Алексей Степанович Оголевец

[vcirkov]

Ведь даже если мы обратимся к самому Пифагору (в интерпретации Б. Л. ван дер Вардена), то увидим, что звуки приписываемой ему диатонической гаммы могут быть представлены в виде цепочки (акустически чистых) квинт или кварт (с привлечением при необходимости октавных переносов звуков):

В том-то и дело, что только диатоника, а не полный круг квинт.

[Olorulus]

Представлять Пифагоров строй не только как некоторую цепочку (акустически чистых) квинт или кварт совершенно невозможно.

Да что Вы говорите Именно так структурно представляется Пифагоров строй во всех учебниках и пособиях по музыкальной акустике. Я же утверждаю, что (а) это -- лишь одна из возможных абстракций строя как звуковысотной материи и (б) в самих пифагорейских источниках никаких "квинтовых цепочек" нет и в помине. Это -- достижение позитивистской науки Нового времени.

[Математик]

В том-то и дело, что только диатоника, а не полный круг квинт.

В средневековье рассматривались уже и не только диатонические шкалы. Например, 18 – звучная шкала, о которой пишет Уибберли:
Диезы, следовательно, будут лежать на большой полутон выше своей родительской "белой" ноты, а бемоли будут лежать на большой полутон ниже своей родительской "белой" ноты. Это даст нам все ноты, необходимые при комбинированном использовании musica recta и musica ficta. Таким образом, октава будет представлена восемнадцатью нотами вместо обычных двенадцати.
http://px-pict.com/7/3/2/3/13/2/1/2/1/1.html
(пункт [ 12 ] на указанной странице)

Нетрудно заметить, что эта 18 – звучная шкала представляет собой некоторый конечный отрезок квинтовой спирали:
http://px-pict.com/7/3/2/5/1.html

[Математик]

Да что Вы говорите Именно так структурно представляется Пифагоров строй во всех учебниках и пособиях по музыкальной акустике. Я же утверждаю, что (а) это -- лишь одна из возможных абстракций строя как звуковысотной материи и (б) в самих пифагорейских источниках никаких "квинтовых цепочек" нет и в помине. Это -- достижение позитивистской науки Нового времени.

Может существовать много эквивалентных переформулировок одной и той же конструкции (в данном случае, Пифагорова строя). Какими бы способами ни был сформирован некий звукоряд, я всегда могу протестировать, является ли он Пифагорейским. Если звуки этого звукоряда можно вытянуть в некоторую цепочку (акустически чистых) квинт, характеризуемых отношением 3 / 2 , то, значит, он является Пифагорейским. При этом не имеет значения, из скольких звуков состоит исходный звукоряд: он может содержать 2, 3, 5, 7, 12, 17 звуков или же он может являться бесконечным (что характерно для множества звуков, образующих “квинтовую спираль”).
В этом смысле, например, все “элементарные” звукоряды, рассматриваемые Немировским, являются Пифагорейскими:
http://px-pict.com/7/3/2/5/5/2/1/4.html
http://px-pict.com/7/3/2/5/5/2/1/5.html
http://px-pict.com/7/3/2/5/5/2/1/6.html

... в самих пифагорейских источниках никаких "квинтовых цепочек" нет и в помине. Это -- достижение позитивистской науки Нового времени.

Как все же быть со следующим утверждением Б. Л. ван дер Вардена:
… настройка по чистым квинтам и квартам была в употреблении у музыкантов-практиков, а в древности являлась даже преобладающей. Таким образом, реабилитируется традиция, приписывающая Пифагору установление числовой закономерности этой гаммы (раздел 7).http://px-pict.com/7/3/2/1/4/1.html

А также, как быть с утверждением вот этого господина:
The Babylonians left tablets to explain how spiraling fifths were used for making musical scales.
http://www.newmusicbox.org/articles/...to-Intonation/
(подобные утверждения находил и в других источниках)

[vcirkov]

В средневековье рассматривались уже и не только диатонические шкалы. Например, 18 – звучная шкала, о которой пишет Уибберли:
Нетрудно заметить, что эта

Если Вам будет не трудно, поясните мне: почему "18 – звучная шкала представляет собой некоторый конечный отрезок квинтовой спирали"? Из представленных ссылок я не нашел об этом ничего. Мне интересно это еще и потому, что известный орган с делениями черных клавиш на диезы и бемоли содержит 17 клавиш: 7 белых и дважды по 5 черных.

Также поясните это:

Это даст нам все ноты, необходимые при комбинированном использовании musica recta и musica ficta.

Видимо речь идет об использовании чистых терций вместо пифагорейских?

[Olorulus]

Как все же быть со следующим утверждением Б. Л. ван дер Вардена:
… настройка по чистым квинтам и квартам была в употреблении у музыкантов-практиков, а в древности являлась даже преобладающей. Таким образом, реабилитируется традиция, приписывающая Пифагору установление числовой закономерности этой гаммы (раздел 7).http://px-pict.com/7/3/2/1/4/1.html

Про вавилонян ничего не знаю (но сильно подозреваю, что это утверждение -- только теоретическая модель). Что касается (чрезвычайно уважаемого мной!) ван дер Вардена, должен констатировать, что приведенная цитата ни на что не опирается. Либо (что тоже возможно) текст небрежно переведен.

Нет никаких теоретических свидетельств о квинто-квартовой настройке античной кифары и пр. лир и арф (понятно, что на авлосе и подавно не было никакой квинто-квартовой настройки).

[Математик]

Если Вам будет не трудно, поясните мне: почему "18 – звучная шкала представляет собой некоторый конечный отрезок квинтовой спирали"? Из представленных ссылок я не нашел об этом ничего.

Уибберли пишет:
Корректный способ получения точных Пифагорейских величин заключается в том, чтобы взять некоторую исходную ноту … и, далее:
а) двигаться вверх по цепочке (акустически чистых) квинт в "диезную сторону" и
b) двигаться вниз по цепочке (акустически чистых) квинт в "бемольную сторону".
Взяв ноту "C" ("до") в качестве отправной точки, первый этап получения точных Пифагорейских величин будет заключаться в движении в "диезную сторону" вплоть до ноты ля-диез, тогда как второй этап получения точных Пифагорейских величин будет заключаться в движении от той же самой исходной ноты "C" ("до") в "бемольную сторону" вплоть до ноты до-бемоль. Когда этот процесс из двух этапов будет завершен, все "белые ноты" приобретут свои точные значения, а для "черных нот" будет существовать два значения, отделенные друг от друга Пифагоровой коммой.
http://px-pict.com/7/3/2/3/13/2/1/2/1/1.html
(пункт [ 12 ] на указанной странице)

Открываем страницу с квинтовой спиралью:
http://px-pict.com/7/3/2/5/1.html
(на самом деле там изображен конечный отрезок этой спирали, состоящий из 25 звуков: от ноты ре-дубль-бемоль до ноты си-диез; тем не менее, 18-звучная шкала Уибберли является под-отрезком этого 25-звучного отрезка бесконечной квинтовой спирали).

Чтобы получить этот 18-звучный отрезок Уибберли, работаем в два этапа (как он сам и пишет об этом).
На первом этапе стартуем от ноты "C" ("до") и движемся по звукам квинтовой спирали в "диезную сторону" вплоть до ноты ля-диез. Получаем ноты: соль, ре, ля, ми, си, фа-диез, до-диез, соль-диез, ре-диез, ля-диез. Таким образом, на первом этапе получаем всего 10 звуков (не считая исходного звука до).
На втором этапе стартуем от ноты "C" ("до") и движемся по звукам квинтовой спирали в "бемольную сторону" вплоть до ноты до-бемоль. Получаем ноты: фа, си-бемоль, ми-бемоль, ля-бемоль, ре-бемоль, соль-бемоль, до-бемоль. Таким образом, на втором этапе получаем всего 7 звуков (не считая исходного звука до).
Всего звуков на двух этапах (считая также и исходный звук "C" ("до")) получаем: 10 + 7 + 1 = 18.

[vcirkov]

Уибберли пишет:
Корректный способ получения точных Пифагорейских величин заключается в том, чтобы взять некоторую исходную ноту …

Да, ведь все проще. Центр белых клавишей, если считать по кругу квинт, - нота ре, а не до. 5 диезов и 5 бемолей, которые любой школьник знает наизусть скороговоркой. Шестой диез и бемоль приходится на белые клавиши, которые не раздваиваются и, стало быть, не нужны. Вот и выходит 17 звуков, а не 18. Зачем нам считать "по звукам квинтовой спирали в "бемольную сторону" вплоть до ноты до-бемоль", если на клавиатуре этого звука нет?

[Математик]

Зачем нам считать "по звукам квинтовой спирали в "бемольную сторону" вплоть до ноты до-бемоль", если на клавиатуре этого звука нет?

Затем, что в Пифагоровом строе (к которому относится шкала Уибберли) до-бемоль не совпадает с си.
Уибберли абсолютно корректно построил необходимую ему 18-звучную шкалу.

17-звучная пифагорейская шкала, получающаяся из 18-звучной шкалы Уибберли путем отбрасывания звука до-бемоль, тоже существует и исследуется. Например, у Оголевца:
http://px-pict.com/7/3/2/4/19.html
(Чертеж 35)

Начало исследований по этой шкале Оголевец относит по крайней мере к Prosdocimus'у:
http://px-pict.com/7/3/2/4/19/1.html

Напомню, что некоторые исследования Prosdocimus'а мы уже обсуждали в контексте другой статьи Уибберли:
Хотя и писавшие несколько раньше, Prosdocimus и Ugolino дают очень точные описания позиций на монохорде для нот "musica ficta". Для этих ficta pitches придается равное значение их способности доставлять как "совершенный консонанс", так и "окрашенный диссонанс". Следовательно, звук фа-диез, например, образует не только совершенный консонанс с каким-либо более низким звуком си, но также образует и окрашенный диссонанс с некоторым более низким звуком ре. Таким образом, большая терция ре — фа-диез описывается как некоторый "окрашенный диссонанс". Под этой терцией мы должны понимать "пифагорейский дитон", который характеризуется отношением частот 81:64.
http://px-pict.com/7/3/2/3/13/2/1/1/1.html
(пункт [5] на указанной странице)
-----------------------------------------------------

Мне интересно это еще и потому, что известный орган с делениями черных клавиш на диезы и бемоли содержит 17 клавиш: 7 белых и дважды по 5 черных.

Оголевец тоже построил экспериментальный инструмент с подобной клавиатурой:
http://px-pict.com/7/3/2/4/50/2/4.html
(см. Чертеж 70)

[Математик]

Что касается (чрезвычайно уважаемого мной!) ван дер Вардена, должен констатировать, что приведенная цитата ни на что не опирается. Либо (что тоже возможно) текст небрежно переведен.

Если Вы обратили внимание, приведенная цитата содержится во Введении статьи Вардена, где дается только анонс ее содержания. И где указано, что соответствующий тезис будет раскрываться в Разделе 7 статьи, т. е. вот на этих страницах:
Б. Л. ван дер Варден. Пифагорейское учение о гармонии.
В кн.: Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука.
Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Гос. издательство физико-математической литературы,
М.:, 1959, сс. 421 — 426.

Здесь приведено начало этого Раздела7:
http://px-pict.com/7/3/2/1/4/7.html

Но читать его нужно весь.