Натуральный звукоряд

[commator]

... От "Ре" (терции тоники) до "До" (квинты доминанты) 170 ц.. С помощью этого фокуса можно легко опровергнуть ересь Гарбузова. Для примера могу дать послушать:

Не надо давать слушать только файлы формата MP3. Прошу не трогать Гарбузова если не можете давать партитуры с поправками в центах для каждой ноты.

[Математик]

Каждый новый росточек Дерева возникает как четвертая гармоническая к некоторым трем ранее уже построенным узлам. Именно в этом заключается суть Дерева, позволяющего рассматривать его как некоторую “гармоническую систему”.

Может быть трудно в это сразу поверить, но действительно все соотношения, имеющиеся на Дереве, являются следствием его гармонического устройства. Наиболее полный калькулятор, показывающий порождающие гармонии Дерева, я представил здесь:
http://www.px-pict.com/10/4/4/10.html

Множество всех порождающих гармоний Дерева естественным образом распадается на два непересекающихся класса, элементы которых мы (условно) называем “правыми” и “левыми” порождающими гармониями, в зависимости от положения точки N внешнего деления (находится ли эта точка справа или слева относительно интервала AB, подвергающегося гармоническому разделению).

[commator]

Может быть трудно в это сразу поверить, но действительно все соотношения, имеющиеся на Дереве, являются следствием его гармонического устройства. Наиболее полный калькулятор, показывающий порождающие гармонии Дерева, я представил здесь:
http://www.px-pict.com/10/4/4/10.html ...

Я сделал чертёж, демонстрирующий, что унтеральная скала (УС) представляет собой Дерево Штерна-Броко (ДШБ), из обертонов (От.) и унтертонов (Ут.).



Вертикальная форма натуральной скалы (НС) горизонтально передвигается так, что основа НС пробегает скалу Ут.

ДШБ прорастает в виде наслоения медиант, которыми становятся От. каждого нового состояния предыдущей НС.

Интересно, что у каждого октавного регистра собственный неповторимый узор появления медиант. В окрестностях определённых От. появляются щели ассимптотического приближения к ним других От.

ДШБ, таким образов строится только из НС, основы которых обязаны формировать скалу Ут. Этот набор НС я называю УС. Она представляет собой объединение всех возможных мелодий и гармоний системы чистой интонации (ЧИ), выстроенной от одной исходной высоты, которую можно назвать исходной высотой, оригинантом (:Ф), или слышимым элементом фиксированной системы ЧИ предела 1 (ЧИП1). Оригинант :Ф; будет присутствовать в любой НС из УС.

[Математик]

Я сделал чертёж, демонстрирующий, что унтеральная скала (УС) представляет собой Дерево Штерна-Броко (ДШБ), из обертонов (От.) и унтертонов (Ут.).

Давайте немного уточним основные понятия. В определении обертоновой и унтертоновой шкал логично использовать терминологию Немировского (из его таблицы 74):
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/6/5.html

Соотнося эти шкалы с Деревом Штерна-Броко (ДШБ, или по английски Stern-Brocot Tree), мы видим, что сами по себе эти шкалы образуют в ДШБ определенное поддерево, которое я отдельно изобразил здесь:
http://www.px-pict.com/10/4/4/11.html

Надеюсь, в этих исходных положениях у меня с Вами не будет разногласий.

[commator]

...

Надеюсь, в этих исходных положениях у меня с Вами не будет разногласий.

Разногласий пока не предвидится, а уточнение есть.

В теории ДШБ-SBT, как и в теории ЧИ-JI, нашли применение похожие на простые дроби сочетания пар натуральных чисел. Они объединяются общей чертой так, что одно пишется над чертой, а другое под чертой. И там и там употребление элементов пар по отдельности не приветствуется.

Шкала обертонов это не {1, 2, 3, 4, ..., n}, как у Немировского, а {1/1, 2/1, 3/1, 4/1, ..., n/1, ...} как в теориях ДШБ-SBT и ЧИ-JI. Только такая трактовка употребления пар натуральных чисел, соответствующих обертонам, отображает симметричное равноправие их унтертонам из шкалы {1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ..., 1/n, ...}.

Таким образом наглядно отображается дуальный смысл соотношения двух высот, где одна, та что выше есть надтон или обертон-overtone (От.-Ot. ~ n/ ~ писать натуральное над чертой). Вторая, та что ниже есть подтон или унтертон-undertone (Ут.-Ut ~ /n ~ писать натуральное под чертой).

В общем случае пара m/n из ДШБ-SBT соответствует паре От.m Ут.n (обертон m для унтертона n) из ЧИ-JI. Суть этой дуальности в том, что нет и не может быть От. без Ут. и наоборот.

В действительности недостижимых случаях точного совпадения элементов пар, между ними не может быть различия. Эти случаи отображаются в записи равенством натуральных чисел над и под чертой (n/n). Пара, записанная как n/n совпадает с парой 1/1 в ДШБ-SBT; пара От.n Ут.n совпадает с парой От.1 Ут.1 в ЧИ-JI.

Шкала От. есть объединение всех От. для одного общего и единственного Ут. Симметрично, шкала Ут. есть объединение всех Ут. для одного общего и единственного От.

[Математик]

Разногласий пока не предвидится, а уточнение есть.

В теории ДШБ-SBT, как и в теории ЧИ-JI, нашли применение похожие на простые дроби сочетания пар натуральных чисел. Они объединяются общей чертой так, что одно пишется над чертой, а другое под чертой. И там и там употребление элементов пар по отдельности не приветствуется.

Если я правильно понял, то суть уточнения заключается в том, что надо строго различать “числа” и “числовые отношения”. Ведь раньше (в античности) под “числом” понималось всегда только натуральное число:
http://www.px-pict.com/7/3/1/3.html
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/2/1.html

Не существовало арифметики рациональных чисел.
Но существовала арифметика числовых отношений (т. е. отношений между натуральными числами).
По сути дела эта теория числовых отношений существовала в виде некоторого исчисления пар натуральных чисел:
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html

о которых Вы пишите.
Звуки моделировались натуральными числами, музыкальные интервалы моделировались числовыми отношениями. Б. Л. ван дер Варден:
Исходя из упомянутых … повседневных наблюдений о влиянии на высоту тона натяжения, длины струны или звучащего столба воздуха, а может быть также и под влиянием вавилонских теорий, Пифагор пришел к мысли о сопоставлении тонов с числами, а консонансов — с числовыми отношениями.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html

В общем, я хочу сказать, что Дерево Штерна-Броко (ДШБ) относится к теории числовых отношений, а не к теории чисел (в античном понимании этого слова).

[commator]

Я сделал чертёж, демонстрирующий, что унтеральная скала (УС) представляет собой Дерево Штерна-Броко (ДШБ), из обертонов (От.) и унтертонов (Ут.).



Вертикальная форма натуральной скалы (НС) горизонтально передвигается так, что основа НС пробегает скалу Ут.

ДШБ прорастает в виде наслоения медиант, которыми становятся от. каждого нового состояния предыдущей НС.

Интересно, что у каждого октавного регистра собственный неповторимый узор появления медиант. В окрестностях определённых От. появляются щели ассимптотического приближения к ним других От.

...

Эти щели были замечены и в экспериментах индийских исследователей. Они написали в своей книге о шрути:

... на стр. 24:

<<... Один интересный пункт на заметку из рисунка есть то, что, в общем, не только делаются соотношения, представляющее двенадцать нот [что] имеют МА больше, чем их окружающие, но они также показываются с некоторым свободным пространством с обеих сторон. Они, видятся, чтобы стоять четко отдельно ...>> ...

На щели я возлагаю некоторые надежды и в теме о шрути писал о них:

... Этот факт порождает мысль, что MA можно попытаться поставить в зависимость от ширины свободного пространства вокруг ноты. В первом приближении представляется, что чем шире пространство, тем выше уровень приемлемости. Может быть эта теория, или ДШБ, или их сочетание способны дать возможность автоматически выстраивать в заданной окрестности вокруг произвольной точки на числовой оси все рациональные числа с заданным верхним пределом значений числителя/знаменателя?

Строго говоря в музыкальном ДШБ-SBT системы ЧИ-JI каждая нота окружена некоторой щелью, внутрь которой никогда не попадут никакие другие ноты, кроме внесистемных. Однако ширина щелей весьма различна. Самый наивный взгляд на распределение пустот вокруг нот ведёт к мыслям о прямой зависимости степени совершенства интервалов от размеров пустот вокруг их границ.

Появляются соображения о том, что зоны Гарбузова не должны существовать без связей с этими пустотами. Маячит гипотеза обратной зависимости ширины звуковысотных зон от ширины щелей.

Кроме того щели цепляются к моим поверхностным представлениям о вселенских тяготениях вокруг чёрных дыр.

В той музыке, которая меня трогает, тяготений не избегают. Ими умело пользуются и самые причудливые звуковые сущности не теряют способности совершать осмысленные движения. Создаётся приятная возможность вникать в суть происходящего.

[commator]

... немного уточним основные понятия ... обертоновой и унтертоновой шкал

...

Соотнося эти шкалы с Деревом Штерна-Броко (ДШБ, или по английски Stern-Brocot Tree), мы видим, что сами по себе эти шкалы образуют в ДШБ определенное поддерево, которое я отдельно изобразил здесь:
http://www.px-pict.com/10/4/4/11.html

...

Вы изобразили поддерево ДШБ, состоящее из граничных шкал От. и Ут. За ними абсолютно неслышимое пространство безусловных инфранот (От.0 Ут.n ~ 0/n) и ультранот (От.n Ут.0 ~ n/0). Между ними пространство всех абсолютно слышимых безусловных нот (низкие уровни ветвлений) и относительно слышимых (высокие уровни) условных нот.

Меджду граничными шкалами От. и Ут. могут существовать и другие подобные. Таковы шкалы видов:

От.M Ут.n ~ {1/n, 2/n, 3/n, ..., m/n, ...}
От.m Ут.N ~ {m/1, m/2, m/3, ..., m/n, ...}

Более того, только из шкал этих видов может быть построено полное пространство всех условных и безусловных нот.

[Математик]

Меджду граничными шкалами От. и Ут. могут существовать и другие подобные. Таковы шкалы видов:

От.M Ут.n ~ {1/n, 2/n, 3/n, ..., m/n, ...}
От.m Ут.N ~ {m/1, m/2, m/3, ..., m/n, ...}

Вот Вы и переоткрыли “на музыкальной базе”фундаментальное алгебраическое понятие дробного идеала:
http://www.px-pict.com/9/5/4/7.html

Только не пугайтесь приведенных там формализмов. На самом деле они добрые и дружественные.
Первая из приведенных Вами шкал и есть (определенный частный случай) “дробного идеала” в поле рациональных чисел (на самом деле – в “полуполе”, поскольку мы ограничиваем наши рассмотрения только неотрицательными рациональными числами). Вторую из приведенных Вами шкал (являющуюся, очевидно, двойственной к первой) было бы естественно связать с “дробным фильтром”, если следовать аналогиям с булевой алгеброй.

Фигурирующую на странице по указанной выше ссылке “область целостности R с единицей” можно рассматривать просто как систему целых чисел с обычными операциями сложения и умножение на них. Погружение этой системы в соответствующее “поле отношений” подробно рассматривается здесь:
http://www.px-pict.com/9/5/4/3/1.html

[commator]

Вот Вы и переоткрыли “на музыкальной базе”фундаментальное алгебраическое понятие дробного идеала:
http://www.px-pict.com/9/5/4/7.html

...

Выходит Сам Господь в Дробном Виде мне Явился. Спасибо за осведомление. Постараюсь и дальше идти тем путём, на котором Его встретил.

...
Только не пугайтесь приведенных там формализмов. На самом деле они добрые и дружественные ...

Тут не испуг, а нечто иное...

Когда я стал ниспадать с вершин институтской высшей математики к решению насущных проблем, то на обычном уровне удержаться не смог. Влетел в бездну математики низшей, но залетел не глубоко.

Потому что зацепился за понятие предиката, а рядом никого не было чтобы подсказать, где у него дружественность и как ею пользоваться. Пришлось самому разбираться, чтобы отцепиться для дальнейшего погружения. Лет пять ушло на предикатное зависание.

Другими словами Сам Господь не Страшен, а как Его намалевали жрецы я ещё не понял.

Вот о дружественности ДШБ к Музыке мне открылось понимание в полной мере. Нет сомнений, что вся естественная музыкальная гармония, как вертикальная, так и горизонтальная в нём упакована. Любая приятная музыка всегда обязана оказаться некоторым поддеревом ДШБ.