Во-первых, видно, что все музыкальные интервалы без семёрки более или менее точно попадают в строй 53РДО.
Во-вторых, 7-содержащие интервалы в 53РДО аппроксимируются плохо, т.к. "бессемёрочные" часто оказываются ближе по соотношению частот (например, 5 микротонов ближе к 16/15, чем к 14/15; 12 микротонов ближе к 75/64, чем к 7/6, и так далее).
В-третьих, среднеквадратичное отклонение от чистых интервалов в 53РДО составляет 11% микротона, а максимальное - 19%, в то время как в 171РДО среднеквадратичное 9%, а максимальное - 17%, несмотря на большее количество тонов.
В-четвёртых, график зависимости отклонения от количества микротонов в интервале для 53РДО имеет пилообразную форму (downward sawtooth), т.е. это говорит о том, что микротон в 1/53 октавы широковат, и "набегающая" разница периодически скачкообразно изменяется.
171РДО исправляет этот "глюк", образуя интервалы по 1/57 октавы на пологом и 4/171 октавы на крутом участке "пилы". Соответствующий график для 171РДО, соответственно, заметно ближе к "белому шуму".
Таким образом:
1) 171РДО одинаково хорошо справляется со всеми (2, 3, 5, 7) сомножителями в интервалах;
2) в нём отклонения от чистых интервалов сконцентрированы в области +/- 1 цент (а это даёт частоту "биений" не выше нескольких герц), т.е. составляют порядка 1/8 микротона и меньше;
3) 171РДО может быть использован как с 7-содержащими интервалами, так и без них;
4) на трёх "ультракоммах" - соотношениях, упомянутых ранее (схизма 65610:65536 и два 7-содержащих интервала 2401:2400 и 4375:4374) - можно построить чёткую структуру строя, как сделал в своё время Пифагор (у него был 1-й порядок, и фигурировало единственное соотношение 3^12 = 531441 ~ 524288 = 2^19, где 531441/524288 - пифагорейская комма).
P.S. Заметил ещё одно интересное соотношение. Оказывается, 5^0.375 ~ 64/35, т.е. (35/32)^8 ~ 256/125. Последний в 171РДО состоит из 177 микротонов, в то время как 35/32 - из 22. При этом интервал 5^3 : (64/35)^8 = 5^11 * 7^8 / 2^48 составляет 0.058 цента и просит названия "гиперкоммы"
P.P.S. Из этих интервалов можно составлять ещё более мелкие, например (2^51):(3^13*5*7^10) или (5^21*7^25):(2^92*3^17), но это уже чисто математические приколы
Последний раз редактировалось Droog_Andrey; 26.06.2007 в 02:18.
А до диез в чистом строе разве 16/15 тоники? Я думал, что 16/15 - это между си и до (16 микротонов), а до диез выше до на 10 микротонов (25/24), при этом оставшиеся 19 (т.е. 27/25) - между до диез и ре (то же между до и ре бемоль)...
Очень хороший и важнейший вопрос.
В чистой шкале, действительно до диез не 16/15 тоники. А вот диатонический полутон (между си и до, так же между ми и фа) действительно имеет отношение 16/15.
В цитате же речь идёт о микротонах 171РДО. Этот строй возможен, если каждую квинту бесконечного пифагорова строя немного сузить, и тогда 171-я квинта от до, вместо того, чтобы быть ре-диез, станет на место до. Таким образом получаем ухудшенный ради обретения конечного множества микротонов пифагоров строй.
То же происходит и со шкалой 12РДО, только ухудшение настолько грубое, что уничтожается пифагорова комма. и пифагоров до диез занижается, а пифагоров же ре бемоль завышается. Уничтожение пифагоровой коммы приводит к физическому совпадению упомянутых высот.
А вот 171РДО пифагорову комму не только не удаляет, а ещё и делит на три микроинтервала, но эта комма, хоть и немного, но отличается от идеальной пифагоровой. При этом сохраняются главные отличия пифагорова строя от чистого:
в пифагоровой диатонической гамме существует только два вида смежных интервалов, а именно тон и диатонический полутон. В чистой таких интервалов три: большой тон (до-ре, фа-соль, ля-си), малый тон (ре-ми, соль-ля) и диатонический полутон (си-до, ми-фа);
пифагоров диатонический полутон (си-до, ми-фа) меньше хроматического, а в чистом строю наоборот;
для двух отстоящих на тон пифагоровых ступеней, хроматический полутон вверх от нижней ступени будет выше хроматического полутона вниз от верхней ступени. Повышение происходит на пифагорову комму (для пифагоровой шкалы до-диез выше ре-бемоль на пифагорову комму), в чистом стою и комма другая и тоны разные, но в большом тоне, совпадающем с пифагоровым до-диез ниже чем ре -бемоль... Больше будет написано в сонантометрии.
Пифагоров строй, или система чистой интонации предела 3 имеет самую простую систему интервалов и больше других подходит для создания шкал. Существующая система нотной записи основана именно на его особенностях. Поэтому имеет смысл описывать чистую интонацию более высокого предела, чем 3 именно в рамках пифагорова строя. Тогда для обозначения малого тона, например, мы можем применить всего лишь один дополнительный знак альтерации, указывающий понижение на комму. При этом вся существующая нотная литература остаётся актуальной и требует лишь уточнений.
Правда уточнения эти при ручном методе очень трудоёмкие...
...А кроме 171РДО, других кандидатов вроде как и нет...
Ну почему же. Есть 665РДО. Но это 13 порядок. Пифагоров тон содержит 113 микротонов. Пифагоров диатоничкеский полутон 50 микротонов, пифагоров хроматический 63. Комма отличается от пифагоровой всего на 0.076 цента и делится на 13 микротонов.
665-я квинта от до очень близка к до. Повышение на 0.076 цента. Любой идеальный обертон будет отличаться меньше чем на цент.
Я думаю это мыслимый предел конечного почти пифагорова строя, но клавиатура, если и возможна, то вероятно только кнопочная, по типу баянной.
Квинта, хоть и хуже на 5 центов, чем чистая, но на мой слух это приемлемо.
Зато этот строй легко поддаётся компьютеризации и можно быстро прослушать произведение любой протяжённости, предполагающее чистую интонацию 5-го предела в неплохом приближении к этой интонации. Будет слышна явная фальшь в тех местах, где неправильно проставлены знаки альтерации.
Эта настройка также хороша для автоматического приближения к чистой интонации произведений, написанных в 24РДО, если они предполагают чистую интонацию 7-го предела.
Я использую эту настройку для очистки от неправильной расстановки знаков альтерации партитур, полученных из MIDI файлов. Да и композиторы с издателями могут напутать в энгармонических заменах. Даже у Баха такое видел, но не знаю, как было в рукописи.
После такой очистки делать сонантометрический анализ можно увереннее.
Последний раз редактировалось commator; 28.06.2007 в 19:53.
Причина: Исправление опечатки
Но и у пифагорова строя свои недостатки. Можно неограниченно приближаться к чистым квинтам, - да, 665РДО позволяет воспроизвести их с поразительной точностью, - но ведь не квинтами едиными жива музыка, есть 5- и 7-содержащие интервалы, а точность их аппроксимации уже на порядок хуже, и в итоге получается, что львиная доля микротонов просто не используется, а львиная доля оставшихся работает не лучше 171РДО.
ИМХО, нет необходимости подстраивать 171РДО под пифагоров строй. В рамках 171РДО возможна аппроксимация чистого строя в нескольких тональностях сразу - почему бы это не использовать? А что до обозначений - это уже скорее дело техники...
Насчёт 31РДО - согласен, что он может использоваться в качестве вспомогательного строя для поверки партитур, но, думаю, вряд ли у него есть перспективы стать "рабочей лошадкой".
P.S. Сейчас попробую похимичить с одной музыкальной фразой... В давнем детстве я как-то сочинил небольшую простенькую композицию, а впоследствии, через годы, решил набрать её в midi и обнаружил, что в хроматике не удаётся добиться консонансного звучания этой самой фразы, хотя в голове она звучала весьма стройно...
Чистая мажорная гамма соответствует 0, 29, 55, 71, 100, 126, 155, 171 микротонам от тоники.
Диезы и бемоли разбивают большой тон на (10, 9, 10) микротонов, малый - на (10, 6, 10).
Введение знаков, обозначающих повышение либо понижение на комму, разбивает интервалы из 16, 10, 9 и 6 микротонов соответственно на (3, 10, 3), (3, 4, 3), (3, 3, 3) и (3, 3) микротонов. В результате вся октава разбивается на 49 интервалов из 3, 4 либо 10 микротонов. (В 53РДО разница между первыми двумя стирается, как было проиллюстрировано пилообразным графиком ранее, и все 49 интервалов укладываются в строй.)
Если мы хотим работать с 7-содержащими интервалами, то необходимо задействовать остаток шкалы 171РДО. Но введение дополнительных знаков альтерации тут уже наверняка не поможет, т.к. появляется путаница и теряется связь с реально воспроизводимыми интервалами (скажем, мы хотим сыграть 4-звучие 4:5:6:7, и последний интервал обозначаем как секунду+диез-микротон - слишком сложно, а представьте, что ещё коммы понадобятся). С другой стороны, вполне возможно, что для практических нужд окажется вполне достаточным введение "7-коммы" из 4 микротонов (64/63), которая была бы "мостиком" к 7-обертонным созвучиям. Скажем, "большой тон" + "7-комма" = "7-тон" из 33 микротонов (8/7). Надо пробовать...
Но, в любом случае, от пифагорова принципа бесконечной последовательности квинт я бы отказался, т.к. погрешность, с которой такая последовательность попадает в терции (и подавно в 7-интервалы), превышает потенциальную точность строя 171РДО.
...Насчёт 31РДО - согласен, что он может
использоваться в качестве вспомогательного строя для поверки партитур, но,
думаю, вряд ли у него есть перспективы стать "рабочей лошадкой"...
Из всех партитур (около 40 наименований), что я подготовил и опубликовал на
двух сайтах, наиболее посещаемы именно 31РДО версии.
Однако рекордсмен просмотров (около 3000 раз за 3 года) работа, где на левом
стереоканале 53РДО аппроксимация чистой интонации предела 7, а на правом,
31РДО и предел 5. http://www.sibeliusmusic.com/cgi-bin/show_score.pl?scoreid=54608
Можно движком стерео сравнивать прямо во время звучания.
Сообщение от Droog_Andrey
...Сейчас попробую похимичить с одной музыкальной
фразой... В давнем детстве я как-то сочинил небольшую простенькую
композицию, а впоследствии, через годы, решил набрать её в midi и обнаружил,
что в хроматике не удаётся добиться консонансного звучания этой самой фразы,
хотя в голове она звучала весьма стройно...
Пришлите мне MIDI. Если каждый голос дадите в отдельном MIDI канале,
постараюсь быстро вернуть Вам файл, перестроенный в 31РДО, а может быть даже
сделаю анализ и перестрою в 53РДО.
Последний раз редактировалось commator; 28.06.2007 в 17:11.
Причина: Дополнение текста
Тот фрагментик из 24 нот синтезирую завтра в трёх вариантах. Сегодня руки не дошли прогу написать... увлёкся приведением в порядок системы чистых музыкальных интервалов:
Если увлеклись наведением порядка в интервалах, переведите на русский, дополните, добавьте факторизацию и опубликуйте. На русском языке мне не попадался такой список.
Последний раз редактировалось commator; 28.06.2007 в 19:44.
Поподробнее исследовал возможные строи, основанные на РДО.
В качестве интересных, помимо 171РДО, проявили себя 41, 441, 612, 3125 и 11664РДО.
Интересно, что 441 = 3^2*7^2, 612 = 2^2*3^2*17, 3125 = 5^5, 11664 = 2^4*3^6. При этом у 612 и у 11664 есть прямая связь с 12РДО.
Погрешности оценок чистых интервалов 3:2, 5:4 и 8:7 равны соответственно:
для 41РДО - 1.65%, 19.91%, 10.16% микротона;
для 171РДО - 2.86%, 4.97%, 5.77% микротона;
для 441РДО - 3.15%, 2.97%, 4.35% микротона;
для 612РДО - 0.29%, 2.00%, 10.12% микротона;
для 3125РДО - 0.78%, 2.53%, 1.59% микротона;
для 11664РДО - 0.26%, 3.07%, 1.22% микротона;
для 21480РДО - 0.55%, 1.55%, 1.63% микротона (приведён тут, так сказать, заодно).
Таким образом, 41 не выдерживает конкуренции с 53, а 441 - со 171; 612 хорош и прямо связан с 12РДО, однако плохо работает с 7-интервалами; 3125 же и 11664 представляют особый, но сугубо теоретический интерес
20 апреля 2024 года состоится Концерт «Вивальди. Времена года. Бах. Токката и фуга ре минор. Моцарт. Маленькая ночная серенада»
Сегодня вы услышите знаменитые сочинения, которые принято называть...
20 апреля 2024 года состоится Концерт «Рок-баллады. Scorpions, Metallica, Queen, The Beatles»
Мы приглашаем вас провести вечер под звуки несравненных культовых композиций. О каждой из них можно...
20 апреля 2024 года состоится Концерт «Созвездие черных легенд»
Новый проект Симфонического оркестра Москвы «Русская филармония» «Созвездие черных легенд»! Michael Jakson, Boney M, Whitney Houston,...
Социальные закладки