Алексей Степанович Оголевец

[commator]

Да, да… Конечно. Я об этом тоже подумывал. О введении понятия бесконечно высокого и бесконечно низкого звуков (издаваемых бесконечно короткой и бесконечно длинной струнами, соответственно)
...

Вот это по настоящему приятно узнать. Я не сомневался конечно, что польза дожна быть, из-за того, что без этих бессмысленных с обычной точки зрения понятий арифметика гармонических четвёрок не получается, такой, какой я её понял.

То, что и Ваши рассуждения приводят к возможности употребления этих абстракций меня успокоило.

Страшновато бывает говорить о подобном. Вспоминается, что Швейк в сумасшедшем доме встречал человека, который <<... доказывал, что внутри земного шара имеется другой шар, значительно больше наружного ...>>

[commator]

Чтобы освоиться с гармоническими четверками точек, можно обратиться к Дереву, где их навалом:
http://forum.arbuz.uz/index.php?showtopic=2192 ...

Эта ссылка открывается. Знакомлюсь с Деревом.

[commator]

http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6.html
Вот эта Ваша страничка свидетельствует, что музыка и до Царлино имела в своём распоряжении не только пифагорейскую систему настройки квинтами на основе лишь простых чисел 2 и 3 (ЧИП3). Более того. Выясняется, что она даже выходила в пространство ЧИП7, т. е. в настройке применялась основа на простых числах 2, 3, 5, 7.

Интересно бы по этому поводу мнение Алексея Степановича узнать, если оно имеется.

[commator]

Чтобы освоиться с гармоническими четверками точек, можно обратиться к Дереву, где их навалом:
http://forum.arbuz.uz/index.php?showtopic=2192 ...

Эта ссылка открывается. Знакомлюсь с Деревом.

Впечатляющая картинка для иллюстрации концепции чистой интонации. С каждым новым рядом ветвлений ЧИ разрастается до своего очередного предела, начиная с ЧИП0!

http://www.cut-the-knot.org/blue/Stern.shtml

Я ещё как-то мог осознать, что система ЧИП1 должна собой представлять шкалу из одной ноты. Но абстракцию ЧИП0 не успел основательно обдумать. Теперь и нужда отпала. ЧИП0 наглядно присутствует в виде того, что мне и Вам представилось возможным назвать ультразвуковой (длина струны 0/1) и инфразвуковой (длина струны 1/0) тишиной или паузой. Эти паузы формируют корни Деревца.

А Джон Кейдж и пьесу в системе ЧИП0 написал. Из всех элементов музыки оставил только паузу. Пьесу иногда исполняют.

Так как паузы обязательно есть в начале и конце любой пьесы, то ЧИП0 является подсистемой любой возможной системы ЧИ. Вот и получается, что ЧИП1, строго говоря, из трёх нот состоит, но слышимая лишь одна. ЧИП0 из двух нот и обе вне слышимости.

Как правильно писать по-русски Stern-Brocot Tree?

[Математик]

http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6.html
Вот эта Ваша страничка свидетельствует, что музыка и до Царлино имела в своём распоряжении не только пифагорейскую систему настройки квинтами на основе лишь простых чисел 2 и 3 (ЧИП3). Более того. Выясняется, что она даже выходила в пространство ЧИП7, т. е. в настройке применялась основа на простых числах 2, 3, 5, 7.

Интересно бы по этому поводу мнение Алексея Степановича узнать, если оно имеется.

Это фрагмент из:
Б. Л. ван дер Варден.
Пифагорейское учение о гармонии.
В кн.: Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука.
Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.
Гос. издательство физико-математической литературы,
М.:, 1959, сс. 414 — 421.

Я думаю, Алексей Степанович был бы вполне удовлетворен следующим замечанием Б. Л. ван дер Вардена:
Для эмпирической проверки числовых отношений консонансов и опровержения Аристоксена "каноники" производят опыты с монохордом. Они снова отбрасывают "новейшие" гаммы Архита и в согласии с Платоном возвращаются к старой диатонической гамме с чистыми квинтами и квартами.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html
(пункт VII на данной странице).
Так как это означает ни что иное, как торжество пифагорейского строя. И хотелось бы знать, почему оно осуществилось (тогда), это торжество.

P.S. Все руки не доходят исправить на этой странице “эпиморфные отношения” на “эпиморные”

Здесь
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html

написано:

> созвучным интервалам должны соответствовать кратные
> или эпиморфные отношения;

Проверьте, действительно ли в книге написано &quot;эпиморфные&quot;? Должно быть &quot;эпиморные&quot;.

Да, Вы правы. В книге “эпиморные”. У меня описка.
Кстати говоря, эта страница книги (отсканированная) есть в сети:
http://naturalhistory.narod.ru/Perso..._img/00216.gif

Равно как и вся книга целиком:
Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука.
Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Гос. издательство физико-математической литературы, М.:, 1959.
http://naturalhistory.narod.ru/Perso..._1/N_1_Ogl.htm

И, соответственно, статья в этой книге:
Б. Л. ван дер Варден. Пифагорейское учение о гармонии.
Стр.393-401:
http://naturalhistory.narod.ru/Perso...a_1/N_1_10.htm
Стр. 402 – 441:
http://naturalhistory.narod.ru/Perso...a_1/N_1_11.htm

[commator]

...
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html
(пункт VII на данной странице).
Так как это означает ни что иное, как торжество пифагорейского строя. И хотелось бы знать, почему оно осуществилось (тогда), это торжество...

Не осуществилось и тогда торжество.

На той же странице

(ix) Дидим улучшает канон и опять вычисляет новые гаммы. Его диатоническая тональность очень близко подходит к новейшей чистой мажорной гамме.
(x) Завершением этого развития является сохранившаяся до нас теория гармонии Птолемея.

[Математик]

Впечатляющая картинка для иллюстрации концепции чистой интонации. С каждым новым рядом ветвлений ЧИ разрастается до своего очередного предела, начиная с ЧИП0!

Дерево можно рассматривать как еще один вариант построения так называемой “проективной шкалы”, отличный от того, что приведен у Ефимова:
http://www.px-pict.com/9/6/4/6/2/1.html

Но в любом случае проективная шкала строится при помощи “гармонических четверок”.

Как правильно писать по-русски Stern-Brocot Tree?

Я думаю, этого никто не знает. И “дерево Штерна” видел, и “дерево Брокота”.

[Математик]

Не осуществилось и тогда торжество.

На той же странице

(ix) Дидим улучшает канон и опять вычисляет новые гаммы. Его диатоническая тональность очень близко подходит к новейшей чистой мажорной гамме.
(x) Завершением этого развития является сохранившаяся до нас теория гармонии Птолемея.

Хорошо. Пусть тогда оно осуществилось локально. Но ведь потом оно осуществилось и глобально:
До времени Царлино (до средины XVI в.) акустической основой музыкальных систем служили определения Пифагора. Чтобы фиксировать относительную высоту звуков, Пифагор исходил из соответствуюших высоте звука длин струны…. Определения Пифагора касались только октавы, квинты и кварты.
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/1.html

Или неправду пишет акустик Немировский?

[Математик]

Теперь остается задать вопрос, какое значение в теории музыки имели арифметическая и гармоническая средние. На это вполне достаточные ответы дают нам Платон (в "Тимее"), Аристотель (у Плутарха), Никомах, Боэций и другие поздние авторы; они в один голос утверждают, что арифметическая и, прежде всего, гармоническая средние производят деление интервала на неравные частные интервалы. При этом полученные частные интервалы будут для обеих средних те же самые, но только в обратной последовательности; действительно, имеют место пропорции

A : H = M : B и A : M = H : B.

Ямвлих и Никомах называют эти пропорции "совершеннейшими". Ямвлих сообщает, что они были открыты вавилонянами и перенесены в Грецию Пифагором. Их использовали многие пифагорейцы, например Аристей из Кротона, Тимей из Локр, Филолай и Архит.

Классический пример, имеющийся у всех названных авторов, представляет деление октавы. Числа 12 и 6 находятся в отношении 2 : 1, их арифметическая средняя равна 9, а гармоническая 8; обе они производят деление октавы на кварту и квинту, или соответственно на квинту и кварту

12 : 9 = 8 : 6 = 4 : 3;
12 : 8 = 9 : 6 = 3 : 2.

Позднее Эратосфен применил тот же самый принцип деления не только к октаве, но также и к другим интервалам.

Так, малый тон 10:9 в хроматической тональности он делит на 20:19 и 19:18; в энгармонической тональности — полутон 20:19 делит на 40:39 и 39:38.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6.html
-----------

Эратосфен принимает эту диатоническую гамму. Для двух других видов тональностей он вычисляет новые интервалы, в изобилии применяя арифметическую и гармоническую средние.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html


Замечательно, что Дерево в целом растет по заветам Эратосфена! И интервалы на нем сугубо эпиморные, и делятся они на меньшие исключительно при помощи операций арифметического и гармонического средних…

[commator]

... Я думаю, этого никто не знает. И “дерево Штерна” видел, и “дерево Брокота”.

Таки знают и называют его Дерево Штерна — Броко (ДШБ). Оговариваются, что растение сие скорее древнегреческое и было известно Эратосфену в III в до н. э.

Хорошо. Пусть тогда оно осуществилось локально. Но ведь потом оно осуществилось и глобально:
До времени Царлино (до средины XVI в.) акустической основой музыкальных систем служили определения Пифагора. ...

http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/1.html

Или неправду пишет акустик Немировский?

Акустик честно излагает свои предположения, основанные на тех знаниях, которые он имел в своё время. Раэве Архит, Дидим и Птолемей были не во времена между Пифагором и Царлино? Книга Барбьери на странице 12 сообщает: "... Bartolomeo Ramis de Pareja (1482) был первым теоретиком, осознающим эволюцию шкал в направлении "чистых" соотношений (was the first theoretician to become aware of the evolution of scales towards to "just" ratios) ...". О нём в Википедии:
<<...
В 1482 году, когда он опубликовал свой Musica, он предложил революционно новое, предела пять деление монохорда, отрываясь от пифагорейской системы, которая доминировала в средневековом ars antiqua через Боэция и Гвидо из Ареццо. Эта система музыкального строя приносила консонантные совершенные кварты и квинты, но терции и сексты были грубые. Новое деление Ramos de Pareja было принято только медленно. Потом он работал в Италии, в основном в Болонье, где его теория породила серьезные споры, даже полемики, с консерваторами, как Franchino Gaffurio.
...>>
<<...
In 1482, when he published his Musica, he revolutionarily proposed a new, five-limit division of the monochord, breaking from the Pythagorean system that had dominated the medieval ars antiqua through Bo&#235;thius and Guido of Arezzo. This system of musical tuning yielded consonant perfect fourths and fifths, but the thirds and sixths were rough.[3] Ramos de Pareja's new division was only slowly accepted. Afterwards he worked in Italy, primarily at Bologna, where his theories were engendered serious controversy, even polemics, from conservatives like Franchino Gaffurio.
...>>

Царлино ещё не родился. А что было до периода ars antiqua из каких-то 200-300 лет?

Попытки остановить рост музыкальной разновидности ДШБ на уровне пифагорейской ЧИП3 предпринимались неоднократно и повсеместно. Глобальным результатом явился дальнейший его рост до уровня ЧИП5, выразительные возможности которого в наше время исчерпывающе освоены и всемирный рост до уровня ЧИП7 идёт полным ходом в практике эмпирического музицирования. Эта практика в западной музыке пока ещё гитарная в общей массе, но она расшатала объявленную было окончательной и совершенной систему настройки 12РДО. Электронные клавишные с матричными клавиатурами мало-помалу поступают в продажу.

[I]... Замечательно, что Дерево в целом растет по заветам Эратосфена! И интервалы на нем сугубо эпиморные, и делятся они на меньшие исключительно при помощи операций арифметического и гармонического средних…

Я прирастил к ДШБ ещё пару-тройку уровней. Оказалось, что после ЧИП7 следует ЧИП13. Потом ЧИП19 и ЧИП31. Это я к тому, что в период глобального роста уровня ЧИП7 можно ожидать локальные случаи выхода на уровни ЧИП13, ЧИП19 и даже ЧИП31. Похоже мелодические особенности этих уровней слышны в восточной музыке, а западная музыка всё интенсивнее их перенимает.