Экспериментальный анализ шрути.

[commator]

На стр. 31
<<...
2.6 Выводы

Простота модели шрути основаной на психо-перцептивном явлении консонанса и разделяемости привлекательна. Позиции шрути достигнутые через гипотезу представляются вполне удовлетворительными, поскольку многие из них довольно близки к эмпирическим шкалам предложенным некоторыми видными музыковедами. Однако некоторые из них довольно далеко от данных эмпирических шкал. Одной из причин может быть, что при подсчете МА все возможные би-граммы рассматриваются с равными априорными вероятностями. В действительности дело обстоит совершенно иначе. Например, интуитивно чувствуемо, что би-граммы представляющие далекие шрути или таковые в тех же нотных интервалах могут фактически быть редким явлением. Возможно установить несколько иной сценарий для процессов отбора.

Другой момент замечания тот, что эта ошибка есть из соотношений данных различными учеными в музыке и музыковедении. Они использовали когнитивные и другие суждения, которые могут не всегда точно соответствовать спетым высотам. Обширные экспериментальные исследования с песнями от авторитетных певцов необходимы для надлежащей проверки предсказаных позиций ...>>

2.6 Conclusion

The simplicity of the model of shruti based on psycho-perceptual phenomena of consonance and differentiability is attractive. The shruti positions arrived at through the hypothesis seems to be quite satisfactory as a large number of them are quite close to the empirical scales suggested by some eminent musicologists. However some of them are quite far from the given empirical scales. One reason could be that while calculating MA all possible bi-grams are considered with equal a-priori probabilities. In reality the situation is quite different. For example it is intuitively felt that bi-grams representing distant shrutis or those in the same note intervals may actually be rare phenomena. This is likely to set up a somewhat different scenario for selection processes.

The other point of note is that this error is from the ratios given by different scholars in music and musicology. They have used cognitive and other judgment, which may not exactly correspond to the sung pitches always. Extensive experimental studies with songs from established singers are required for proper verification of the predicted positions.

... интересные нам числа у древних греков даже по особому назывались ...

Эти эпиморные числа греки увязывали с музыкой и с консонансом. Следует примерять их к тому, что известно о консонансе сегодня. Возможно зто позволит уточнить и гипотезу существования шрути на основе консонанса и разделяемости.

[Математик]

Эти подходы прекрасно согласуются и дополняют друг друга (что я и намереваюсь показать). Просто нужно проявить немножко терпения. Нужно будет дополнительно понять относительно небольшое количество элементарных, в общем-то, математических фактов.
Особенно следующий факт будет иметь важное значение для последующей дискуссии. Матрицы A* и A, о которых я упоминал выше:
являются унимодулярными т. к. их определитель равен –1. По поводу матриц и их определителей см. у Александрова:
http://www.px-pict.com/7/4/6/1/2.html

Определение унимодулярных матриц:
http://en.wikipedia.org/wiki/Unimodular_matrix

Посто поверьте мне пока на слово, что указанное свойство “унимодулярности” действительно будет играть важную роль в постижении музыкальной структуры ЧИПов.

Еще один факт по поводу унимодулярных матриц, имеющий на самом деле фундаментальное значение. Матрица, естественным образом ассоциированная с любой парой соседних чисел на Дереве:

Впечатляющая картинка для иллюстрации концепции чистой интонации. С каждым новым рядом ветвлений ЧИ разрастается до своего очередного предела, начиная с ЧИП0!

ДШБ определённо заслуживает внимания.

является унимодулярной. На самом деле это происходит потому, что современная теория унимодулярных матриц является просто перефомулировкой древней теории эпиморных отношений, сыгравшей такую большую роль в построении античной теории созвучных музыкальных интервалов:

Я дополнил страницу о теории созвучных интервалов из работы Б. Л. ван дер Вардена недостававшими фрагментами. Вот в этом месте:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/2.html#4


сформулировано условие (3): “созвучным интервалам соответствуют эпиморные или кратные отношения (обратного требования не выставляется)”. Т. е. по этой теории эпиморность (или кратность) является необходимым, но недостаточным свойством созвучного интервала.

Основополагающие соотношения, фигурирующие в “двух леммах геометрии чисел”:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/2/4.html

являются элементарными переформулировками того факта, что определенные числа находятся в эпиморном отношении. Например, если в контексте Леммы 2:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/2/4/1.html

мы рассмотрим два числа a/b = 2/5 и c/d = 1/3, которые являются соседней парой чисел на 3-м уровне Дерева, и, следовательно, находятся в эпиморном отношении, то определитель, составленный из чисел a, b, c, d будет равен 1. Равенство такого определителя единице, как легко видеть, и эквивалентно тому, что числа a/b и c/d находятся в эпиморном отношении.

Равенство определителя единице (у Кокстера это фигурирует как соотношение 13.52:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/3/2.html

расценивается (тем же Кокстером) как “соотношение, из которого другие получаются с помощью простых алгебраических преобразований”:
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/3/3.html


Т. е. складывается впечатление, что всю эту “геометрию чисел” можно переформулировать в рамках некоторой “теории эпиморных отношений”…

[Математик]

Еще один факт по поводу унимодулярных матриц, имеющий на самом деле фундаментальное значение. Матрица, естественным образом ассоциированная с любой парой соседних чисел на Дереве:

Поясняющий рисунок Дерева приведен здесь:
http://www.px-pict.com/10/4/4/2.html

На этом рисунке можно легко видеть пары соседних чисел на Дереве. Например, разобранную выше в качестве примера пару чисел a/b = 2/5 и c/d = 1/3, которые являются парой соседних чисел на 3-м уровне Дерева. Если мы рассмотрим дроби как векторы:
числитель первой дроби a = x1 – первая координата первого вектора u1
знаменатель первой дроби b = y1 – вторая координата первого вектора u1
числитель второй дроби c = x2 – первая координата второго вектора u2
знаменатель второй дроби d = y2 – вторая координата второго вектора u2

и составим из координат векторов u1 и u2 матрицу второго порядка по Александрову:
http://www.px-pict.com/7/4/6/1/2.html

то увидим, что детерминант этой матрицы равен 1, т. е. наша матрица является унимодулярной. Этот факт имеет место для всех пар соседних чисел на Дереве.

На самом деле это происходит потому, что современная теория унимодулярных матриц является просто перефомулировкой древней теории эпиморных отношений, сыгравшей такую большую роль в построении античной теории созвучных музыкальных интервалов:

Нельзя не привести в этой связи слова Арнольда:
Эта геометрия стала популярной около ста лет назад благодаря великому математику Герману Минковскому, который назвал ее геометрией чисел. Предшественники Минковского пользовались этой теорией не давая ей названия, и потому забыты.
http://www.px-pict.com/7/4/4/2/2.html

[Математик]

Еще один факт по поводу унимодулярных матриц, имеющий на самом деле фундаментальное значение. Матрица, естественным образом ассоциированная с любой парой соседних чисел на Дереве:

является унимодулярной. На самом деле это происходит потому, что современная теория унимодулярных матриц является просто перефомулировкой древней теории эпиморных отношений, сыгравшей такую большую роль в построении античной теории созвучных музыкальных интервалов:

Для дальнейшего будет полезно произвести электрификацию Дерева, имея в виду, что матрица взаимного четырехполюсника, записанного в А-форме, является унимодулярной:
http://www.px-pict.com/5/3/3/1/10/2/1.html

На указанной странице условие унимодулярности матрицы взаимного четырехполюсника записано в соотношении (8-7). Понятно, что это соотношение выражает собой ни что иное, как требование равенства единице определителя матрицы четырехполюсника. О матрицах и их определителях см. у Александрова:
http://www.px-pict.com/7/4/6/1/2.html

Равенство единице определителя матрицы и означает ее унимодулярность, согласно определению:
http://en.wikipedia.org/wiki/Unimodular_matrix

Указанный путь к электрификации Дерева является дальнейшим естественным развитием уже обсуждавшихся нами ранее электротехнических интуиций применительно к музыке:

По моим электротехническим аналогиям теперь гармоническая вертикаль аналог напряжения, а мелодическая горизонталь соответствует току. Схема расчитывается до запуска в эксплуатацию, вне среды ощущений, хотя её работа лишь в этой среде и возможна т. к. мелодическое накопление/расходование гармонического потенциала происходит только на основе сравнения текущего момента ощущения звука с предыдущими. Такое без участия собственней памяти ощущающей системы невозможно.

Разумеется, я всячески поддерживаю и приветствую Ваши попытки дать электротехническую интерпретацию мелодической горизонтали и гармонической вертикали. Просто я хочу еще добавить, что уже внутри самой электротехники естественным образом возникают горизонтальные и вертикальные конструкции, если представить электроцепи надлежащим образом. Например, так, как у Яглома:
http://www.px-pict.com/5/3/3.html


(где горизонтали соответствуют эквипотенциальным линиям, а вертикали – линиям тока)

Я хорошо знаком с подобной интерпретацией электрических схем, т. к. не одну сложную схему разбил не простые блоки имено приводя все цепи протекания тока к вертикальному виду.

Но для составления электротехнического аналога музыкальной мелодии лучше подошло бы горизонтальное протекание мелодического тока по оси времени нотоносца. Поэтому для каждой мелодической линии мне сейчас видится горизонтальная цепь активных и пассивных четырёхполюсников, способных при расположении параллельно нотоносцам наглядно описывать упомянутый Оголевцем процесс накопления/расходования гармонического потенциала, при замыкании его цепями мелодических нагрузок.

[commator]

...

Указанный путь к электрификации Дерева является дальнейшим естественным развитием уже обсуждавшихся нами ранее электротехнических интуиций применительно к музыке

...

Может быть этот путь плодотворный. Интересно, что среди современных англоязычных исследователей музыки многие имеют электротехническое образование.

А вот что думает о музыке и её теоретиках молодой композитор нашего времени:

...

Современная музыка — это алгебра с гармонией
30.10.2009 10:21
Автор: Наталья Лебедева



Платон Буравицкий, дважды — в 14 и 17 лет — победитель вселатвийского конкурса юных композиторов, талантливый 20–летний сочинитель музыки, ныне продолжает свое образование на первом курсе Латвийской музакадемии.

...

Многие считают, что в первую очередь должны слышать в музыке чувства. А рациональное начало — удел теоретиков. Но сами теоретики говорят: "Прекрасна та работа, где мы можем эмоционально насладиться звучанием сочинения и получить удовольствие от его анализа".

Но если я хочу написать музыку, которая понравится всем, я должен именно так уметь писать. Если мы касаемся законов природы, то должны знать и математику, поскольку она выражает гармонию мира.

...

Для выяснения природы ЧИП13 я сочинил "Chord Progression over CH Pedal. Approximation to 13LJI in 53EDO". Вкладываю партитуру, MIDI модель и MP3 модели:


KMY_CH13L53E.zip
KMY_CH13L53E.mp3

Этот индоевропейский по сути эксперимент посвящён Вам и прежде всего я предлагаю обсудить модель эмоцинально.

Между прочим в программе Scala есть возможность извлечения рациональных аппроксимаций частот из произвольных высот через ДШБ. Только вчера заметил этот пунктик и сегодня испытал его на высоте 339.623 cents 15-го элемента системы 53РДО. К распечатке Scala я добавил жирно формулы сонантов, которые этой высоте могут быть приписаны в рамках индийской гипотезы о шрути и ЧИП29. Вот что получилось:

1/1 0.0000 cents 1 [1;]
Distance: -339.623 cents
R 2/1 1200.0000 cents 2 [2;]
Distance: 860.377 cents
L 3/2 701.9550 cents 2^-1.3 [1;2]
Distance: 362.332 cents
L 4/3 498.0450 cents 2^2.3^-1 [1;3]
Distance: 158.422 cents
L 5/4 386.3137 cents 2^-2.5 [1;4]
Distance: 46.691 cents
L 6/5 315.6413 cents 2.3.5^-1 [1;5]
Distance: -23.982 cents
R 11/9 347.4079 cents 3^-2.11 [1;4,2] ~ :N2d
Distance: 7.785 cents
L 17/14 336.1295 cents 2^-1.7^-1.17 [1;4,1,2] ~ :Pqt
Distance: -3.493 cents
R 28/23 340.5516 cents 2^2.7.23^-1 [1;4,1,1,2] ~ :QTv
Distance: 0.929 cents
L 45/37 338.8797 cents 3^2.5.37^-1 [1;4,1,1,1,2]
Distance: -0.743 cents
R 73/60 339.5208 cents 2^-2.3^-1.5^-1.73 [1;4,1,1,1,1,2]
Distance: -0.102 cents
R 101/83 339.8065 cents 83^-1.101 [1;4,1,1,1,1,3]
Distance: 0.183 cents
L 174/143 339.6866 cents 2.3.11^-1.13^-1.29 [1;4,1,1,1,1,2,2] ~ :WDTrp
Distance: 0.064 cents
L 247/203 339.6376 cents 7^-1.13.19.29^-1 [1;4,1,1,1,1,2,3] ~ :URwq
Distance: 0.015 cents
L 320/263 339.6109 cents 2^6.5.263^-1 [1;4,1,1,1,1,2,4]
Distance: -0.012 cents
R 567/466 339.6225 cents 2^-1.3^4.7.233^-1 [1;4,1,1,1,1,2,3,2]
Distance: -0.000 cents

[Математик]

Для выяснения природы ЧИП13 я сочинил 'Chord Progression over CH Pedal. Approximation to 13LJI in 53EDO'. Вкладываю MIDI модель:

Вложение 44798

Этот индоевропейский по сути эксперимент посвящён Вам и пока я занят приведением в порядок партитуры предлагаю обсудить модель эмоцинально.

Спасибо. Эмоционально модель мне очень понравилась. В плане посвящений я теперь Ваш должник. Есть у меня одна вещица… Оригинальная (как мне кажется) и по обсуждаемой теме. Очень надеюсь в ближайшее время выложить ее здесь тоже с посвящением.

Между прочим в программе Scala есть возможность извлечения рациональных аппроксимаций частот из произвольных высот через ДШБ. Только вчера заметил этот пунктик и сегодня испытал его на высоте 339.623 cents 15-го элемента системы 53РДО.

Это вещь исключительно важная и ценная. Но все же уточните, пожалуйста, как пишут разработчики Scala: о Stern-Brocot Tree они пишут или же об использовании традиционного аппарата цепных (непрерывных) дробей – continued fractions? Конечно, Stern-Brocot Tree и continued fractions вещи взаимосвязанные, но меня просто интересует, неужели Дерево стало уже таким популярным, что даже разработчики программы Scala в его терминах изъясняются?

1/1 0.0000 cents 1 [1;]
Distance: -339.623 cents
R 2/1 1200.0000 cents 2 [2;]
Distance: 860.377 cents
L 3/2 701.9550 cents 2^-1.3 [1;2]
Distance: 362.332 cents
...................

L 17/14 336.1295 cents 2^-1.7^-1.17 [1;4,1,2] ~ :Pqt
Distance: -3.493 cents
R 28/23 340.5516 cents 2^2.7.23^-1 [1;4,1,1,2] ~ :QTv
Distance: 0.929 cents
L 45/37 338.8797 cents 3^2.5.37^-1 [1;4,1,1,1,2]
Distance: -0.743 cents
R 73/60 339.5208 cents 2^-2.3^-1.5^-1.73 [1;4,1,1,1,1,2]
Distance: -0.102 cents
...................

С большим удовлетворением отмечаю использование Вами на практике аппарата цепных дробей для аппроксимаций. На всякий случай напомню о разделе своего сайта, где собрано большое количество сведений о цепных дробях:
http://www.px-pict.com/7/4/4.html

и, в частности, приведен изготовленный мною калькулятор, осуществляющий разложение положительных рациональных чисел, представленных в виде обыкновенных дробей, в цепную дробь (калькулятор гарантированно будет работать в браузере Internet Explorer):
http://www.px-pict.com/7/4/4/3.html

[commator]

Спасибо. Эмоционально модель мне очень понравилась ...

Искренне рад, что планируемый обзор партитуры не будет омрачён тем, что последовательность не понравилась эмоционально.

... уточните, пожалуйста, как пишут разработчики Scala: о Stern-Brocot Tree они пишут или же об использовании традиционного аппарата цепных (непрерывных) дробей – continued fractions? Конечно, Stern-Brocot Tree и continued fractions вещи взаимосвязанные, но меня просто интересует, неужели Дерево стало уже таким популярным, что даже разработчики программы Scala в его терминах изъясняются? ...

Уточняю, что в пункте меню Approximate, среди других способов есть Pitch by Stern-Brocot...

Я очень рекомендую всем, кто нуждается в музыкальных расчётах взять в Сети эту миниатюрную по объёму и грандиозную по содержанию программу Мануэля Оп де Кула. Насколько мне известно, он единственный разработчик этого легально бесплатного ПО. Похоже на всём Глобусе никто другой ничего подобного ещё не создал. Он то знает про ДШБ, но много ли таких? Я вот не первый год в Scala заглядываю, а только позавчера обратил там внимание на ДШБ, о котором через Вас не первый месяц осведомлён.

...

С большим удовлетворением отмечаю использование Вами на практике аппарата цепных дробей для аппроксимаций. На всякий случай напомню о разделе своего сайта, где собрано большое количество сведений о цепных дробях:
http://www.px-pict.com/7/4/4.html

и, в частности, приведен изготовленный мною калькулятор, осуществляющий разложение положительных рациональных чисел, представленных в виде обыкновенных дробей, в цепную дробь (калькулятор гарантированно будет работать в браузере Internet Explorer):
http://www.px-pict.com/7/4/4/3.html

Разочарую Вас тем, что цепные дроби выдаёт Scala, но использовать их на практике я не научился пока.

К счастью Scala ещё выдаёт факторизации, а именно этим я на практике пользуюсь постоянно. Правда в виде более удобных для записи и содержательных для анализа формул сонантометрии. Такое пока вряд ли что нибудь выдаёт, поэтому собственными мозгами шевелить приходится.

А всё из-за Веберо-Фехнерова закона, по которому частoты отображаются восприятием как высoты через логарифмическую кривую. С точки зрения восприятия и собственно музыкальной науки, высоты, или логарифмы частот приходится признавать главнее частот.

[commator]

...


KMY_CH13L53E.zip
KMY_CH13L53E.mp3

Этот индоевропейский по сути эксперимент ...

испытывает на совместимость индийское педалирование двух обогащённых обертонами высот в малой октаве и европейскую схему гармоничного четырёхголосия.

Индийская педаль создаётся постоянным перебором струн танпуры и один из её вариантов (пренебрегая октавными удвоениями) представляет собой большую септиму до си, если верить Википедии:

<<... Некоторые раги требуют менее общую настройку с шуддх НИ [си-бекар малой октавы] (неполный тон ниже октавной са [до' первой октавы]): НИ са са Са [си до' до' до] ...>>

... Some ragas require a less common tuning with shuddh NI (semitone below octave sa): NI sa sa SA ...

Размышления о смысле устройства и употребления танпуры подсказывают, что её роль в активации и поддержке рабочего состояния определённого пакета каналов восприятия. Каждый из активных каналов имеет не слишком широкую критическую полосу. Если на фоне неизменной педали меняются высоты звуковой последовательности, передающей музыкальный смысл, и они хорошо ладят с активными каналами восприятия, то приём происходит с минимальной затратой энергии на автоподстройку, смысл принимается без лишнего напряжения, и последовательность ощущается как верная.

Напрашивается предположение, что каждый частичный тон спектра струн танпуры активирует и поддерживает в рабочем состоянии свой собственный канал восприятия. Кроме того возникает спектр комбинационных тонов, и каждый такой тон либо совпадает с активным каналом одного из частичных тонов, либо активирует и поддерживает работу собственного канала восприятия. Разумеется, если каналы частичных тонов не будут ладить с каналами комбинационных тонов, то звучание танпуры будет расстроено.

В случае верной настройки танпуры, комбинационные тоны будут гармонично сочетаться с частичными, а последовательности тонов музыкального смысла не должны заметно конфликтовать ни с каналами частичных ни с каналами комбинационных тонов.

В моей модели основные тоны большой септимы индийской педали настроены как 8-й и 15-й частичные тоны ноты До,, субконтроктавы. Поэтому все частичные тоны являются элементами натуральной скалы (ЭНС) ноты До,,. Комбинационные тоны также совпадают с ЭНС ноты До,,. В первом такте последовательности частичные тоны выписаны нотными головками "ромб", а комбинационные имеют форму "малый ромб".

Таким образом первая октава становится 4-м регистром натуральной скалы (НС) ноты До,,. Из 2^4=16 возможных в этом регистре ЭНС для ЧИП13 могут быть доступны все, кроме ЭНС17, ЭНС19, ЭНС23, ЭНС29, ЭНС31. Вторая октава выступает пятым регистром НС ноты До,,. Возможны 2^5 = 32 ЭНС, но в ЧИП13 будут недоступны ЭНС37, ЭНС41, ЭНС43, ЭНС47, ЭНС53, ЭНС59, ЭНС61.

Этим я в основном и руководствовался при сочинении четырёхголосной последовательности в первой и второй октавах. Кроме того я заботился о том, чтобы голоса не приближались друг к другу менее чем на терцию, чтобы их критические полосы не конфликтовали из-за взаимного пересечения. В таких условиях исключаются негармоничные взаимодействия частичных и комбинационных тонов четырёхголосия и педали.

[Математик]

А всё из-за Веберо-Фехнерова закона, по которому частoты отображаются восприятием как высoты через логарифмическую кривую. С точки зрения восприятия и собственно музыкальной науки, высоты, или логарифмы частот приходится признавать главнее частот.

В рамках теории четырехполюсников эта логарифмическая зависимость очень скрупулезно исследуется.

Для дальнейшего будет полезно произвести электрификацию Дерева, имея в виду, что матрица взаимного четырехполюсника, записанного в А-форме, является унимодулярной:
http://www.px-pict.com/5/3/3/1/10/2/1.html

На указанной странице условие унимодулярности матрицы взаимного четырехполюсника записано в соотношении (8-7). Понятно, что это соотношение выражает собой ни что иное, как требование равенства единице определителя матрицы четырехполюсника. О матрицах и их определителях см. у Александрова:
http://www.px-pict.com/7/4/6/1/2.html

Равенство единице определителя матрицы и означает ее унимодулярность, согласно определению:
http://en.wikipedia.org/wiki/Unimodular_matrix


Указанный путь к электрификации Дерева является дальнейшим естественным развитием уже обсуждавшихся нами ранее электротехнических интуиций применительно к музыке:

Чтобы иметь возможность предметно говорить об этой логарифмической зависимости, в качестве первого шага более подробно расписал связь четырехполюсников с Деревом и выложил соответствующий калькулятор для экспериментов:
http://www.px-pict.com/10/4/4/9.html

[commator]

Для дальнейшего будет полезно произвести электрификацию Дерева ...

Хорошо было бы сформулировать в этом случае музыкальный аналог электричесеого закона Ома:

I = U/R.

Я выше писал, что вертикаль музыкальной ткани, или гармоническая выразительность интервала (H) между одновременно звучащими нотами, может быть аналогом электического напряжения U. Горизонталь музыкальной ткани есть мелодическая выразительность интервала (M) между последовательно звучащими нотами, которая может быть аналогом электрического тока I.

Нет ясности с музыкальным аналогом электрического сопротивления R. По аналогии с электричеством это X должно в уравнении M = H/X своим увеличением уменьшать М, и наоборот. Нулевая величина X означает для М неопределённость в виде бесконечной величины. Если переписать уравнение в виде H = M*X, выясняется, что нулевое X означает для H неопределённость в виде нулевой величины. Интервал с неопределёнными выразительностями нулевой гармоничности H = 0 и бесконечной мелодичности M = ∞ есть унисон. Ширина унисона нулевая и может быть принята за X = 0.

Музыкальным аналогом электрического сопротивления можно считать ширину интервала (W). Аналог электрического закона Ома для музыкальной ткани может выглядеть так:

Мелодичность интервала ~ Гармоничность интервала/Ширина интервала

M ~ H/W

Это правдоподобно, потому что широкий интервал, начиная с терции в мелодии вызывает ощущение разрыва и называется скачком. Интервалами большой мелодичности, поэтому считаются узкие, менее терции интервалы. Такие интервалы становятся интервалами малой гармоничности, а у широких, начиная с терции, интервалов уменьшается мелодичность и растёт гармоничность.