Алексей Степанович Оголевец

[Математик]

По поводу дробно линейных подстановок. Есть и такая фишка в математике. Но есть и, наоборот, цепные дроби, на которые была ссылка чутка выше. Почему именно цепные идроби, а почему именно дробно-линейные? А почему нельзя и то и то. Почему возникают разрешения на одни и запреты на другие? Голая математика? Может быть следует отталкиваться не от математики, но математикой описывать природу?

Цепные дроби и дробно-линейные (гомографические) подстановки – это “одно к одному”. Если интересно, можно посмотреть в статье, которую достала shwedka:
http://www.px-pict.com/articles/arit...tree/niqui.pdf
(особенно подраздел “3.1 Homographic algorithm” указанной статьи)

Дискуссия об этой статье была здесь:
Интересная статья в контексте Stern-Brocot tree:
"Exact arithmetic on the Stern-Brocot tree" Niqui M. Journal of Discrete Algorithms 5(2): 356-379, 2007.
http://portal.acm.org/citation.cfm?id=1240588

ABSTRACT
In this paper we present the Stern-Brocot tree as a basis for performing exact arithmetic on rational numbers. There exists an elegant binary representation for positive rational numbers based on this tree [Graham et al., Concrete Mathematics, 1994]. We will study this representation by investigating various algorithms to perform exact rational arithmetic using an adaptation of the homographic and the quadratic algorithms that were first proposed by Gosper for computing with continued fractions. We will show generalisations of homographic and quadratic algorithms to multilinear forms in n variables. Finally, we show an application of the algorithms for evaluating polynomials.

Кто-нибудь может поспособствовать в ее получении?
http://dxdy.ru/topic16277-75.html

[Математик]

Может быть следует отталкиваться не от математики, но математикой описывать природу?

Так я же ее и описываю. Именно природу!
Что есть тетрада, которую я положил в фундамент? Источник и корень вечной природы.
Пифагорейцы, действительно, клялись "тем, кто вложил в нашу душу тетраду, — источник и корень вечной природы". Эти изречения и эта форма клятвы, действительно, являются древними; и поэтому тетраду, треугольные числа и численные отношения в гармонических интервалах мы, пожалуй, должны приписать самому Пифагору.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/2.html

Тетраду можно описывать на очень разных языках. Например, так, как приведено у Б. Л. ван дер Вардена:
"(227) Гамма небесна: она имеет божественную, величавую, чудесную природу. (228 ) Она складывается из четырех членов и дает две средние: арифметическую и гармоническую…
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6.html

Ну, и написано там в конце:
(246) Вот так образована она (гамма) со всеми своими частями согласно природе, именно из четного, нечетного и четно-нечетного."

-----------------------------------------------------------------------------------
Как я уже отмечал:

“Настоящих буйных мало” (©)
Есть основы, которые на самом деле являются основами (соответствующих областей знания).

Поэтому я и не сомневаюсь, что в тетраде закодирован тот самый изначальный образец, изначальная форма жизни, вневременная схема, издревле заданная формула, в которую укладывается осознающая себя жизнь, смутно стремящаяся обрести некогда предначертанные ей приметы (говоря словами Т. Манна):
http://www.px-pict.com/11/1/6.html#10

[Шуман]

Спасибо, вам, математик, за ссылки. Ностальгия...

Постепенно, пробираясь сквозь аналогичные изыскания я всегда наталкивался на обобщения серьезных ученых. И всегда оказывалось, что любая красивая частная закономерность может быть обобщена для других начальных условий, для других функций, для других условий развития. И вся красивая и работающая база рассыпается в хлам. Ибо с измененными начальными условиями и далее по тексту система продолжает себе замечательно работать, обнажая новые не менее замечательные свойства. И нигде нет предопределения. Что хочу, то рисую.

Тут принято считать, что септаккорды из 4-х нот более общие и фундаментальные, нежели аккорды. Любой голос раскладывается на 4. Причем этот факт справедлив для конкретной модели строя. В другой модели 3-х голосие. И все это не законы, но частные случаи. Как и наш текущий современный музыкальный строй. Если вы будете смотреть на закономерности под таким углом, то и ваше представление может раасыпаться в хлам. Ибо вы исходите таки из математики, пытаясь взломать секреты природы методом подбора ключей. Мол этот ключик точно универсальный, от всех замков. Увы...

[Шуман]

Вспомнил замечательную цитату: "Хлеб таксама бывае траякi: чорны, белы, i нiякi". Переведите белорусскую народную мудрость на язык китайской философии. И там и там мы видим, что троица есть как минимум элемент куда более сложной системы, причем не самый характерный элемент.

[Математик]

... троица есть как минимум элемент куда более сложной системы, причем не самый характерный элемент.

Мы говорили о тетраде. Там четыре элемента. В ее вездесущности и характерности убеждаюсь постоянно. Вот и теперь, при чтении очередной порции из Оголевца:
В пределах закономерностей тональной системы прежде всего музыкально осознаются интервалы унисона (октавы) и чистой квинты (кварты), которые являются ни чем иным, как тональным базисом имеющей развиться музыкальной звуковой шкалы, т. е. будущим ядром тональной системы -- ее тоникой и доминантой:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/45.html

Насчет интервалов это хорошо согласуется с описанием тетрады у Щетникова:
Именно эта структура трех созвучий и получила у пифагорейцев имя гармонии. Голоса в гармонии образуют замкнутую структуру, к которой, в некотором смысле, уже нечего добавить:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/9/2/6.html

Щетников опустил в этом описании унисон (“однозвучие”), который также использовался в древнегреческой музыкальной теории:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/9/2/2.html
Поэтому всего интервалов (вместе с унисоном) будет четыре.
-------------------------------------------------------------------

Идем из античности в средневековье… -- и там Ты! (на этот раз под именем “квадрихорда”):
In fact, Pythagorean tuning is described in the medieval sources as being based on four numbers: 12:9:8:6. Jacobus of Liege (c. 1325) describes a "quadrichord" with four strings having these lengths: we get an octave (12:6) between the outer notes, two fifths (12:8, 9:6), two fourths (12:9, 8:6), and a tonus or major second between the two middle notes (9: 8 ) .
http://www.medieval.org/emfaq/harmony/pyth2.html

Потом из пифагорейского ряда квинт возникла 12-ступенная равномерно темперированная шкала, как это популярно изложено, например, у Оголевца:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/2/7.html
------------------------------------------------------------------

Ну, а в основе всего этого процесса был, как ни крути, пресловутый “источник и корень вечной природы”, т. е. тетрада.

[Математик]

Вообще-то меня интересует несколько более общая конструкция, чем тетрада. А именно, отношение гармонической сопряженности:

Я раньше уже честно написал о том, что меня интересует:

А интересны мне системы, которые можно было бы назвать “гармоническими”, т. е. системы вида:

S = < D, H, … >,

где D есть носитель системы;
H есть 4-арное отношение на множестве D , интуитивно соответствующее отношению гармонической сопряженности;
многоточие соответствует некоторым дополнительным “прибамбасам”.

Подозреваю, что отношение гармонической сопряженности было абстрагировано от таких систем, как тетрада или большое мажорное трезвучие чистого строя.
А потом стало исключительно востребованным во всем квадривиуме.

Посмотрим, например, на 9 плоских геометрий, приведенных Ягломом:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/4/3.html

Геометрии разные, но в основу каждой из них естественно положить отношение гармонической сопряженности.

Высылаю вам две книжечки: Кокстер Х. С. М. Действительная проективная плоскость, 1959; Щербаков Р. Н., Пичурин Л. Ф. От проективной геометрии к неевклидовой (вокруг абсолюта), 1979:
http://webfile.ru/5887251
(файл project.rar)

Просто бегло пролистайте первую из них (Кокстера) и вы увидите, что там практически на каждой странице – гармоническая сопряженность. Все конструкции этой самой “действительной проективной плоскости” определенным образом “сотканы” из этой “сопряженности”.

Можно задаться вопросом: почему же это очень существенное для данной геометрии существительное предварено прилагательным “гармоническая”?
Ведь геометрия – это “наука о пространстве”. Например, по определениям у Бертрана Рассела:
Геометрия в таком виде, в каком она установилась у греков, отправляется от аксиом, которые являются самоочевидными (или полагаются таковыми), и через дедуктивные рассуждения приходит к теоремам, которые весьма далеки от самоочевидности.
При этом утверждают, что аксиомы и теоремы являются истинными применительно к действительному пространству, которое является чем-то данным в опыте.
Поэтому кажется возможным, используя дедукцию, совершать открытия, относящиеся к действительному миру, исходя из того, что является самоочевидным.
http://www.px-pict.com/7/3/1/1/4.html
--------------------------------------------------------------------------

Если геометрия – это наука о пространстве, то ее главное существительное было бы логично предварить прилагательным “пространственная”, или “геометрическая”. А прилагательным “гармоническая” было бы естественно предварить основное существительное в науке о гармонии.
Поэтому можно подозревать, что в геометрии реально осуществилась пифагорейская парадигма:
… в астрономии, музыке, геометрии и арифметике пифагорейцы увидели общие числовые пропорции, гармонические соотношения, познание которых, согласно им, и есть познание сущности и устройства мироздания.
http://www.philosophy.ru/library/gaid/2.html
(подраздел “Пропорция и гармония” на указанной странице)
и что основная геометрическая конструкция абстрагирована от “гаммы сирен” (тетрады), которую, как мы знаем, древние греки называли именно “гармонией”.

[Шуман]

Вы меня извините, но я не понимаю, как можно воспринимать интервалы вне системы с другими интервалами и вне оси частот. Оба условия строго обязательные в реальности. Ни октава, ни квинта с квартой для меня не означают ровным счетом ничего. Вакуум, пустота, пробел перед словом. В зависимости от минимум этих двух условий все эти интервалы и прочая могут быть реализованы в реальном звуке самым различным образом. А уж ежели вы настойчиво игнорируете сей факт... Значит вы любитель математики, но не звука.

Еще раз, система, каковой я ее в реальности вижу, достаточно сложна, многогранна, в ней есть место явлениям самой разной природы. Играя словами, обманываете себя.

Спасибо за ссылки. Почитаю.

Попробуйте дать определение гармонии. Что ж вы тормозите в первом классе до нашей эры?

[Шуман]

Бегло просмотрел первый том книжки по абстрактоному гармоничесчкому анализу:
http://reslib.com/book/Abstraktnij_g...naliz__Tom_I#1

В основе развитие теории рядов, развитие теории ряда Фурье, как наиболее употребимого и понятного сегодня, на топологическую группу. Математические абстракции все более усложняются и лично для меня даже самоя постановка нашей задачи уходит на второй-сотый план. Я привык работать куда более стремительно. Аналитически. Исключая громоздкие инструменты.

Если взять частный случай - ряд Фурье, то, очевидно, что практическое применение возможно лишь при наложении ограничений на идеальную математику - граничных услорвий и пр. Откуда, собсно и возникают практические проблемы куда большего масштаба, нежели те, которые призван был решить Фурье. Увидеть эти моменты в динамике, проведя сквозь еще более развитую и усложненную модель... Даже в случае достижения хоть какого-то результата вероятность ошибки в рамках работы длиной в жизнь - 100 про. Ну есть сегодня АЦП-ЦАП по Фурье, и что это нам дало, кроме 100 про ошибки? Была музыка и оп-па - нету. Ловкость рук и никакого мошенства.

Зачем усложнять, развивая 100 про ошибку?

[Математик]

Математические абстракции все более усложняются и лично для меня даже самоя постановка нашей задачи уходит на второй-сотый план. Я привык работать куда более стремительно. Аналитически. Исключая громоздкие инструменты.

Не надо усложнять ради усложнения. Нужно просто понять ту математику, которая с самого своего возникновения была рядом с музыкой:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0.html

Некоторая попытка такого понимания была предпринята здесь:
http://dxdy.ru/topic16277.html
---------------------------------------------------------------------------

Можно посмотреть, в какой терминологии в течении тысячелетий осознавались и изучались музыкальные системы:
http://www.ex-tempore.org/means/means.htm

От Архита до (по крайней мере) Царлино. Который был очень даже реальный композитор, а не просто любитель математических абстракций:

Кстати говоря, Царлино, который был музыкантом и даже “князем музыки”, высоко ценил математику (согласно статье Холопова – Поспеловой):
Таким образом, он и здесь не просто "подгоняет" некую теорию под имеющуюся ситуацию, но, исходя из всеобщих оснований, выводит саму эту ситуацию. (Царлино руководствуется чисто математической теорией, а это высшая похвала теории.)
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/1/7.html

Классик Риман:
Насколько музыкант должен возвратиться к прошлому, чтобы изучить образцовые произведения прежних времен с пользой для обогащения своих познаний и своей техники?
Приблизительно к XIV-му, во всяком случае к XV-му веку. В XVI в. музыка достигает изумительной высоты техники и художественного совершенства; произведения этого времени интересны и теперь, а изучение их в высшей степени полезно и назидательно для композитора.
http://www.px-pict.com/7/3/2/9/1/00.html

[Математик]

Можно задаться вопросом: почему же это очень существенное для данной геометрии существительное предварено прилагательным “гармоническая”?
Ведь геометрия – это “наука о пространстве”.
Если геометрия – это наука о пространстве, то ее главное существительное было бы логично предварить прилагательным “пространственная”, или “геометрическая”. А прилагательным “гармоническая” было бы естественно предварить основное существительное в науке о гармонии.
Поэтому можно подозревать, что в геометрии реально осуществилась пифагорейская парадигма:
… в астрономии, музыке, геометрии и арифметике пифагорейцы увидели общие числовые пропорции, гармонические соотношения, познание которых, согласно им, и есть познание сущности и устройства мироздания.
http://www.philosophy.ru/library/gaid/2.html
(подраздел “Пропорция и гармония” на указанной странице)
и что основная геометрическая конструкция абстрагирована от “гаммы сирен” (тетрады), которую, как мы знаем, древние греки называли именно “гармонией”.

По-видимому, все это держится на одной единственной установке Платона: “гармония сохраняется в потоке изменчивого”:
... Гармония от настроенной лиры есть нечто невидимое и бестелесное, нечто прекрасное и божественное, а сама лира и струны суть тела, предметы телесные, сложные, составленные из земли и сродные смерти. Итак, что, если бы кто разбил лиру и перерезал либо изорвал струны, а другой стал бы доказывать, что та гармония не уничтожилась, но непременно существует? Ведь никак невозможно, чтобы лира с изорванными струнами и причастные смерти струны еще существовали, а гармония, однородная с божественным и подобная бессмертному, погибла прежде смертного?
http://www.px-pict.com/10/1/5.html

Тетрада, расположившаяся на четырех основных струнах лиры:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6/3.html

и содержащая в себе гармоническую сопряженность (являющуюся, в определенном смысле, основным инвариантом проективной геометрии) может быть и дала начало всей этой теории инвариантов в геометрии:
http://www.px-pict.com/10/3/3/8/2.html

А Феликс Клейн при помощи теории групп формализовал “изменчивость”, в которой сохраняется гармония:
http://www.px-pict.com/10/3/3/8/1.html