Векторы и их применение в теории музыки

[Математик]

Применение векторов в теории музыки есть:

Одна из таких попыток:

<<Гармонические решетчатые схемы Джо Монзо

Текст и схемы © 1998 Джозеф Л. Монзо

Самый лучший способ, который я открыл, чтобы понять так много гармонической информации, сколь возможно в чисто-интонационной системе музыкальной настройки, есть использование решетчатых схем, которые изображают высоты как связанные векторами точки в многомерном пространстве.

В чисто-интонационной системе музыкальной настройки каждая нота представляет собой соотношение, которое описывает родство ноты с другой нотой, как правило, той, что используется в качестве основы для системы в целом. Этот основной тон имеет соотношение 1/1, также описываемое как 1:1 или 1 к 1.

Любое число может быть разложено в ряд простых чисел, каждое из которых представляет собой основание, у которого есть показатель, являющийся положительным или отрицательным, представляя числа > 1 или < 1 соответственно, вне показателя = 0, что представляет 1, одинаковость в умножении.

Степени 2 все гармонически равноценны этой одинаковости 1, таким образом, степени 2 представляют собой "октавы", и поэтому не имеют отчётливого влияния на гармонии, и могут быть устранены, исключая "октавную" регистровку под особым рассмотрением. Таким образом, схемы обычно начинают с простого основания 3.

Мои решетчатые схемы толкуют каждое простое основание, как неповторяемое измерение в пространстве, со всеми показателями расходящимися лучами наружу от центрального 1/1, что соответствует всем числам в 0-й степени или n⁰.

Рассматриваемые в 2-мерном пространстве векторы, что соединяют каждый показатель перемещаются в неповторяемом направление для каждого простого числа. Это направление определяется углом, который представляет величину в центах (внутри «октавы») этого простого числа в 1-й степени, начиная с позиции 6 часов.

Так 3¹, что есть сотношение 3/2 и 702 цента, имеет вектор, исходящий от 1/1 в непосредственной близости от позиции 1 час (потому что 6 + 7 mod 12 = 1).

5¹, что есть сотношением 5/4 и 386 центов, имеет вектор, исходящий в позиции чуть менее 10 часов (6 + 3,86 = 9,86), и так далее.

Отрицательные показатели просто излучаются наружу с противоположной стороны.

Векторы также различаются по длине и толщине соответствуя простым основаниям с ними соединёнными, с 3 кратчайшие и толстейшие.

Интересно, что даже несмотря на 2-мерное пространство бывшее средой, в которой эти измерения были сделаны, они кажутся глазам образующими 3- или даже более -мерные построения, несколько напоминающие кристаллы.

Гарри Парч изобрёл построение, им названное "тональностный ромб". Оно показывает все гармонические родства соотношений с номерами под определенным "нечётным пределом" (исключая "октавное удвоение", или умножение на 2, которое он использовал, чтобы держать каждое соотношение в той же "октаве", что и в наиболее обычных исходных скалах).

Эти "ромбы", которые просто становятся больше и содержат экспоненциально больше соотношений с каждым новым дальнейшим нечетным пределом по версии Парча, принимают совершенно другой вид, когда иллюстрированы используя мои решетки. Процесс, конечно, обращается к моим художественным чувствам.

Я иллюстрирую здесь «тональностные ромбы» предела 5, предела 7, предела 9, предела 11, и предела 13, как представленные моими решетчатыми схемами.

Симметрия, которую Парч отметил в своих скалах и тональностных ромбах, является легко видимой здесь, хотя тональностные ромбы в этом представлении не вполне симметричны, как в некоторых других системах, что я разработал

...

...

...

...

...>>

Однако хотелось бы обратить внимание на некоторые тонкости, связанные с различением векторов и направленных отрезков:
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/3/7/1.html

[Математик]

Считается, что даже “чайники” должны знать о Гарри Парче.
В книге “Music Theory For Dummies” by Michael Pilhofer and Holly Day:
http://www.amazon.com/Music-Theory-F.../dp/1118095502
(она переведена также и на русский) в главе 21 под названием: “Девять музыкальных теоретиков, о которых вам следует знать” Гарри Парч приведен на 7-ом месте.

О Гарри Парче:
http://en.wikipedia.org/wiki/Harry_Partch
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of...y_Harry_Partch
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F...80%D1%80%D0%B8

Более подробно о шкалах Гарри Парча (в том числе и об использовании при их описании векторов) можно посмотреть здесь:
www.lpthe.jussieu.fr/~talon/MUSIC6.PDF

[Математик]

Более подробно о шкалах Гарри Парча (в том числе и об использовании при их описании векторов) можно посмотреть здесь:
www.lpthe.jussieu.fr/~talon/MUSIC6.PDF

Эта ссылка является главой из книги:
Dave Benson. Music: A Mathematical Offering.
Cambridge University Press, 2007.

РЕЗЮМЕ:
Since the time of the Ancient Greeks, much has been written about the relation between mathematics and music: from harmony and number theory, to musical patterns and group theory. Benson provides a wealth of information here to enable the teacher, the student, or the interested amateur to understand, at varying levels of technicality, the real interplay between these two ancient disciplines. The story is long as well as broad and involves physics, biology, psycho acoustics, the history of science, and digital technology as well as, of course, mathematics and music. Starting with the structure of the human ear and its relationship with Fourier analysis, the story proceeds via the mathematics of musical instruments to the ideas of consonance and dissonance, and then to scales and temperaments. This is a must-have book if you want to know about the music of the spheres or digital music and many things in between.
http://www.cambridge.org/by/academic...ring?format=HB

Оглавление можно посмотреть здесь:
http://www.euro-online.org/music/LecturesNotes.htm

[Математик]

Если предположить, что Дерево имеет связи с теорией музыки, то одним из примеров применения векторов в ней может быть этот:

В моей парадигме “дедовскому рекуррентно-баобабному сложению числителей и знаменателей” отвечает операция сложения векторов...

В следующий раз представлю соответствующие нарисованные картинки в духе следующих:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/2/2.html
и пояснений по поводу операции сложения векторов от Болтянского и Яглома:
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/3/7/2a.html

[Математик]

Эта ссылка является главой из книги:
Dave Benson. Music: A Mathematical Offering.
Cambridge University Press, 2007.

РЕЗЮМЕ:
Since the time of the Ancient Greeks, much has been written about the relation between mathematics and music: from harmony and number theory, to musical patterns and group theory. Benson provides a wealth of information here to enable the teacher, the student, or the interested amateur to understand, at varying levels of technicality, the real interplay between these two ancient disciplines. The story is long as well as broad and involves physics, biology, psycho acoustics, the history of science, and digital technology as well as, of course, mathematics and music. Starting with the structure of the human ear and its relationship with Fourier analysis, the story proceeds via the mathematics of musical instruments to the ideas of consonance and dissonance, and then to scales and temperaments. This is a must-have book if you want to know about the music of the spheres or digital music and many things in between.
http://www.cambridge.org/by/academic...ring?format=HB

Оглавление можно посмотреть здесь:
http://www.euro-online.org/music/LecturesNotes.htm

Уважаемый arseniiv дал ссылку:
http://dxdy.ru/topic94428.html
(постинг от 08.03.2015)

на домашнюю страницу автора:
https://homepages.abdn.ac.uk/mth192/...ths-music.html
https://homepages.abdn.ac.uk/mth192/pages/index.html

и pdf-файл онлайновой версии книги:
https://homepages.abdn.ac.uk/mth192/...html/music.pdf

[Математик]

Уважаемый arseniiv дал ссылку:
и pdf-файл онлайновой версии книги:
https://homepages.abdn.ac.uk/mth192/...html/music.pdf

На странице 446 этой книги (страница 460 pdf-документа) приведен большой список реальных композиций, выполненных в нестандартных строях и темперациях.
APPENDIX R. Recordings.