Алексей Степанович Оголевец

[commator]

Гармоническая четверка “сидит” не только в мажорном трезвучии “чистого строя”, но и в самом первом в истории человечества звукоряде c – g – c1 (по версии акустика Немировского):
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/1/4.html

И чего, спрашивается, она там сидит? Ведь благозвучных мажорных трезвучий в этом звукоряде не имеется ….

Хороший вопрос.
Ответ напрашивается сам собой. Раз благозвучных мажорных трезвучий нет, то и хороших мажорных тональностей не найти в пифагорейской настройке. Благозвучная гармония возможна лишь без терций, а ощущение мажора именно терции порождают.

Какая-то гармоничность в ЧИП3 есть, но только не та, что способна дать истинную мажорную тональность. Прикладываю таблицу некоторых гармонических четвёрок в системах ЧИП2, ЧИП3, ЧИП5, ЧИП7. Она демонстрирует, что каждая ЧИ более высокого предела полностью включает в себя достижения ЧИ предшествующего предела, и даёт возможность изучать и применять художественные особенности новых интонаций, для ЧИ предшествующего предела неосуществимых должным образом.

[Математик]

А все-таки интересно…
Почему из “многоступенной звуковой скалы” (по терминологии Немировского), которую он представлял в виде множества звуков с частотами от 16 до 4000 герц, проходимого с шагом в 1 герц:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/1/3.html

Почему из этой “скалы” выделилась в качестве самого первого “музыкального” шага именно “гармония” c – g – c1, а не “гораздо более совершенная” Царлиновская гармония c – e – g?

Почему более 2000 лет нужно было ждать ее появления (срок, согласитесь, немалый):
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/1.html

А вот если бы из “скалы” выделилась сразу “нужная” гармония c – e – g, то очень скоро появилась бы и диатоника “чистого строя” путем сведения в одну октаву трех мажорных аккордов:

Несколько по другому и чуть более подробно построение мажорной диатоники чистого строя при помощи Царлиновских больших трезвучий можно представить так (см. прилагаемый рис.)

Но этого почему-то не случилось…

[commator]

А все-таки интересно…
Почему из “многоступенной звуковой скалы” (по терминологии Немировского), которую он представлял в виде множества звуков с частотами от 16 до 4000 герц, проходимого с шагом в 1 герц:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/1/3.html

Почему из этой “скалы” выделилась в качестве самого первого “музыкального” шага именно “гармония” c – g – c1, а не “гораздо более совершенная” Царлиновская гармония c – e – g?

Почему более 2000 лет нужно было ждать ее появления (срок, согласитесь, немалый):
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/1.html
…

Выделение c – g – c1 и c – e – g можно считать разными версиями музыкальной реализациии одной и той же математической структуры - гармонической четвёрки. Поэтому степень совершенства гармоний одинакова.

А вот нужда в расширении выразительных средств гармонического наполнения музыкального языка заставляет искать, находить, исследовать и эксплуатировать новые реализации гармонической четвёрки. Вероятно такая нужда возникает в моменты смены общественного устройства жизни людей.

Если бы баян изобрели во времена Царлино-Вичентино, то система 31РДО могла бы достигнуть широкого распространения ещё в те времена. Немцы со своей скупердяйской 12РДО могли бы не преуспеть. Из западной музыки не выпала бы на сотни лет энгармоническая выразительность, а гармония была бы поближе к натуральной скале и психоакустическим особенностям восприятия тональной музыки. Ветрогонам-атоналистам было бы труднее пробраться в концертные залы для экспериментов с массовым какофоническим воздействием на человечество.

Добывать новые и новые реализации гармонической четвёрки можно из одной и той же натуральной скалы звуков разными способами. А ведь эта скала по закону Вебера-Фехнера постоянно сопровождает восприятие любых высотно-определённых звуков. Выслушать в ней c – g – c1 попроще, чем c – e – g. Вот всё и началось с c – g – c1. Вероятно. Никто ведь не знает достоверно, как всё было на самом деле...
Одно ясно, что во все времена слух указывает, где искать гармоническую истину, а его вечная опора в этом - натуральная скала, совпадающая по частотным соотношениям элементов с множеством натуральных чисел.

Прикладываю таблицу подобную той, что может быть найдена выше. В отличие от предыдущей здесь новая порция реализаций гармонической четвёрки на не смежных элементах натуральной скалы

[Математик]

Выделение c – g – c1 и c – e – g можно считать разными версиями музыкальной реализациии одной и той же математической структуры - гармонической четвёрки. Поэтому степень совершенства гармоний одинакова.

Мне все же кажется, что их можно дифференцировать.
c – g – c1 -- это элементарная “горизонтальная” гармония, а c – e – g -- это элементарная “вертикальная” гармония.

Такое понимание открывает путь к тому, что хотел сделать Оголевец: синтезировать понятие древних греков о гармонии, наличествующей в последовательном движении не одновременно звучащих тонов с европейским пониманием гармонии как явления, присущего одновременно звучащим тонам:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/00/5.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/3/16.html

[commator]

Мне все же кажется, что их можно дифференцировать.
c – g – c1 -- это элементарная “горизонтальная” гармония, а c – e – g -- это элементарная “вертикальная” гармония.
....

Не могу согласиться. Предполагаю, что причина возможности существования в музыке вертикали и горизонтали связана с критической полосой, о которой известно из психоакустики. Раз её ширина в этих регистрах около терции (см. цитату ниже), то и c – g – c1 и c – e – g будут восприняты так, что слуховая система для каждого звука этих трезвучий активирует частный канал обработки.

Не случайно линейки нотного стана расположились на расстоянии терции друг от друга и таким образом дают схему разбиения общего диапазона восприятия тональных сигналов на множество частных каналов обоработки. Так же не случайно стремление к тесному расположению звуков аккордов по терциям, как минимально возможным интервалам, способным обеспечить и максимум плотности вертикального наполнения музыкальной ткани и минимум напряжённости её восприятия за счёт попадания в каждый ативный канал обработки лишь по одному сигналу от стимула.

О том, что активированный в слуховой системе канал обработки тонального сигнала не может прекратить свою деятельность одновременно с прекращением действия стимула-активатора написано много. Именно на этой особенности человеческого восприятия высотно-определённых звуков основана техника композиции скрытого многоголосия в рамках одноголосной горизонтали свободного стиля. Из-за этой особенности в полифонии строгого стиля существует деление голосоведения на плавное и скачкообразное, а для последнего множество ограничений.

По этой причине даже не очень быстрое горизонтальное употребление и c – g – c1 и c – e – g не способно создать того идеала горизонтали, который называют мелодией. Мелодия, вероятно, возникает в результате голосоведения, предусматривающего такое восприятие горизонтали, что активирован преимущественно один канал слуховой системы и он успевает перестраиваться на изменения частоты стимула-активатора.

Если принять такую точку зрения, то даже c – d – e слабый кандидат, на представление горизонтальной гармонии из-за возможной горизонтали c – e, способной активировать два канала обработки, порождающих фантом вертикали.

Вот глава из музыковедческой диссертации 2000-гр года, написанной в Лидсе, Англия.
....

Ещё глава из этой диссертации, способная насмешить нескольких человек на Форуме:

3.2.1 Introduction to Critical Bandwidth
When two sinusoids are adequately separated in frequency, they are processed by the cochlea as distinct entities, with the perceived loudness of one sinusoid being unaffected by the other. In the event that their frequencies are sufficiently close to one another, the two sinusoidal signals interact, thus masking, or diminishing the amplitude of, one another within the cochlea [Max Mathews, ‘The Ear and How it works,’ (Perry R. Cook, Editor) Music, Cognition and Computerized Sound (Cambridge: MIT Press, 1999), p. 9].
For each auditory neuron within the cochlea, a tuning curve, or graph of minimum sound pressure level for neural response versus frequency, can be drawn. The characteristic frequency (CF) is the frequency at which such a neuron can be stimulated with a minimum of amplitude. Deviating from the CF either above or below will cause a corresponding decrease in the output from the neuron being examined.
The psychophysical tuning curve (PTC), similar is shape to the neural tuning curve, is obtained through tests in which the listener hears first a tone whose frequency and amplitude are predetermined, and then a second tone, or masker. The level at which the masker masks the tone is then recorded in order to determine the overall shape of the auditory filter.
Results indicate that the inner ear is a bank of overlapping, linear bandpass filters. A combination of two or three filters, known collectively as a Roex filter, can be used to model the bandwidth of the cochlea for a given frequency [Patterson and Moore, 'Auditory filters and excitation patterns as representations of frequency resolution,’ (Brian C. J. Moore, Editor) Frequency Selectivity in Hearing (London: Academic Press, 1986), p. 136-7]. For a single sinusoid, the shape of the auditory filter, as indicated by threshold curves at various frequencies, is exponential [Patterson and Moore, Op. Cit, p. 123]. Moore characterizes the shape of the auditory filter as a rounded exponential function with a passband whose skirts are close to exponential but whose top is flattened:

For a young normal listener, a moderate level, and a 1.0 KHz centre frequency, the equivalent rectangular bandwidth of the filter is about 130 Hz and it is approximately symmetrical on a linear frequency scale. The filter applies an attenuation of about 25dB 300 Hz above or below the signal frequency [Patterson and Moore, Op. Cit, p. 173].

In musical terms, the size of the tonal window in which the sine components of one or more tones interact is approximately a minor third. The size of a critical band will increase as it descends to the frequencies of the lower keys of the piano. Additionally, amplitude causes the size of the critical band to augment, especially in the lower register.

Мой перевод:

3.2.1 Введение в критическую полосу
Когда две синусоиды удовлетворительно разделяются по частоте, они обрабатывается улиткой как отдельные сущности, с воспринятой громкостью одной синусоиды, незатронутой другой. Когда их частоты достаточно близки друг к другу, два синусоидальных сигнала взаимодействуют, маскируя, или уменьшая, таким образом, амплитуду друг друга внутри улитки [Max Mathews, ‘The Ear and How it works,’ (Perry R. Cook, Editor) Music, Cognition and Computerized Sound (Cambridge: MIT Press, 1999), p. 9].
Для каждого слухового нейрона внутри улитки, можно вычертить кривую настройки, или график минимального уровня звукового давления для нейральной реакции в сравнении с частотой. Характеристическая частота (ХЧ) есть частота, на которой такой нейрон может быть стимулирован с минимумом амплитуды. Отклонение от ХЧ либо выше, либо ниже, причинит соответствующее уменьшение на выходе исследуемого нейрона.
Психофизическая кривая настройки (ПКН), аналогично есть модель к нейральной кривой настройки, полученная через испытания, в которых слушатель прослушивает сначала тон, чья частота и амплитуда предопределена, и затем второй тон, или masker. Уровень, на котором masker маскирует тон, затем зарегистрирован, чтобы установить общую форму слухового фильтра.
Результаты указывают, что внутреннее ухо есть набор перекрывающихся линейных полосовых фильтров. Комбинация двух или трех фильтров, известных вместе как Roex [Rounded exponential] фильтр, может использоваться для моделирования полосы улитки для данной частоты [Patterson and Moore, 'Auditory filters and excitation patterns as representations of frequency resolution,’ (Brian C. J. Moore, Editor) Frequency Selectivityin Hearing(London: Academic Press, 1986), p. 136-7]. Для отдельной синусоиды, форма слухового фильтра, как обозначено пороговыми кривыми в различных частотах, является экспоненциальной [Patterson and Moore, Op. Cit, p. 123]. Moore характеризует форму слухового фильтра как округленную показательную функцию с полосой пропускания, чьи окраины близки к экспоненциальным, но чья вершина сглажена:

Для молодого нормального слушателя, среднего уровня, и частоты центра 1.0 КГЦ, эквивалентная прямоугольная ширина полосы фильтра есть приблизительно 130 Гц, и она приблизительно симметрична на линейной шкале частот. Фильтр применяет около 25dB ослабления [на] 300 Гц выше или ниже частоты сигнала [Patterson and Moore, Op. Cit, p. 173].

В музыкальных терминах, размер тонального окна, в котором синус-компоненты одного или большего количества тонов взаимодействуют есть приблизительно малая терция. Размер критической полосы увеличится, по мере снижения к частотам низших клавиш фортепьяно. Дополнительно, амплитуда заставляет размер критической полосы увеличиваться, особенно в низшем регистре.

Нескольким завсегдатаям Форума покажется смешным, что это в музыковедческой диссертации писано.

[commator]

Мне все же кажется, что их можно дифференцировать.
c – g – c1 -- это элементарная “горизонтальная” гармония, а c – e – g -- это элементарная “вертикальная” гармония.
...

Не могу согласиться. Предполагаю, что ... даже c – d – e слабый кандидат, на представление горизонтальной гармонии из-за возможной горизонтали c – e, способной активировать два канала обработки, порождающих фантом вертикали.

Но может быть мои предположения не к месту и под горизонтальной гармонией Вы подразумеваете не то, что у меня связалось с этим словосочетанием?

[Математик]

Но может быть мои предположения не к месту и под горизонтальной гармонией Вы подразумеваете не то, что у меня связалось с этим словосочетанием?

Нет, почему же…. Они вполне к месту, но мне нужно некоторое время чтобы их осмыслить.

Вот только по поводу гармонических четверок:

Какая-то гармоничность в ЧИП3 есть, но только не та, что способна дать истинную мажорную тональность. Прикладываю таблицу некоторых гармонических четвёрок в системах ЧИП2, ЧИП3, ЧИП5, ЧИП7. Она демонстрирует, что каждая ЧИ более высокого предела полностью включает в себя достижения ЧИ предшествующего предела, и даёт возможность изучать и применять художественные особенности новых интонаций, для ЧИ предшествующего предела неосуществимых должным образом.

я хотел бы отметить, что сами по себе эти точки носят вспомогательный характер и при желании могут интерпретироваться как точки прикрепления “струн” к тому, на чем они держатся. “Звучат” определенные отрезки между этими точками, интерпретируемые как “струны” соответствующей длины. Тот факт, что между длинами струн-отрезков имеются вполне определенные соотношения, индуцирует определенное отношение и между “точками прикрепления струн”, что и выражается понятием “гармонической четверки точек”

Точек – четыре, а ассоциированных с ними струн-отрезков – три (отчего и возникает именно трезвучие). На нижеследующем рисунке эта ситуация иллюстрируется для разобранной выше гармонии c - g - c1
http://www.px-pict.com/preprints/harmonia/2.html

[Математик]

Чтобы освоиться с гармоническими четверками точек, можно обратиться к Дереву, где их навалом:
http://forum.arbuz.uz/index.php?showtopic=2192

Поскольку Вы жалуетесь, что страницы с форума на Арбузе не открываются, я специально сфотографировал этот пост:
http://www.px-pict.com/preprints/harmonia/1.html

Каждый уровень Дерева может рассматриваться как некий гипотетический струнный инструмент, состоящий из ((2 в степени (n + 1)) – 1) струн. В частности, для 2-го уровня Дерева – из 7 струн:
http://www.px-pict.com/10/4/4/2.html

Каждую несократимую дробь, расположенную на уровне n интерпретируем как струну, длина которой находится в определенном отношении к “основному тону” – струне, длина которой принята за условную единицу и отвечает дроби 1/1. Например, для звукоряда 2-го уровня расположенная на левом конце дробь 1/3 отвечает струне, звучащей на дуодециму выше основного тона, а расположенная на правом конце дробь 3/1 отвечает струне, звучащей на дуодециму ниже основного тона.

Таким образом, получаем бесконечную последовательность “древесных звукорядов”, где каждый последующий звукоряд включает в себя предыдущий. Интервалы между звуками звукоряда, расположенного на 2-ом уровне, вполне пифагорейские ….

[commator]

... Точек – четыре, а ассоциированных с ними струн-отрезков – три (отчего и возникает именно трезвучие). На нижеследующем рисунке эта ситуация иллюстрируется для разобранной выше гармонии c - g - c1
http://www.px-pict.com/preprints/harmonia/2.html

Я обратил на это внимание. Не понравилось, что на 4 точки 3 отрезка. Это толкнуло искать причину несоответствия. Она нашлась, и я рассмотрел во множестве отрезков таковые нулевой и бесконечной длины. Приближение длин струн к этим недостижимым идеалам порождает недоступные для слуха звуки. По сути это тишина, которая настолько важна для музыки, что в виде разнообразных пауз удостоилась такой же тщательной нотации как и слышимые звуки.

Сделал паузы элементами гармонических четвёрок тональных звуков. Ультразвукоеая пауза входит в состав каждой из всех возможных. Среди них первая и единственная, у которой две паузы (ультразвук. инфразвук) отыскивается в рамках ЧИП2 - первой возможной системы ЧИ. Следовательно цепь октав есть первый музыкальный строй, способный создавать вертикальную гармонию. Какой бы примитивно пустой гармоническая вертикаль октавы не представлялась нам сегодня, во всём мире именно она в подавляющем большинстве известных способов создания музыкальных шкал присутствует. И это, как правило интервал, требующий абсолютно точной настройки. Ведь ЧИП2 - составная часть ЧИ любого предела.

[Математик]

Я обратил на это внимание. Не понравилось, что на 4 точки 3 отрезка. Это толкнуло искать причину несоответствия. Она нашлась, и я рассмотрел во множестве отрезков таковые нулевой и бесконечной длины. Приближение длин струн к этим недостижимым идеалам порождает недоступные для слуха звуки...

Да, да… Конечно. Я об этом тоже подумывал. О введении понятия бесконечно высокого и бесконечно низкого звуков (издаваемых бесконечно короткой и бесконечно длинной струнами, соответственно)
.
Такие понятия могли бы пригодиться, например, при “музыкальной” интерпретации роста Дерева (т. е. как процесса построения более широкого древесного звукоряда уровня (n + 1) на основе уже построеннного звукоряда уровня n).

С формальной точки зрения процесс роста Дерева в терминах гармонических четверок я пытался выразить здесь:
http://dxdy.ru/topic16277-45.html
(Пост от Пт янв 02, 2009 14:24:49).

Фигурирующие там символы ноль и бесконечность могли бы интерпретироваться как бесконечно короткая и бесконечно длинная струны, соответственно.