Во-первых, видно, что все музыкальные интервалы без семёрки более или менее точно попадают в строй 53РДО.
Во-вторых, 7-содержащие интервалы в 53РДО аппроксимируются плохо, т.к. "бессемёрочные" часто оказываются ближе по соотношению частот (например, 5 микротонов ближе к 16/15, чем к 14/15; 12 микротонов ближе к 75/64, чем к 7/6, и так далее).
В-третьих, среднеквадратичное отклонение от чистых интервалов в 53РДО составляет 11% микротона, а максимальное - 19%, в то время как в 171РДО среднеквадратичное 9%, а максимальное - 17%, несмотря на большее количество тонов.
В-четвёртых, график зависимости отклонения от количества микротонов в интервале для 53РДО имеет пилообразную форму (downward sawtooth), т.е. это говорит о том, что микротон в 1/53 октавы широковат, и "набегающая" разница периодически скачкообразно изменяется.
171РДО исправляет этот "глюк", образуя интервалы по 1/57 октавы на пологом и 4/171 октавы на крутом участке "пилы". Соответствующий график для 171РДО, соответственно, заметно ближе к "белому шуму".
Таким образом:
1) 171РДО одинаково хорошо справляется со всеми (2, 3, 5, 7) сомножителями в интервалах;
2) в нём отклонения от чистых интервалов сконцентрированы в области +/- 1 цент (а это даёт частоту "биений" не выше нескольких герц), т.е. составляют порядка 1/8 микротона и меньше;
3) 171РДО может быть использован как с 7-содержащими интервалами, так и без них;
4) на трёх "ультракоммах" - соотношениях, упомянутых ранее (схизма 65610:65536 и два 7-содержащих интервала 2401:2400 и 4375:4374) - можно построить чёткую структуру строя, как сделал в своё время Пифагор (у него был 1-й порядок, и фигурировало единственное соотношение 3^12 = 531441 ~ 524288 = 2^19, где 531441/524288 - пифагорейская комма).
P.S. Заметил ещё одно интересное соотношение. Оказывается, 5^0.375 ~ 64/35, т.е. (35/32)^8 ~ 256/125. Последний в 171РДО состоит из 177 микротонов, в то время как 35/32 - из 22. При этом интервал 5^3 : (64/35)^8 = 5^11 * 7^8 / 2^48 составляет 0.058 цента и просит названия "гиперкоммы"
P.P.S. Из этих интервалов можно составлять ещё более мелкие, например (2^51):(3^13*5*7^10) или (5^21*7^25):(2^92*3^17), но это уже чисто математические приколы
Последний раз редактировалось Droog_Andrey; 26.06.2007 в 02:18.
А до диез в чистом строе разве 16/15 тоники? Я думал, что 16/15 - это между си и до (16 микротонов), а до диез выше до на 10 микротонов (25/24), при этом оставшиеся 19 (т.е. 27/25) - между до диез и ре (то же между до и ре бемоль)...
Очень хороший и важнейший вопрос.
В чистой шкале, действительно до диез не 16/15 тоники. А вот диатонический полутон (между си и до, так же между ми и фа) действительно имеет отношение 16/15.
В цитате же речь идёт о микротонах 171РДО. Этот строй возможен, если каждую квинту бесконечного пифагорова строя немного сузить, и тогда 171-я квинта от до, вместо того, чтобы быть ре-диез, станет на место до. Таким образом получаем ухудшенный ради обретения конечного множества микротонов пифагоров строй.
То же происходит и со шкалой 12РДО, только ухудшение настолько грубое, что уничтожается пифагорова комма. и пифагоров до диез занижается, а пифагоров же ре бемоль завышается. Уничтожение пифагоровой коммы приводит к физическому совпадению упомянутых высот.
А вот 171РДО пифагорову комму не только не удаляет, а ещё и делит на три микроинтервала, но эта комма, хоть и немного, но отличается от идеальной пифагоровой. При этом сохраняются главные отличия пифагорова строя от чистого:
в пифагоровой диатонической гамме существует только два вида смежных интервалов, а именно тон и диатонический полутон. В чистой таких интервалов три: большой тон (до-ре, фа-соль, ля-си), малый тон (ре-ми, соль-ля) и диатонический полутон (си-до, ми-фа);
пифагоров диатонический полутон (си-до, ми-фа) меньше хроматического, а в чистом строю наоборот;
для двух отстоящих на тон пифагоровых ступеней, хроматический полутон вверх от нижней ступени будет выше хроматического полутона вниз от верхней ступени. Повышение происходит на пифагорову комму (для пифагоровой шкалы до-диез выше ре-бемоль на пифагорову комму), в чистом стою и комма другая и тоны разные, но в большом тоне, совпадающем с пифагоровым до-диез ниже чем ре -бемоль... Больше будет написано в сонантометрии.
Пифагоров строй, или система чистой интонации предела 3 имеет самую простую систему интервалов и больше других подходит для создания шкал. Существующая система нотной записи основана именно на его особенностях. Поэтому имеет смысл описывать чистую интонацию более высокого предела, чем 3 именно в рамках пифагорова строя. Тогда для обозначения малого тона, например, мы можем применить всего лишь один дополнительный знак альтерации, указывающий понижение на комму. При этом вся существующая нотная литература остаётся актуальной и требует лишь уточнений.
Правда уточнения эти при ручном методе очень трудоёмкие...
...А кроме 171РДО, других кандидатов вроде как и нет...
Ну почему же. Есть 665РДО. Но это 13 порядок. Пифагоров тон содержит 113 микротонов. Пифагоров диатоничкеский полутон 50 микротонов, пифагоров хроматический 63. Комма отличается от пифагоровой всего на 0.076 цента и делится на 13 микротонов.
665-я квинта от до очень близка к до. Повышение на 0.076 цента. Любой идеальный обертон будет отличаться меньше чем на цент.
Я думаю это мыслимый предел конечного почти пифагорова строя, но клавиатура, если и возможна, то вероятно только кнопочная, по типу баянной.
Квинта, хоть и хуже на 5 центов, чем чистая, но на мой слух это приемлемо.
Зато этот строй легко поддаётся компьютеризации и можно быстро прослушать произведение любой протяжённости, предполагающее чистую интонацию 5-го предела в неплохом приближении к этой интонации. Будет слышна явная фальшь в тех местах, где неправильно проставлены знаки альтерации.
Эта настройка также хороша для автоматического приближения к чистой интонации произведений, написанных в 24РДО, если они предполагают чистую интонацию 7-го предела.
Я использую эту настройку для очистки от неправильной расстановки знаков альтерации партитур, полученных из MIDI файлов. Да и композиторы с издателями могут напутать в энгармонических заменах. Даже у Баха такое видел, но не знаю, как было в рукописи.
После такой очистки делать сонантометрический анализ можно увереннее.
Последний раз редактировалось commator; 28.06.2007 в 19:53.
Причина: Исправление опечатки
Но и у пифагорова строя свои недостатки. Можно неограниченно приближаться к чистым квинтам, - да, 665РДО позволяет воспроизвести их с поразительной точностью, - но ведь не квинтами едиными жива музыка, есть 5- и 7-содержащие интервалы, а точность их аппроксимации уже на порядок хуже, и в итоге получается, что львиная доля микротонов просто не используется, а львиная доля оставшихся работает не лучше 171РДО.
ИМХО, нет необходимости подстраивать 171РДО под пифагоров строй. В рамках 171РДО возможна аппроксимация чистого строя в нескольких тональностях сразу - почему бы это не использовать? А что до обозначений - это уже скорее дело техники...
Насчёт 31РДО - согласен, что он может использоваться в качестве вспомогательного строя для поверки партитур, но, думаю, вряд ли у него есть перспективы стать "рабочей лошадкой".
P.S. Сейчас попробую похимичить с одной музыкальной фразой... В давнем детстве я как-то сочинил небольшую простенькую композицию, а впоследствии, через годы, решил набрать её в midi и обнаружил, что в хроматике не удаётся добиться консонансного звучания этой самой фразы, хотя в голове она звучала весьма стройно...
Чистая мажорная гамма соответствует 0, 29, 55, 71, 100, 126, 155, 171 микротонам от тоники.
Диезы и бемоли разбивают большой тон на (10, 9, 10) микротонов, малый - на (10, 6, 10).
Введение знаков, обозначающих повышение либо понижение на комму, разбивает интервалы из 16, 10, 9 и 6 микротонов соответственно на (3, 10, 3), (3, 4, 3), (3, 3, 3) и (3, 3) микротонов. В результате вся октава разбивается на 49 интервалов из 3, 4 либо 10 микротонов. (В 53РДО разница между первыми двумя стирается, как было проиллюстрировано пилообразным графиком ранее, и все 49 интервалов укладываются в строй.)
Если мы хотим работать с 7-содержащими интервалами, то необходимо задействовать остаток шкалы 171РДО. Но введение дополнительных знаков альтерации тут уже наверняка не поможет, т.к. появляется путаница и теряется связь с реально воспроизводимыми интервалами (скажем, мы хотим сыграть 4-звучие 4:5:6:7, и последний интервал обозначаем как секунду+диез-микротон - слишком сложно, а представьте, что ещё коммы понадобятся). С другой стороны, вполне возможно, что для практических нужд окажется вполне достаточным введение "7-коммы" из 4 микротонов (64/63), которая была бы "мостиком" к 7-обертонным созвучиям. Скажем, "большой тон" + "7-комма" = "7-тон" из 33 микротонов (8/7). Надо пробовать...
Но, в любом случае, от пифагорова принципа бесконечной последовательности квинт я бы отказался, т.к. погрешность, с которой такая последовательность попадает в терции (и подавно в 7-интервалы), превышает потенциальную точность строя 171РДО.
...Насчёт 31РДО - согласен, что он может
использоваться в качестве вспомогательного строя для поверки партитур, но,
думаю, вряд ли у него есть перспективы стать "рабочей лошадкой"...
Из всех партитур (около 40 наименований), что я подготовил и опубликовал на
двух сайтах, наиболее посещаемы именно 31РДО версии.
Однако рекордсмен просмотров (около 3000 раз за 3 года) работа, где на левом
стереоканале 53РДО аппроксимация чистой интонации предела 7, а на правом,
31РДО и предел 5. http://www.sibeliusmusic.com/cgi-bin/show_score.pl?scoreid=54608
Можно движком стерео сравнивать прямо во время звучания.
Сообщение от Droog_Andrey
...Сейчас попробую похимичить с одной музыкальной
фразой... В давнем детстве я как-то сочинил небольшую простенькую
композицию, а впоследствии, через годы, решил набрать её в midi и обнаружил,
что в хроматике не удаётся добиться консонансного звучания этой самой фразы,
хотя в голове она звучала весьма стройно...
Пришлите мне MIDI. Если каждый голос дадите в отдельном MIDI канале,
постараюсь быстро вернуть Вам файл, перестроенный в 31РДО, а может быть даже
сделаю анализ и перестрою в 53РДО.
Последний раз редактировалось commator; 28.06.2007 в 17:11.
Причина: Дополнение текста
Тот фрагментик из 24 нот синтезирую завтра в трёх вариантах. Сегодня руки не дошли прогу написать... увлёкся приведением в порядок системы чистых музыкальных интервалов:
Если увлеклись наведением порядка в интервалах, переведите на русский, дополните, добавьте факторизацию и опубликуйте. На русском языке мне не попадался такой список.
Последний раз редактировалось commator; 28.06.2007 в 19:44.
Поподробнее исследовал возможные строи, основанные на РДО.
В качестве интересных, помимо 171РДО, проявили себя 41, 441, 612, 3125 и 11664РДО.
Интересно, что 441 = 3^2*7^2, 612 = 2^2*3^2*17, 3125 = 5^5, 11664 = 2^4*3^6. При этом у 612 и у 11664 есть прямая связь с 12РДО.
Погрешности оценок чистых интервалов 3:2, 5:4 и 8:7 равны соответственно:
для 41РДО - 1.65%, 19.91%, 10.16% микротона;
для 171РДО - 2.86%, 4.97%, 5.77% микротона;
для 441РДО - 3.15%, 2.97%, 4.35% микротона;
для 612РДО - 0.29%, 2.00%, 10.12% микротона;
для 3125РДО - 0.78%, 2.53%, 1.59% микротона;
для 11664РДО - 0.26%, 3.07%, 1.22% микротона;
для 21480РДО - 0.55%, 1.55%, 1.63% микротона (приведён тут, так сказать, заодно).
Таким образом, 41 не выдерживает конкуренции с 53, а 441 - со 171; 612 хорош и прямо связан с 12РДО, однако плохо работает с 7-интервалами; 3125 же и 11664 представляют особый, но сугубо теоретический интерес
Новый музыкальный трек Рустэма Султанова "Журавлиный клин", который он выпустил в соавторстве с Борисом Орловым - это не просто песня, это возвращение к отечественным традициям популярной музыки. С...
Музыка на фортепиано является одним из самых вдохновляющих и универсальных форм музыкального искусства. Создание композиций на фортепиано — это процесс, требующий вдохновения, творчества и...
Автор elenazharkova (Комментариев: 0)
Сегодня, 12:19
25 апреля 2024 года состоится Концерт «Вселенная NEOклассики»
6 июня, тёплым летним вечером, под самым большим звёздным куполом в Московском планетарии зазвучат произведения культовых современных...
Автор elenazharkova (Комментариев: 0)
Сегодня, 11:05
25 апреля 2024 года состоится Концерт Жанны Бичевской «Песни иеромонаха Романа»
Жанна бичевская «Песни иеромонаха романа»
Жанна Бичевская – уникальное явление в искусстве. За 50 лет творческой...
Автор elenazharkova (Комментариев: 0)
Сегодня, 11:04
Социальные закладки