C-Cis, Des-D, B-H).

Хм, я всегда считал (читал в разных источниках), что мы имеем дела с четырьмя видами соотношений:
- диатонический полутон 15:16
- хроматический полутон 24:25
- лимма 243:256
- апотома 2048:2187
По-Вашему же лимма = диатонический полутон, апотома = хроматический полутон - это верно только для квинтовой диатоники?
Тема уж как-то началась с "естественности", вот вынь "естественность", да положь. А предполагает ли природный феномен такую множественность величин интервальных полутоновых движений? Если речь идет о природной константе, то следовало бы считать, что величина соотношения частот полутона характеризуется только одним числовым выражением, все остальные - искусственно приспособленные к чему-то значения?

[paukenschlag]

Zub01, ещё раз спасибо за разъяснения!
Думаю, можно закрывать тему...

[rar]

Zub01, ещё раз спасибо за разъяснения!
Думаю, можно закрывать тему...

Так она уж вроде и пошла ко дну, а Вы ее - снова на поверхность
Хотя, имхо, слегка недостает заключительного слова т.Vosok`а

[Olorulus]

Хм, я всегда считал (читал в разных источниках), что мы имеем дела с четырьмя видами соотношений:
- диатонический полутон 15:16
- хроматический полутон 24:25
- лимма 243:256
- апотома 2048:2187
По-Вашему же лимма = диатонический полутон, апотома = хроматический полутон - это верно только для квинтовой диатоники?

Я не понимаю, что значит "только для квинтовой диатоники". А что, Вы знаете другой принцип структурного представления диатоники?

Лиммой принято называть пифагорейский малый полутон, он же лимма (как он вычисляется, Зуб написал), апотомой - большой (тоже написал). Иными словами, хроматический полутон 2048:2187 называется апотомой, но не все хроматические полутоны называются апотомами.

[Zub01]

Хм, я всегда считал (читал в разных источниках), что мы имеем дела с четырьмя видами соотношений: ...

Olorulus в целом уже ответил, но пока погодьте закрывать, кое что мне еще надо написать. Просто хочу подчеркнуть одну важную вещь (рассказать подробнее), недостаточное понимание которой может вносить путаницу, когда мы рассуждаем об интервалах в связи с их акустическими величинами.

(Краткий анонс, об чем речь - в ряде случаев необходимо очень четко отличать "функциональные" (в широком смысле) интервалы от акустических.
Хинт: C-G как "функциональный интервал" - это всегда (чистая) квинта (отличающая от уменьшенной C-Ges или увеличенной C-Gis).
Акустическая (не функциональная) чистая квинта - это интервал с отношением частот 3:2, и ничто другое.

А чистая квинта C-G остается "чистой квинтой" (функционально, "логически") независимо от конкретного способа настройки, т.е. она акустически-то может быть нечистой, т.е. отличаться от 3:2 (темперированной на ту или иную величину, при этом она может быть увеличенной (акустически), либо умЕньшенной (акустически). Например, можно сказать, что в равномерной темперации все чистые квинты уменьшаются на 1/12 пифагоровой коммы - это корректное высказывание, просто здесь идет речь о "чистых функционально" квинтах, и говорится, какие акустические величины им соответствуют.

Другой пример - школьная задача "отложить от C полутон" - правильна ли постановка? . Если да - то каков ответ - C-Cis или C-Des? . А если задача "отложить тон от C" - то будет ли ответом C-Eses? (уменьшенная терция)

интервал C-Deses (Ну или Eis-F, например) - это унисон или нет? . (Ответ: это может быть унисоном акустически - как минимум при нашем употреблении 12-клавишной октавы на клавишных инструментах), но "функционально" - это уменьшенная секунда (или уменьшенная нона , потому что в некоторых настройках Deses может оказаться ниже C ).

Это на самом деле напрямую связано с вопросом о хроматическом и диатоническом полутонах.

[Skripkas]

Я не понимаю, что значит "только для квинтовой диатоники". А что, Вы знаете другой принцип структурного представления диатоники?

Моя реплика появилась после предупреждения:

ВНИМАНИЕ! Все сказанное в строгом смысле относилось к квинтовой диатонике, "строительным кирпичиком" которой является акустически чистая квинта. Квинто-терцовую диатонику (в основе которой, кроме квинты, лежит чистая большая терция 5/4), вообще говоря, нужно "обосновывать" чуть по-другому...

Дорогой Zub01! Тут все совершенно понятно с точки зрения основ музыки и математики. Я просто обратил внимание, что частота звука, полученного в натуральном звукоряде измерениями/вычислениями будет приближено соответствовать частоте звука Пифагорейского (где от "натурального" осталась чистая квинта и октава) или темперированного строя. А сами "ествественные природные" частоты полутонов (к примеру, соответствующие полутону С-Сis полученному как ****ая гармоника) в музыку не внедряются без небольших корректировок. Это я имел ввиду под "искусственностью". Но эта "искусственность" - отличие "функциональных" интервалов от акустических, очевидно, не значительная.

[Нигилист]

И очень зря не занимается нервными импульсами.
Поскольку без психо-физиологической основы все разговоры о музыкальной семантике, теории строения и возникновения ладов и о многом другом переходят из разряда музыкальной НАУКИ в разряд "словотворчества".

Чаще всего, теории, как раз и составляются на основе психологии. Которая, противопоставляется физиологии, что в корне не верно, т. к. в основе психики лежат физиологические процессы.
Психология без всякой связи с физиологией и есть словотворчество и все теории построенные на её основе будут тем же самым.

То же самое следует сделать и в музыке. Теорию музыки (если мы действительно хотим, чтобы она была теорией) следует наконец то перевести из разряда гуманитарных в разряд точных наук. (Много раз здесь на форуме встречала мысль, что музыка родственна математике, так нужно наконец это доказать практически)

Математика это скорее инструмент, чем самостоятельная наука, с помощью которого можно точно описать различные явления, что и делается в естественных науках. Одной математики явно не хватит. В числа же тоже можно вкладывать разные смыслы( существуют же всякие «магии чисел» и т. п.), и заниматься болтовнёй, и скорей всего так и будет.
Важно само мировоззрение теоретика.

А то мои друзья технари вначале очень удивляются, а потом долго смеются, когда я им показываю чем занимается наука "Теория музыки".

Да, мне тоже, иногда смешно, но в целом, больше грустно.

Теорию музыки (если мы действительно хотим, чтобы она была теорией) следует наконец то перевести из разряда гуманитарных в разряд точных наук.

Это вы не от меня, случаем, услышали? Просто такие сумасшедшие идеи, как мне кажется, приходят только в мою голову (практически,такой перевод в принципе не возможен).