Теории Гуго Римана

[commator]

... Получаем следующий график:

Как можно видеть, период остался прежним, T=1.
Что и требовалось доказать. И никакие унтертоны не нужны.

Слух воспринимает звуки с подобными графиками в виде набора ощущений некоторых высот. Они называются тоны и по Риману имеют гармонические соотношения. Именно на таких множествах, т. е. подмножествах множества гармоничных тонов он строит свои теории, излагая их средствами специальной графики, известной как пятилинейная становая музыкальная нотация.

Для изложения своих теорий таким способом, Риману понадобилось из множества гармоничных тонов выделить унтертоны, обертоны и прочие понятные музыкантам предметы, хотя некоторые знатоки сути явлений уверены, что унтертоны, например, не нужны.

Меня, как и Римана интересует множество гармоничных тонов с точки зрения возможности изображения его подмножеств в виде доступных для понимания и воспроизведения музыкантами партитур. Ещё до чтения Римана, я разобрался, что унтертоны для этого необходимы наравне с обертонами. Теперь убеждаюсь: для меня важнейший знаток -- Риман, чьими унтертонами вымощена добротная дорога в направлении моих устремлений.

... Риманов Музыкальный словарь в статье Созвук ...

<<... Самым нижним комбинационным тоном интервала всегда бывает первый общий унтертон обоих тонов данного интервала, напр. для интервала e′ : g′ он = C, для c″ : d″ также C, но и для c′ : d″= C и т.д. ...>>

... Риманов Музыкальный словарь в статье Созвук предлагает расширенную нотацию того же, что и в Упрощённой гармонии ряда обертонов:
...

Глядя в эти ноты пример с графиками Dmitrii объясняется по Риману так:

Если в звуке с первыми тремя обертонами C, c, g физически уничтожить самый нижний, первый обертон C, слух не прекратит ощущать его высоту. Дело в том, что высота первого обертона C, совпадает с высотой самого низкого из воспринимаемых слухом комбинационных тонов второго c и третьего g вертикально звучащих обертонов. Этот комбинационный тон C демонстрирует одновременое и ощутимое звучание второго унтертона от второго обертона (звукоряд c, C) и третьего унтертона от третьего обертона (звукоряд g, G, C).

По Риману унтертоны встречаются в природе, звучат, поддаются нотации и нужны, т. к. многое музыкантам объясняют. Гафики же суперпозиции синусоид, если и заменят привычную нотную грамоту, то вовсе не завтра, и не через пару десятилетий.

[Dmitrii]

Для изложения своих теорий таким способом, Риману понадобилось из множества гармоничных тонов выделить унтертоны, обертоны

Против этого никто не возражал. Унтертоны понадобились Риману для построения и изложения своих теорий. И на здоровье. Речь была о другом. Вы заявили:

Кто-то когда-то выдумал, что унтертонов не встречается в природе; Вы, похоже, добавили и свою толику к живучести этого мифа, а унтертоны в природе встречаются.

Вот так: не в музыкальной теории, а в "природе". Не как некая конструкция, придуманная и использованная Риманом в его построениях, а как некий "природный" феномен. Вас никто за язык не тянул, сами взялись утверждать. Ну так докажите существование унтертонов музыкальных звуков в "природе", теми методами, которые используются для изучения природных явлений, т.е. методами естественных наук. Причем Вы утверждаете, что это феномен широко распространенный, столь же выраженный, как и обертоны. Ну так вот и покажите, что это действительно так.
Резидуальный звук, говорите, мол, это явление нельзя объяснить без унтертонов. Нет, это не так, вполне себе оно объясняется без всяких унтертонов (см. выше). Что еще? Комбинационные тоны - тоже никаких унтертонов не требуют. Далее. Возьмем какой-либо музыкальный звук - обертоны в нем есть, их можно увидеть в спектре, измерить их амплитуды, частоты, скорость затухания, степень негармоничности, их можно ослабить, усилить, выделить с помощью фильтра и непосредственно услышать. Ничего этого с унтертонами сделать нельзя. Почему? Да потому что как музыкально-акустический феномен они практически не существуют. Существуют, но лишь как малая добавка, весьма слабо выраженная в музыкальных звуках. В спектре унтертонов нет, говорите, но ухом они хорошо слышны? Нет, ничего подобного. Спойте ля первой октавы, и найдите хоть кого-нибудь, кто скажет, что услышал в этом звуке ля контроктавы. Ну или выделите с помощью фильтра эту контроктавную составляющую, предъявите ее явно, чтобы можно было ее ясно услышать. Не получится. А с обертонами - запросто.
Что же есть? А есть набор частот, соответствующих унтертонам. Просто некоторое множество чисел. И если взять звук, соответствующий одной из этих частот, то в сочетании с исходным тоном он будет давать консонирующий интервал. В этом смысле унтертоны существуют - просто как некоторый особый набор частот, который можно рассчитать на основе заданной основной частоты. Но не как обертоны - реальные составляющие звукового сигнала, которые можно выделить и услышать, измерить и т.п. В этом принципиальное отличие обертонов и унтертонов, это подразумевается, когда говорят, что "унтертоны в природе не существуют", в отличие от обертонов.

[commator]

... Резидуальный звук, говорите, мол, это явление нельзя объяснить без унтертонов. Нет, это не так, вполне себе оно объясняется без всяких унтертонов (см. выше). ...

Смотрю выше:

... Феномен резидуального звука состоит в том, что человеческий слух в состоянии распознать фундаментальную частоту звукового сигнала даже в том случае, если в спектре этого сигнала отсутствует компонента, имеющая данную частоту. Для объяснения этого явления никакие унтертоны не нужны. Нужны, как я говорил выше, некоторые базовые знания и навыки оперирования ими, без которых нет и смысла вести какие-либо дискуссии по подобным вопросам. ...

Думаю своим умом:

Такой сигнал включает компоненты:

¹/₁[1f]
¹/₁[2f], ¹/₂[2f]
¹/₁[3f], _______ ¹/₃[3f]
¹/₁[4f], ¹/₂[4f], _______ ¹/₄[4f]
¹/₁[5f], _______ _______ _______ ¹/₅[5f]
¹/₁[6f], ¹/₂[6f], ¹/₃[6f], _______ _______ ¹/₆[6f]
¹/₁[7f], _______ _______ _______ _______ _______ ¹/₇[7f]
¹/₁[8f], ¹/₂[8f], _______ ¹/₄[8f], _______ _______ ______ ¹/₈[8f]
. . . и т. д.
.
.
и т. д.

От каждого обертона ¹/₁[nf] выстраивается фрагмент ряда унтертонов. где не все подряд унтертоны есть, но всегда есть унтертон ¹/_n[nf]. Он совпадает с основной частотой ¹/₁[1f].

Можно сказать, что это умозрительные построения, но давно известно: если в периодическом сигнале достаточно богатого спектра уничтожить гармоническое колебание основной частоты, для слуха этот резидуальный звук будет звучать так, как будто основная частота присутствует. Не потому ли, что спектр и без основного тона создаёт для каждого без исключения обертона 1/1[nf] звучащий унтертон ¹/_n[nf], совпадающий с ¹/₁[1f]?

Я уверен, что именно потому. И уверен, как и Риман, что унтертоны в природе встречаются. Не реже обертонов, если не чаще. Только они не так заметны, как обертоны, которые все замечать стали совсем недавно, в сравнении с вечностью их прошлого существования, когда их не замечал никто.

Сверяю свои соображения с прямо соответствующими названию этой темы базовыми знаниями:

... Риманов Музыкальный словарь в статье Созвук ...

<<... Самым нижним комбинационным тоном интервала всегда бывает первый общий унтертон обоих тонов данного интервала, напр. для интервала e′ : g′ он = C, для c″ : d″ также C, но и для c′ : d″= C и т.д. ...>>

Нахожу Ваше объяснение с графиками незаконченным: Вы не сказали, что слух распознаёт фундаментальную частоту в виде тона, равного по высоте отсутствующему первому обертону. Этот тон оказывается общим для всех звучащих обертонов унтертоном.

Для ощущаемой высоты тона с достаточно полным спектром существование первого обертона не обязательно. В унисон первому обертону звучит общий для всех обертонов унтертон, сформированный спектром. Удаление первого обертона из спектра, позволяет убедиться, что такой унтертон там есть и звучит; т. к. этот унтертон формируется всеми обертонами спектра, удалить его из спектра если и возможно, то не так просто, как удалить первый обертон. Таким образом вклад унтертона, общего всем обертонам, для высоты тона с достаточно полным спектром оказывается фундаментальнее первого обертона, порождённого т. н. фундаментальной частотой.

Обращаю внимание ув. Filina на высказывание Римана о том, что унтертон бывает, бывает всегда и там, где самый нижний комбинационный тон.

Риман не сомневается в том, что унтертоны встречаются в природе и он точно указывает место, где они встречаются всегда.

[vcirkov]

Да потому что как музыкально-акустический феномен они практически не существуют. Существуют, но лишь как малая добавка, весьма слабо выраженная в музыкальных звуках.

Уважаемый Dmitrii, поясните, пожалуйста, о какой "весьма слабо выраженной добавке" идет речь? Если что-то слабо выражено, это можно усилить и показать. Давайте все же определимся: унтертоны это - математическая абстракция или природный феномен. Мне близка первая позиция, но в словарях везде пишут о нижних звучащих тонах.

[DJ Хруст]

Мне близка первая позиция, но в словарях везде пишут о нижних звучащих тонах.

В каких??

(+10 знаков)

[vcirkov]

В каких??

(+10 знаков)

Здесь достаточный список определений:
http://dic.academic.ru/dic.nsf/efrem...82%D0%BE%D0%BD

[Dmitrii]

Нахожу Ваше объяснение с графиками незаконченным: Вы не сказали, что слух распознаёт фундаментальную частоту в виде тона, равного по высоте отсутствующему первому обертону. Этот тон оказывается общим для всех звучащих обертонов унтертоном.

Зачем я должен был это говорить? Я показал, что несмотря на удаление нижней спектральной компоненты фундаментальная частота сигнала остается той же самой, поэтому и звук воспринимается, как имеющий ту же высоту, что и исходный сигнал. И, к слову сказать, так будет во всех случаях, когда наибольший общий делитель частот оставшихся обертонов равен исходной фундаментальной частоте. Все. Предполагать здесь существование ещё каких-то гипотетических унтертонов от обертонов совершенно нет никакой необходимости.

Обращаю внимание ув. Filina на высказывание Римана о том, что унтертон бывает, бывает всегда и там, где самый нижний комбинационный тон.
Риман не сомневается в том, что унтертоны встречаются в природе и он точно указывает место, где они встречаются всегда.

А я обращаю внимание, например, на работу:
Tara Tachovsky."Hugo Riemann's Concept of Tonality" (2007)
в которой обсуждается, в частности, предыстория понятия унтертон (оно восходит к Гельмгольцу, но имело у него корректный смысл набора возможных фундаментальных частот, для которых данная частота может соответствовать обертону); как римановские представления об унтертонах были подвергнуты сокрушительной критике в первые же годы после их публикации (в том числе и Гельмгольцем); как Риман безуспешно пытался их обосновать средствами акустики и физиологии слуха, в частности выдвинул забавную гипотезу, что унтертоны, де, возникают, но тут же друг друга уничтожают в результате интерференции; и как в итоге он сам же отказался от этих попыток.

Уважаемый Dmitrii, поясните, пожалуйста, о какой "весьма слабо выраженной добавке" идет речь? Если что-то слабо выражено, это можно усилить и показать. Давайте все же определимся: унтертоны это - математическая абстракция или природный феномен.

Пояснял же уже выше. В реальном музыкальном звуке, имеющем определенную высоту, соответствующую фундаментальной частоте f унтертоны, как и любые другие компоненты с частотами не равными nf могут присутствовать в той мере в какой этот звук отличен от идеального строго периодического сигнала с данной фундаментальной частотой. В нем могут быть не только унтертоны, но и разные шумовые призвуки, все что угодно, в качестве малой добавки. С обертонами ситуация совершенно другая, поэтому и вклад их как правило несравненно больше.

но в словарях везде пишут о нижних звучащих тонах.

Вот вполне корректная статья "Унтертоны" из "Музыкального энциклопедического словаря" (1980), написанная Ю.Н.Рагсом. Она ни в чем не противоречит тому, что говорю я. Термин унтертон также используется в особом значении, например, при описаниии звучания колокола. Но это особый случай, звучание колокола, как правило, следует рассматривать не как один звук определенной высоты, а как сочетание звуков с разными высотами. Поэтому и понятие унтертона для него имеет смысл, не имеющий ничего общего с таковым у Римана.

[commator]

... Я показал, что несмотря на удаление нижней спектральной компоненты фундаментальная частота сигнала остается той же самой, поэтому и звук воспринимается, как имеющий ту же высоту, что и исходный сигнал. И, к слову сказать, так будет во всех случаях, когда наибольший общий делитель частот оставшихся обертонов равен исходной фундаментальной частоте. Все. ...

От Вас больше и не надо. Вы рассказали почему остающиеся обертоны обязаны создавать на месте удалённого первого обертона общий унтертон той же высоты. Эксперименты с резидуальными звуками подтверждают, что на высотах удалённых нижних обертонов продолжают звучать унтертоны, порождённые остающимися обертонами. Высоты унтертонов и обертонов соответствуют частотам Ваших расчётных прогнозов, которыми теории Римана очередной раз подтверждены.

[Dmitrii]

Ничего подобного. Не надо подменять гипотетические унтертоны нормальными всем известными комбинационными тонами. Комбинационные тоны - результат совместного звучания двух и более чистых тонов, а не того, что якобы продолжают звучать какие-то унтертоны, которые, де, звучат в этих тонах и до их сочетания. Не звучат. Потому, что их и нет.
Ели Вы сложите два чистых тона c частотами 2f и 3f, то Вы получите сигнал, в котором на слух будет восприниматься тон с частотой f. Но до сложения ни в одном из них данного тона не было - ни в спектре нельзя было его углядеть, ни на слух воспринять. Почему? Да потому, что его и не было в них, он появился только при сложении.

[vcirkov]

А я обращаю внимание, например, ........ как римановские представления об унтертонах были подвергнуты сокрушительной критике в первые же годы после их публикации (в том числе и Гельмгольцем); как Риман безуспешно пытался их обосновать средствами акустики и физиологии слуха, в частности выдвинул забавную гипотезу, что унтертоны, де, возникают, но тут же друг друга уничтожают в результате интерференции; и как в итоге он сам же отказался от этих попыток..

Значит Риман все же "имел представления" и "пытался их обосновать". Напомню с чего все началось:

Сообщение от commator
Меня удивляет вот это:
"Римана очень мало заботило то, что унтертонов не встречается в природе".
Кто-то когда-то выдумал, что унтертонов не встречается в природе. Вы, похоже, добавили и свою толику к живучести этого мифа, а унтертоны в природе встречаются.

Речь шла именно о представлении Римана.