Диатонический и хроматический полутона

[commator]

Ну, не может квинта или терция ЧС стать иной, то есть - нечистой

В элементарной теории музыки сказано, что терция есть несовершенный консонанс и чистой не бывает, а бывает большой, малой, увеличенной и уменьшенной.

Похоже здесь затевается очередная неразбериха с чистой терцией и нулевым обертоном. Предпочту в этом не участвовать.

[Математик]

Хотелось бы как-то систематизировать наши жаркие споры по поводу диатонических и хроматических полутонов. Недавно вновь набрел на одну старую дискуссию об этом.
Жанна. “к книге элементарная теория музыки прочитал но ничо не понял!
обьясните пжалуйста (желательно простым языком - я безграмотный) кого не затруднит”
http://www.musicforums.ru/theory_arc...tml#replies=12

Хотя особенно интересует, конечно, пифагорейские диатонический и хроматический полутона (пресловутые леймма и апотома). У Оголевца есть специальный параграф на эту тему:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/4/10.html

Уважаемый commator не устает напоминать нам, что теория систем Чистой Интонации того или иного Предела (ЧИПов) основана на так называемой “основной теореме арифметики”.
Однако неясно, почему важные системы, относящиеся к теории музыки, должны быть основаны на основной теореме арифметики.
Где же “основная теорема” теории именно музыки?
По-видимому, на роль такой теоремы могло бы претендовать некоторое важное положение из самой теории музыки, допускающее корректную математическую экспликацию. Рискну предложить на эту роль следующее положение, известное в теории музыки:

“Старое правило Римана”, которое по мнению самого Римана следует из строго тональной логики, следующим образом согласовано со структурой “тональной системы Оголевца”:
Если из некоторого звука “тональной системы Оголевца” существует ход на пифагорейский хроматический полутон, то следующим ходом в том же направлении может быть (и всегда будет!) только ход на пифагорейский диатонический полутон.
Это есть просто формальное свойство “тональной системы”, рассматриваемой как “граф” указанного вида; оно может быть оформлено в виде математической теоремы.

[commator]

Читая пишущих на английском теоретиков можно заметить, что у них есть halftone и semitone

Читая пишущих о древнегреческом можно заметить и это (Щетников А. И. Развитие учения о музыкальной гармонии от Пифагора до Архита. сс. 16-8):

<<Как было сказано выше, интервал 2⁸ : 3⁵ = 256 : 243 называется лейммой или диезом. Разность между тоном и лейммой равна 3⁷ : 2¹¹ = 2187 : 2048, этот интервал называется апотомой (αποτομη = «отрезок»). Нетрудно убедиться в том, что апотома больше лейммы; поэтому их называют соответственно большим и малым полутоном. Разность между апотомой и лейммой равна комме.

(ПРОКЛ, Комментарий к «Тимею», II, 18918) Как мы сказали, апотома есть остаток, которым леймма дополняется до целого тона

<...>

отрывки текста БОЭЦИЯ.

<...>

(III, 27811) Эти интервалы и меньшие, чем они, ФИЛОЛАЙ определяет так. Диез, по его словам, есть интервал, на который кварта превосходит два тона. Комма — интервал, на который целый тон превосходит два диеза, то есть два меньших полутона. Схизма есть половина коммы, диасхизма — половина диеза, то есть меньшего полутона

<...>

Тот факт, что тон не равен в точности двум лейммам, вряд ли был установлен на слух; скорее, он был обнаружен теоретически, как об этом пишет ПЛУТАРХ (О психогонии «Тимея», 1020e):

Один из интервалов — так называемый тон, на который кварта превосходит квинту. Гармоники делят его пополам, полагая, что тем самым получают два интервала, каждый из которых они называют полутоном (ημιτονιον). Но пифагорейцы признали невозможным деление его на две равные части, и из двух неравных частей меньшую называют лейммой, так как ей не достаёт до половины>>

Со всей очевидностью лимма была для древних греков недотоном, который на апотому не дотягивает до целого тона. Более того, пифагорейцы её так назвали, чтобы этот недотон не именовать эмитонион (полутон), до которого лимма (λειμμα = остаток) также не дотягивает.

насчёт semitone, теоретики прошлого, думаю, вряд ли так чистоплюйствовали, уверен, что semitone происходит от «полу-» и «-тон»

Аккуратность и чистоплюйство не синонимы, а уверенность особенно хороша в сочетании с проверенностью.

[commator]

неясно, почему важные системы, относящиеся к теории музыки, должны быть основаны на основной теореме арифметики

Мне ясно вполне, что и арифметика и музыка растут на почве объединяющего их множества, известного в арифметике как натуральный ряд чисел, а в музыке как натуральный ряд обертонов.

То, что в арифметике называют основной теоремой, не может отсутствовать в музыке. Поэтому основная теорема арифметики обязана и в музыке проявиться основной теоремой.

Если правда за гипотезой о зависимости интонационной выразительности музыки от присутствия тех или иных простых чисел в канонических разложениях обертоново-унтертоновых дробей, то почему бы не отдать право быть в музыке основной теоремой, например, такой музыкальной интерпретации основной теоремы арифметики:

не сочтите странным, что

• система ЧИП1 (чистой интонации предела 1) создаёт в пространстве высот (слышимых и неслышимых) нульмерный унисонный массив совпадающих нот одного имени;
• система ЧИП2 (чистой интонации предела 2), или бесконечный высотный класс, создаёт в пространстве высот одномерную октавную цепь систем ЧИП1, или одномерный унисонно-октавный массив совпадающих и несовпадающих нот одного имени;
• система ЧИП3, или бесконечный пифагорейский строй, создаёт в пространстве высот одномерную квинтовую цепь непересекающихся систем ЧИП2, или двумерную октавно-квинтовую решётку систем ЧИП1, или двумерный унисонно-октавно-квинтовый массив совпадающих и несовпадающих пифагорейских нот с разными именами;
• система ЧИП5, или бесконечный дидимов (чистый) строй, создаёт в пространстве высот одномерную терцовую цепь непересекающихся систем ЧИП3, или эйлерову двумерную квинтово-терцовую решётку непересекающихся систем ЧИП2, или трёхмерную октавно-квинтово-терцовую решётку систем ЧИП1, или трёхмерный унисонно-октавно-квинтово-терцовый массив совпадающих и несовпадающих пифагорейских и дидимовых нот с разными именами;
• система ЧИП7, или бесконечный архитов (септимальный) строй, создаёт в пространстве высот одномерную гиперсекундовую цепь непересекающихся систем ЧИП5, или двумерную терцово-гиперсекундовую решётку непересекающихся систем ЧИП3, или трёхмерную квинтово-терцово-гиперсекундовую решётку непересекающихся систем ЧИП2, или четырёхмерную октавно-квинтово-терцово-гиперсекундовую решётку систем ЧИП1, или четырёхмерный унисонно-октавно-квинтово-терцово-гиперсекундовый массив совпадающих и несовпадающих пифагорейских, дидимовых и архитовых нот с разными именами;
• система ЧИП11, или бесконечный ундецимальный строй, ...;

...

Архит, как известно, добирался до ЧИП5 и даже ЧИП7 очень задолго до массового ренессансного стремления к выходу из ЧИП3 в ЧИП5, В теме об Оголевце было показано, что через пару тысячелетий после Архита, а для нас тоже довольно давно, к ЧИП7 вплотную приблизился Эйлер:

Алексей Степанович по моему мнению малость увлёкся ниспровержением буржуазной сущности чистой интонации.
Мы помним, конечно, что позже он смягчил эту свою непримиримость. Но теперь, когда у него раннего в "Основах", я прочитал кое что про исключение из тональной системы гармонических терций, сразу представил себе возможный масштаб его негодования по поводу петербургского трактата Л. Эйлера, изданного в 1739. Его сегодня может заиметь любой, кто нуждается, но видел ли эту книжицу ранний АСО?
Там упоминаются даже гармонические септимы, как вероятный объект тональной системы.

Прикладываю таблицу эйлерова прототипа ЧИП7. Я впервые узнал о ней в авторитетной книге П. Барбьери (c.c. 210..212).

[Математик]

Уважаемый commator.
Почему бы не предположить, что существенно “неизоморфных” между собой музыкально-теоретических систем может быть не одна, а много. И что каждая из них имеет право на существование. Как, например, каждая из девяти плоских геометрий:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/4.html

Ведь даже так называемых “неевклидовых” геометрий существует не одна, а много:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/5/3/0.html

и нет оснований зацикливаться исключительно только на какой-то одной из них.
Можно предположить, что системы должны конкурировать между собой. Поскольку никто не отменял еще очень правильного высказывания В. И. Ленина о том, что “монополия ведет к загниванию”.

[Математик]

Можно предположить, что системы должны конкурировать между собой. Поскольку никто не отменял еще очень правильного высказывания В. И. Ленина о том, что “монополия ведет к загниванию”.

Они и конкурировали между собой, начиная, по крайней мере, с древних греков.
Причем в жесткой, бескомпромисной борьбе за выживание с самого начала на практике побеждал почему-то “Пифагоров строй” (строй номер II по классификации Б. Л. ван дер Вардена), а не противостоящий ему “чистый” (строй номер I по классификации Б. Л. ван дер Вардена):
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/7.html

[Математик]

Мне ясно вполне, что и арифметика и музыка растут на почве объединяющего их множества, известного в арифметике как натуральный ряд чисел, а в музыке как натуральный ряд обертонов.
То, что в арифметике называют основной теоремой, не может отсутствовать в музыке. Поэтому основная теорема арифметики обязана и в музыке проявиться основной теоремой.

А что такое “арифметика” наша, уважаемый commator?
Почему она есть “теория чисел”, а не “теория отношений”? Я уже задавал этот вопрос раньше:
http://dxdy.ru/post237997.html#p237997

Как мы помним, древнегреческая теория музыки связывалась с теорией “отношений”:
http://www.px-pict.com/7/4/2/2/1.html

[commator]

никто не отменял еще очень правильного высказывания В. И. Ленина о том, что “монополия ведет к загниванию”.

Монополия чистой интонации для музыки есть только в системе ЧИП1, где единственной пищей высотной выразительности оказывается унисон. В соответствии с правильным высказыванием В. И. Ленина, эта монополия давно бы сгнила, не будучи своевременно поглощённой системой ЧИП2, которую в свою очередь скушала система ЧИП3, благполучно съеденная затем системой ЧИП5, что давно уж готова быть завтраком, обедом и ужином системы ЧИП7, загодя приготовленной для ЧИП11...

Внутри любой надсистемы ЧИП1, не может быть интонационной монополии, потому что полноценно существовать она может лишь в условиях свободной и обязательной конкуренции её собственной выразительности с таковыми у всех её питающих подсистем ЧИ более низких пределов.

С точки зрения марксизма-ленинизма система ЧИ обязана не загнивать, а постоянно разрастаться в сторону увеличения своего предела, что на самом деле и происходит.

[vcirkov]

Есть одна проблема, которую нужно решить прежде, чем обсуждать прочие версии ЧИ более высокого предела. Добавляя новые звуки к ЧС (септиму и т. д.), мы как бы хотим добавить ЧИ в музыку. Но для того, чтобы делать это грамотно, нужно первоначально выяснить, не являются ли эти звуки составными элементами обычного ЧС. Ведь строй, прежде всего, определяется шаблонами аккордов или интервалов. Если мы добавляем новые звуки, то должны проверить, - не создают ли они диссонансов с имеющимися звуками. Так же эти новые звуки могут не складываться в созвучия по шаблону ЧС, что будет опять противоречить самой идее ЧИ. Например, маж. трезвучие построенное на 5 ст. может функционально представлять 7-ю и 9-ю ступени, но по звучанию не должно быть отличным от обычного трезвучия ЧС.

[DJ Хруст]

Аккуратность и чистоплюйство не синонимы, а уверенность особенно хороша в сочетании с проверенностью.

Так как насчёт semiquaver?