Алексей Степанович Оголевец

[Математик]

Там где пишут по-русски общепринятыми устоявшимися терминами, микрохроматика, как правило, не считается серьёзной областью музыкальной теории, а система 12РДО с её полутонами оказывается единственной достойной тщательного внимания.

Я пытаюсь описать то, что в системе 12РДО невозможно...

Однако, термины “диатонический полутон”, “хроматический полутон”, кроме системы 12РДО, используются также как при описании пифагорейской системы:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/1/4.html

так и при описании системы “чистого строя” :
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/2/6.html

И в рамках равномерно-темперированного строя между диатоническими и хроматическими полутонами делается различие:
http://www.px-pict.com/7/3/2/7/2/15.html

Термины “диатонический полутон”, “хроматический полутон” используются одни и те же
(при описании как пифагорейского, так и “чистого” строев), а вот содержание в них вкладывается разное
, что приводит к великой путанице. Отчего в какой-то мере и становятся понятным негодование Алексея Степановича Оголевца по этому поводу:http://www.px-pict.com/7/3/2/4/4/10.html

[Математик]

Кстати говоря, когда-то уже достаточно давно мы так и не смогли выяснить всю правду про диатонические и хроматические полутона:
http://www.musicforums.ru/theory_arc...5171357&cpag=2
(постинг от 26.04.2007 16:47 и далее)

http://www.musicforums.ru/theory_arc...5171357&cpag=3
(постинг от 26.04.2007 20:36 и далее)

[commator]

Кстати говоря, когда-то уже достаточно давно мы так и не смогли выяснить всю правду про диатонические и хроматические полутона:
http://www.musicforums.ru/theory_arc...5171357&cpag=2
(постинг от 26.04.2007 16:47 и далее)

http://www.musicforums.ru/theory_arc...5171357&cpag=3
(постинг от 26.04.2007 20:36 и далее)

В статье об этом у меня следующее:

<<...

...
Любой интервал между смежными нотами ПДС (пифагорейского диатонического строя) следует называть тоном [i]. Однако среди семи тонов в ПДС имеется пять одинаковых крупных тонов, называемых целыми тонами или просто тонами (T). Остальные два одинаковых мелких тона могут именоваться псевдотон или пситон (ψT). В англоязычной литературе для псевдотона существует происходящее от латинского semus (ненастоящий) имя «semitome». В русском языке оно неприемлемо т. к. слово «семитон» ассоциируется с именем интервала из семи тонов. Вероятно поэтому для псевдотона укоренилось не очень удачное имя диатонический полутон. В англоязычной литературе «halftone» (полутоном) обычно называется минимальный интервал системы 12РДО и только он. Это соответствует действительности, т. к. в случае 12РДО полутон в точности равен половине тона, что для соотношений тона и псевдотона в контексте этой статьи принципиально неверно. Об этих соотношениях будет сказано далее в связи с ПХС (пифагорейским хроматическим строем)

[i]. P. Barbieri, Enharmonic Instruments and Music 1470 – 1900, p. 7, Latina: Il Levante Libreria Editrice, 2008. ISBN: 978-88-95203-14-0. http://www.patriziobarbieri.it/1.htm
...

...
Формулы сонантов, будучи расширенным способом записи известных из музыкальной теории тональных функций, по сути являются мнемоническими версиями канонической формы записи рациональных чисел (факторизации).
Замена факторизаций формулами сводится к тому, что простые основания 2, 3, 5, 7, 11, 13 соответственно обозначаются прописными буквами T, D, M, Q, N, R (произношение “te”, “de”, “me”, “k-e”, “ne”, “re”). Показатели степеней превращаются в коэффициенты перед каждой буквой. Кортеж букв с коэффициентами (сонант) предваряется двоеточием. Коэффициент 1 и буква с коэффициентом 0 могут не отображаться письменно. Допустимость присутствия в формуле любого сонанта обозначается буквой S (произношение “se”).
Должно быть учтено, что над любым сонантом S возможна как минимум одна унарная операция –[S], создающая субсонант s(произношение “sa”).

:–[S] = :s

Для этого факторизацию сонанта следует переписать меняя лишь знаки показателей степеней для всех простых оснований на противоположные. Затем переписать сонант в соответствии с изменённой факторизацией. В сонантометрической записи простым основаниям с отрицательными показателями соответствуют вышеупомянутые буквы, которые для отличия строчные. Коэффициенты перед этими строчными буквами равны абсолютным величинам отрицательных показателей. В результате существования унарной операции создания субсонанта, формулы сонантов ЧИП13 могут содержать строчные буквы t, d, m, q, n, r (произношение “ta”, “da”, “ma”, “k-a”, “na”, “ra”).
Выявляется так же существование как минимум одной бинарной операции формирования интерсонанта, из-за существования интерсонанта между любыми двумя сонантами. Причина в том, что к любому сонанту S можно дописать любой сонант с нулевым коэффициентом 0S’.

:S = :S0S’.

Понятно, что любой сонант с нулевым коэффициентом можно получить, дописывая к формуле сонанта формулу его субсонанта.

:Ss = :0S

Если даны два сонанта S и S’, всегда существует третий сонант sS’, такой, что его дописывание к первому из данных сонантов даёт в результате второй данный сонант.

:SsS’ = :0SS’ = :S’

Записывается интерсонант между создающими его сонантами в порядке их следования и выглядит как сонант без двоеточия со знаком «_» или «–» в начале и конце.

:S_sS’_:S’

...

Сонант/интерсонант удобно дописывать после имени ноты/интервала:

имя ноты:S
_имя интервала_S_

или под ним:

имя ноты
:S
_имя интервала_
_S_

Тогда нота/интервал приобретает тональную функцию/выразительность, которую отображает формула сонанта/интерсонанта.
Интерсонант вертикального или гармонического интервала, в отличие от горизонтального или мелодического (_имя_S–, –имя–S_) является одновременно повышающим высоту нижней ноты до верхней и понижающим высоту верхней ноты до нижней. В этом случае интерсонант записывается строкой:

–s_имя интервала_S–

или столбцом:

–s_
_имя интервала_
_S–

Иррациональные сонанты ступеней систем РДО можно обозначать долями простого сонанта T. Например интервал большой терции системы 31РДО может быть сонантометрирован как:

–4t/31_M3_4T/31–

E. Уточнённая нотация
Основой Западной музыкальной нотации стал ПДС (пифагорейский диатонический строй):

C:0D0T – D:2D3t – E:4D6t – F:2Td – G:Dt – A:3D4t – H:5D7t – c:T

В ПДС насчитывается семь тонов двух разновидностей. Среди них пять крупных _T_2D3t–:

D:2D3t – C:0D0T ~ 3^2·2^-3 : 3^0·2^0 = 3^2-0·2^-3-0 = 3^2·2^-3 ~ _T_2D3t– (5)
E:4D6t – D:2D3t ~ 3^4·2^-6 : 3^2·2^-3 = 3^4-2·2^-6-(-3) = 3^2·2^-3 ~ _T_2D3t– (6)
G:Dt – F:2Td ~ 3^1·2^-1 : 3^-1·2^2 = 3^1-(-1)·2^-1-(-2) = 3^2·2^-3 ~ _T_2D3t– (7)
A:3D4t – G:Dt ~ 3^3·2^-4 : 3^1·2^-1 = 3^3-1·2^-4-(-1) = 3^2·2^-3 ~ _T_2D3t– (8)
H:5D7t – A:3D4t~ 3^5·2^-7 : 3^3·2^-4 = 3^5-3·2^-7-(-4) = 3^2·2^-3 ~ _T_2D3t– (9)

Остальные два – мелкие _ψT_8T5d–:

F:2Td – E:4D6t~ 3^-1·2^2 : 3^4·2^-6 = 3^-1-4·2^2-(-6) = 3^-5·2^8 ~ _ψT_8T5d– (10)
c:T – H:5D7t ~ 3^0·2^1 : 3^5·2^-7 = 3^0-5·2^1-(-7) = 3^-5·2^8 ~ _ψT_8T5d– (11)

Сонант каждой ноты ПДС, кроме исходной C:0D0T формируется из сонанта предыдущей смежной ноты через интерсонант одного из двух интервалов:

• _T_2D3t– (тон),
• _ψT_8T5d– (псевдотон).

Наравне c ПДС важнейшую роль в становлении Западной музыкальной нотации сыграл ПХС (пифагорейский хроматический строй). Однако начиная cо времён И. С. Баха он массово подвергся серьёзной деформации. После довольно длительного и практически монопольного доминирования системы 12РДО, где _T_2D3t– подменяется слегка зауженным _T_2T/12– (12РДО тоном), который в точности равен двум одинаковым _T/2_T/12– (12РДО полутонам). Кроме того точно таким же полутоном подменяется _ψT_8T5d–, что в неискажённом ПХС невозможно. Действительно, если от исходного сонанта :0D0T поднять цепь из двух _ψT_8T5d–, получается сонант :16T10d. Он на мельчайший тон или _μT_12D19t– (ПХС микротон) ниже сонанта :2D3t, полученного после поднятия _T_2D3t– от :0D0T. Интервал _μT_12D19t– известен ещё как пифагорейская комма (соотношение граничных частот 3^12·2^-19). Добавление _μT_12D19t– к _ψT_8T5d– порождает _>ψT_7D11t– (ПХС надпситон):

_>ψT_7D11t– = _ψT_8T5d– + _μT_12D19t– (12)

Дальнейшее добавление _ψT_8T5d к _>ψT_7D11t– даёт _T_2D3t–. Таким образом в ПХС возможно существование двух неравных и только неравных делений тона.
Далее будет понятно, что ПХС существует в любой ЧИПp, где p> 3, но для музыкальной нотации в ЧИПp с увеличением p возникает необходимость добавлений. В ориентированной на использование в условиях систем 53/31РДО TABLE I демонстрируется, что для ЧИП5 нужны

значки ЧИП3 и дополнительные микротоновые. В ЧИП13 задействованы все значки, участвующие в ЧИП5 и дополнительные гипопситоновые. В целом три набора значков исчерпывают все необходимые варианты изменения высот ПХС для нотации близкой к ЧИП13 музыки.
В границах ЧИП3 знаками альтерации являются обычные для ПХС (и для системы 12РДО) символы хроматических изменений нот на один или два надпситона. Например ПДСH:5D7t (ПДСот ноты H:5D7t), таким образом, порождает следующую сонантометрию цепи нот, разделённых тонами и псевдотонами:

=H= __T–– =c# ___T–– =d# ___ψT–– =e= ___T–– =f# ___T–– =g# ___T––– =a#___ψT––– =h=
:5D7t_2D3t :7D10t_2D3t:9D13t_8T5d :4D5t_2D3t :6D8t_2D3t–:8D11t_2D3t–:10D14t_8T5d–:5D6t

Обогащение выразительности в пространстве ЧИП5 добавляет символы микротоновых альтераций. Как выяснится ниже, в ЧИП5 для ЧДСC:Ss (чистого диатонического строя от ноты C:Ss), например, возникает другая цепь:

=C _<T– <D ____μT––– =D ___<T–– <E __>ψT– =F __T–– =G __<T– <A __T–– <H ___>ψT– =c
:Ss_MT2d-:MT2d_4Dm4t-:2D3t_MT2d-:M2t_4Tmd-:2Td2D3t-:Dt_MT2d-:Md_2D3t-:MD3t_4Tmd-:T

Каждая нота ЧДС, исключая исходную =C:Ss получает свой сонант преобразованием сонантапредыдущей смежной ноты через интерсонант одного из четырёх возможных повышающих интервалов:

• _T_2D3t– (тон),
• _<T_MT2d– (подтон),
• _>ψT_4Tmd– (надпситон),
• _μT_4Dm4t– (микротон).

Ещё более обогащённая выразительность ЧИП13 отображается в нотации добавлением тартиниевых знаков альтерации (J, ‡) [i] для изменений высоты на интервал гипопситона, шириной почти в половину псевдотона или почти в два микротона. Эти знаки, вместе с обычными для ПХС/12РДО, ныне стали обычными в системе 24РДО для изменений высоты на _T/4_T/24– (24РДО четвертинатон).

[i]. G. Kogut, Microtonal Music, (by Russian) p. 107, Kiev: Naukova Dumka, 2005. http://www.h-pi.com/wordpress/?p=15, http://picasaweb.google.com/commator/BookOnMicrotonalMusicByGennadyKogut02#
...>>

[commator]

Кстати говоря, когда-то уже достаточно давно мы так и не смогли выяснить всю правду про диатонические и хроматические полутона:
http://www.musicforums.ru/theory_arc...5171357&cpag=2
(постинг от 26.04.2007 16:47 и далее)

http://www.musicforums.ru/theory_arc...5171357&cpag=3
(постинг от 26.04.2007 20:36 и далее)

Чтобы предыдущее сообщение не пугало громоздкостью, скажу коротко, что мне в своих микрохроматических упражнениях представилось удобным ввести следующие разновидности элементарных тонов:
· μT – микротон или мютон. Интервал шириной около 2^(1/53) или половины υT.
· υT – гипопситон или ипсилонтон. Интервал шириной около 2^(1/31) или половины ψT.
· ψT – псевдотон или пситон. Интервал с частотным соотношением границ около 2^(4/53).
· T – тон. Интервал с частотным соотношением границ около 2^(9/53).
· T/2 – полутон Интервал с частотным соотношением границ 2^(1/12).
· T/4 – четвертинатон Интервал с частотным соотношением границ 2^(1/24).

В буквенной форме нотации добавление определённого символа перед именем ноты означает дополнительный знак альтерации, который предписывает дополнительное изменение высоты ноты. Символ после имени ноты означает присутствие обычного для систем 24/12РДО знака альтерации. Знаки «бекар» могут не отображаться. В партитурах дополнительный знак альтерации дописывается перед обычным. Кроме того, перед нотными головками могут не отображаться знаки, которые выставлены ранее в пределах такта или у ключей нотоносцев.

[Математик]

Для продолжения дискусии уточните, пожалуйста, что для Вас есть ПХС (Пифагоров Хроматический Строй)? Очевидно, что он где-то описан в литературе (то, что Вы называете Пифагоров Хроматический Строй). Не могли бы Вы дать ссылку на источник?

Например, по аналогии с тем, как пифагорейская диатоника описана у Римана:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/1/2.html

у Немировского:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/1/2.html

у Гарбузова:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/8/1.html

В каком источнике подобным же образом описан Пифагоров Хроматический Строй (ПХС)?
--------------------------------------------------------

Скажите еще, пожалуйста, чем то, что Вы называете ПХС, отличается от 12-ти звучной тональности До-мажор Оголевца? О последней см. здесь:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/1/15.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/1.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/2/3.html

[commator]

Для продолжения дискусии уточните, пожалуйста, что для Вас есть ПХС (Пифагоров Хроматический Строй)? Очевидно, что он где-то описан в литературе (то, что Вы называете Пифагоров Хроматический Строй). Не могли бы Вы дать ссылку на источник? ...

Ничего внятного не выгугливается ни на русском ни на английском. На английском, правда наводнили Сеть вот этим:

<<...
The most common conception of the chromatic scale before the 15th century was the Pythagorean chromatic scale
...>>

Я понимаю, что Вам этого недостаточно, но почти не сомневаюсь, что англоязычному рецензенту в моей статье будет заметно не отсутствие ссылки на источник, дающий чёткое представление о ПХС. Возможно ближе к окончанию статьи, я успею более внятно высказаться о ПХС. Спасибо за указание на слабое место. Однако основная цель написания статьи - опубликовать то, что мне стало известно о возможностях использования обычных 24/12РДО партитур пифагорейского толка для 53/31РДО аппроксимаций всего, что может быть трактовано слухом, как приемлемое для ЧИП5..ЧИП13 звучание.

Между прочим в 31РДО не существует способа аппроксимации ЧИП3, даже грубой, на уровне 24/12РДО систем. Следовательно, моделирование звучания ПДС/ПХС невозможно. Зато 31РДО автоматически переводит пифагорейские по внешнему виду 24/12РДО партитуры в очень похожее на ЧИП5..ЧИПp звучание. Другими словами мне нравится концепция ПДС и ПХС в нотах, но неприятно её звучание и очень интересно то, что способно исключить переползание пифагорейской концепции из партитуры в звучание музыки. 31РДО гарантированно является таким фильтром, а 53/24/12РДО этих гарантий не обеспечивают. Однако 31РДО, подобно системам 24/12РДО лишена некоторых важных достоинств системы 53РДО и я верю в существование возможности автоматического преобразования ЧИП3 нотации в такой вид, который оградит звучание системы 53РДО от ЧИП3 неприятностей. Я удостоверился, что вручную этого можно добиваться, но возникают довольно существенные трудности, да и работа не из приятных.

[commator]

Для продолжения дискусии уточните, пожалуйста, что для Вас есть ПХС (Пифагоров Хроматический Строй)? Очевидно, что он где-то описан в литературе (то, что Вы называете Пифагоров Хроматический Строй). Не могли бы Вы дать ссылку на источник?

Например, по аналогии с тем, как пифагорейская диатоника описана у Римана:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/1/2.html

у Немировского:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/1/2.html

у Гарбузова:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/8/1.html

В каком источнике подобным же образом описан Пифагоров Хроматический Строй (ПХС)?
--------------------------------------------------------

Скажите еще, пожалуйста, чем то, что Вы называете ПХС, отличается от 12-ти звучной тональности До-мажор Оголевца? О последней см. здесь:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/1/15.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/1.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/2/3.html

Вчера вечером заглянул в любимый фолиант Барбьери. У него про ПХС целый раздел на двух страницах. Так и называется "Пифагорейский хроматический строй". Смысл в том, что есть две двенадцатитоновые разновидности. Одна с диезами, другая с бемолями. Последняя формировалась постепенно с 11-го века по ранний 15 век.

Ещё написано, что объединение двух разновидностей порождает энгармонические, если заимствовать это название в древнегреческой теории, интервалы ПК (пифагорейской коммы). Однако ПЭС (пифагорейский энгармонический строй) именно этими словами не зафиксирован. Ещё он пишет, что из двух нот, энгармонически эквивалентных (именно так и пишет, но мне бы энгармоническая близость больше понравилась), в ПЭС выше та, которая с диезом, и она на ПК выше той, что с бемолем

Теперь в моей статье есть ссылка на источник:

<<...
Наравне c ПДС важнейшую роль в становлении Западной музыкальной нотации сыграл ПХС (пифагорейский хроматический строй [i]).
...

[i]. P. Barbieri, "A.2.3. Pythagorean Chromatic Scale," Enharmonic Instruments and Music 1470 – 1900, pp. 8-9, Latina: Il Levante Libreria Editrice, 2008. ISBN: 978-88-95203-14-0. http://www.patriziobarbieri.it/1.htm
...>>

Ещё раз спасибо за ценное замечание.

[Математик]

Вчера вечером заглянул в любимый фолиант Барбьери. У него про ПХС целый раздел на две страницы. Так и называется &quot;Пифагорейский хроматический строй&quot;. Смысл в том, что есть две двенадцатитоновые разновидности. Одна с диезами, другая с бемолями. Последняя формировалась постепенно с 11-го века по ранний 15 век.

Если Вас не затруднит, посмотрите, пожалуйста, не совпадают ли те две разновидности ПХС, о которых пишет Барбьери, с, соответственно, “диезной полутоновой гаммой до” и “бемольной 12-ступенной гаммой”, о которых пишет Оголевец здесь:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/3/2.html

Скажите еще, пожалуйста, чем то, что Вы называете ПХС, отличается от 12-ти звучной тональности До-мажор Оголевца? О последней см. здесь:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/1/15.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/1.html

http://www.px-pict.com/7/3/2/4/2/3.html

Оголевец считает как “диезную полутоновую гамму до”, так и “бемольную 12-ступенную гамму” “ошибочными” в том смысле, что в них неправильно определена тоника. И только в его “12-ти звучной тональности ” (которую мы можем, наверное, рассматривать как третью разновидность ПХС) тоника определена правильно (по мнению Алексея Степановича).

P. S. Вы не могли бы выложить здесь сканы указанных двух страниц из книги Барбьери?

[commator]

...Оголевец считает как “диезную полутоновую гамму до”, так и “бемольную 12-ступенную гамму” “ошибочными” в том смысле, что в них неправильно определена тоника. И только в его “12-ти звучной тональности ” (которую мы можем, наверное, рассматривать как третью разновидность ПХС) тоника определена правильно (по мнению Алексея Степановича).

P. S. Вы не могли бы выложить здесь сканы указанных двух страниц из книги Барбьери?

Страницы прикладываю.

По поводу взглядов на тонику и тональность не могу признать таковые у АСО образцом безупречности. Возможно в будущем смогу высказаться подробнее. Тем не менее его формулы вместе с формулами Римана, рассуждениями Немировского и таблицей Эйлера дают мне уверенность в том, что в музтеории для сонантометрии имеются надёжные основания и даже явные прототипы. Причём принцип конструирования формул в прототипе Оголевца мало чем отличается от сонантометрирования, которое сложилось в моей самостоятельной практике.

[Математик]

Страницы прикладываю...

Спасибо за страницы. Буду смотреть подробнее. Пока же на досуге попытался изобразить пифагорейский хроматический полутон (апотому):
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1/3.html

Выглядит устрашающе (в плане длины вектора). В связи с чем подумываю о переходе к другим базисным векторам (как Вы уже выше мне рекомендовали).