Алексей Степанович Оголевец

[commator]

В пифагорейском строе фа-бемоль ниже ми:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/1.html

Почему же в этом строе интервал до – фа-бемоль не может использоваться в качестве аналога “чистостроевской” большой терции? ...

В книжечке Experimental Analysis of Shrutis from Performances in Hindustani Music by Asoke Kumar Datta, Ranjan Sengupta, Nityananda Dey and Dipali Nag. (103 pages, price: INR 150) на стр. 27 есть таблица, по которой видно, что индийская (энгармоническая по западным меркам) шкала состоит из 22-х неравномерных делений октавы в рамках ЧИП13. Имён диатонических нот, однако 7 (жирные дроби), как и у нас, но все они (за исключением I и V ступеней) имеют хроматико-энгармонические версии.
I - 1/1
II - 21/20, 13/12, 10/9, 9/8
III - 7/6, 6/5, 5/4, 13/10
IV - 4/3, 25/18, 7/5, 13/9
V - 3/2
VI - 14/9, 8/5, 5/3, 26/15
VII - 7/4, 9/5, 15/8, 21/11
Другими словами из данной таблицы следует, что в северной классической музыке Индии о каком либо понижении кварты и речи быть не может. Зато аж 3 версии повышения, тогда как у других нот не более одной версии повышения.

[Математик]

Другими словами из данной таблицы следует, что в северной классической музыке Индии о каком либо понижении кварты и речи быть не может.

Оголевец в данном контексте писал об арабах.

“Арабы добивались получения “чистых терций” при помощи 8 квинтовых шагов, т. е. они понимали природу этого звучания как уменьшенную кварту."
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/9/1.html

Наверное, действительно было такое …

[Математик]

Ерунда. Не было никакой "теории пар" в том виде, как это изложено (это просто современная удобная интерпретация с необходимой строгостью)...

“Теория пар” меня очень интересует. В том числе и в плане ее (возможного) генезиса от задач теории музыки.

Поэтому будем спускаться потихонечку от “современной удобной интерпретации” в глубь веков, наблюдая за парами. Например, мы констатируем, что в 19 веке манипуляции с парами вполне использовались при изложении алгоритма Евклида:
Бертран Ж.
Теоретическая арифметика.
Пер. с 7-го изд., СПБ, 1885, сc. 69 — 77:
http://www.px-pict.com/7/4/5/3.html

Оглавление этого классического учебника можно глянуть здесь:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/4/2.html
------------------------
И все это мы делаем для того, чтобы показать обоснованность следующих утверждений по поводу содержания книг 7-- 9 “Начал”:
История математики с древнейших времен до начала XIX столетия.
Под редакцией А.П. Юшкевича. Том 1: С древнейших времен до начала Нового времени. М.: Наука, 1970, сс. 71 — 72.
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html

“На этом и было основано применение теории отношений к теории музыки: всякому музыкальному интервалу, т. е. паре звуков, ставили в соответствие отношение высот этих звуков, т. е. пару (A, B) целых чисел, измеряющих эти высоты звуков.”

“ В "Началах" над отношениями целых чисел производится только одна операция — составление отношений, которая соответствует умножению дробей… Это название объясняется, вероятно, тем, что при составлении музыкальных интервалов, т. е. при переходе от интервалов, представляющих собой пары звуков с высотами A, B и B, C, к интервалу, представляющему пару звуков с высотами A, C, происходит составление соответственных отношений."

“Как видно, вся эта теория пар основывается на понятиях из общей теории делимости — общий делитель двух чисел, взаимная простота двух чисел и т. п. В основе всех этих понятий и большей части доказательств лежит алгоритм нахождения общего наибольшего делителя двух чисел, называемый в настоящее время алгоритмом Евклида."
-------------------------------

Некоторое независимое подтверждение этих сентенций мы находим здесь:
Комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского к книге:
Евклид. Начала Евклида (книги VII — X).
Гос. издательство технико-теоретической литературы,
Москва, Ленинград, 1949, с. 314:
http://www.px-pict.com/preprints/5.html

“Мы видели, что целочисленные пропорции играли большую роль в греческой музыкальной теории, где музыкальные интервалы выражались отношениями и сложение интервалов оказывалось равносильным умножению выражающих их отношений; таким образом в греческую математическую терминологию вошли понятия о двойном и тройном отношении – двукратном и троекратном повторении взятого интервала."

[Математик]

Насчёт "композиции" - этот термин (если очень надо, можно уточнить), кажется, был применен к группам то ли Абелем, то ли самим Галуа. В любом случае, слово "композиция" для обозначения групповой операции происходит из групп преобразований, композиция (суперпозиция, произведение) преобразований - это обычное последовательное их применение. До "абстрактных" групп рассматривались именно группы преобразований, ну и абстрактную группу всегда можно рассматривать как группу преобразований, если вспомнить, что любая группа изоморфна группе своих левых (или правых) сдвигов с "обычным теоретико-множественным законом композиции" для преобразований.

Некоторая связь с "композицией" (как "составлением") отношений - конечно есть, но исторически "композиция" в группах была вот нечто иное.

Насчет композиции – это вообще отдельный вопрос. Вот и Б. Л. ван дер Варден туда же “косит”:
Б. Л. ван дер Варден. Алгебра.
М.: Наука, 1979, сc. 49 — 56:
http://www.px-pict.com/9/5/4/1.html

“Под системой с двойной композицией подразумевается…”

Так, все-таки, из музыки пошла “композиция” или из чего-то другого? ("Композитор” – он же в музыке, а не в живописи или в математике).

Как случилось, что "композиция” или “законы композиции” оказались такими важными в живописи, музыке и математике? Должно же быть какое-то универсальное значение у этих "законов” или “принципов”, раз они применяются в столь различных областях.

Статьи в Википедии по этому вопросу несколько сумбурные.
http://en.wikipedia.org/wiki/Composition
http://en.wikipedia.org/wiki/Composition_(visual_arts)

[commator]

... Наверное, действительно было такое …

В том то дело, что нам плохо иэвестно, что было в восточной музыке и что привело её к тем различиям с западной, которые сейчас ещё хорошо заметны.

Однако Оголевец имел успех своей киномузыки к фильму об Индии именно в Индии. Поэтому интересно узнать, что думают о своей музыке индийские учёные и какими могут быть совпадения/расхождения у них с размышлениями Алексея Степановича.

Цитирую, например, со стр. 17 из вышеупомянутой индийской монографии о шрути:

<<... The Indian musical system is modal. In a modal system relations between successive sounds as well as those between any sound and a fixed tonic are of paramount importance. In the Indian musical system,even in the absence of the tonic, an isolated sound can convey an expression, of course, with respect to a memorized tonic or a previous sound. Here each sound leaves an impression in the mind and the idea isrevealed through the cumulative effect of successive sounds [1]. Furthermore the tonic is not fixed in terms of a set of specified frequencies of vibration but can be defined by the performer anywhere according to his/her own choice.

The basis of scale in the Indian musical system, therefore, has to be considered in terms of the relation between successive sounds. Music is a phenomenon in the ideational world of man and hence has its primary basis in the psychology of perception of sound. The ancient Indian approach for understanding and production of it was metaphysical and was given the aura of divinity. There may be good reasons to believe that such an approach is more meaningful than the modern mechanical approach of explaining or understanding music in terms of physics of vibration only or the approach of forcing unnecessary numerical manipulation, as S M Tagore put it, "(which) mystifies the subject by enveloping it in a cloud of mathematicism"[2].

In the last few decades there have been considerable advances in the psychophysiology of hearing. Experimental data on the pitch discrimination and in human perception are available. There had been good theories, backed by experimental data, on the perception of pitch, timbre and loudness and on the consonance/dissonance phenomena as well as musicality of sound. There is a need to examine the Indian Musical scale, which is primarily based on 'shrutis', in the light of these advances ...>>

Гугл с очень небольшим ручным редактированием переводит:

<<... Индийская музыкальная система является модальной. В модальной системе взаимоотношения между последовательными звуками, а также между любым звуком и фиксированной тоникой имеют первостепенное значение. В индийской музыкальной системе, даже в отсутствие тоники, изолированный звук может передать выражение, конечно, с учётом запомненной тоники или предыдущего звука. Здесь каждый звук оставляет впечатление в уме, и идея раскрывается через накопительный эффект последовательных звуков [1]. Кроме того тоника не фиксируется в плане набора определенных частот колебаний, но может быть определена в любом месте исполнителем в соответствии с его/ее собственным выбором.

Основа шкалы в индийской музыкальной системе, следовательно, должна рассматриваться с точки зрения соотношения между последовательными звуками. Музыка есть явление в идеаторном мире человека и, следовательно, имеет свою главную базу в психологии восприятия звука. Древний индийский подход к её пониманию и продуцированию был метафизическим и получил ауру божественности. Могут быть веские основания полагать, что такой подход является более значимым, чем современный механический подход объяснения и понимания музыки с точки зрения только физики колебания или подход нагромождения ненужных численных манипуляций, как С. М. Тагор выразился, "(которые) мистифицируют этот предмет укутывая его в облаке математизма" [2].

В последние несколько лет произошли значительные достижения в области психофизиологии слуха. Экспериментальные данные о различении высот и по человеческому восприятию стали доступными. Были хорошие теории, опирающиеся на экспериментальные данные, по восприятию высоты, тембра и громкости и по явлению консонанса/диссонанса, а также музыкальности звука. Существует необходимость в изучении индийской музыкальной шкалы, которая основывается прежде всего на 'шрути’, в свете этих достижений ...>>

<<...
1. Hariharananda Saraswati Swami, "Sabda and Artha", Siddhant, I, 45, 1941.
2. Tagore Sourindra Mohan, "Hindu Music", Hindu Patriot, Sept 7, 1874.
...>>

[Математик]

В том то дело, что нам плохо иэвестно, что было в восточной музыке и что привело её к тем различиям с западной, которые сейчас ещё хорошо заметны.

Однако Оголевец имел успех своей киномузыки к фильму об Индии именно в Индии. Поэтому интересно узнать, что думают о своей музыке индийские учёные и какими могут быть совпадения/расхождения у них с размышлениями Алексея Степановича.

Размышлял обо всем этом Алексей Степанович действительно много. И очень обстоятельно (как всегда).
В качестве отправной точки можно указать на то место в “Основных предпосылках” к его труду, которое я уже цитировал:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/0/7.html

Я несколько расширил это место (в конце страницы) его пророческим предвидением неизбежности эволюции европейской 12- звучной системы к … индийской 22-звучной!

“Поскольку … логический и предуказанный всем развитием после темперации путь европейской музыки лежит от 12- звучной системы к дальнейшему расширению ее, к 17- звучной системе (а затем, по всей вероятности, как это вытекает из логики дальнейшего развития, -- и к 22-звучной, полной, системе), то освоение 17-звучной системы (а наша работа трактует и об этой стадии, и о следующей, 22-звучной, и всех последующих теоретически возможных) и явится тем первым моментом синтеза, в котором сольются без отрыва одна от другой в единый поток многочисленные особенности языка всех музыкальных культур и где до слияния в общий язык каждая национальная культура сумеет до конца выявить и развить свои потенции”.

По-видимому, индийские ученые будут довольны размышлениями Алексея Степановича.

[Математик]

Так что Ваши замечания (по поводу отрывков из цитировавшейся выше страницы) следует признать, в принципе, справедливыми.

Эти отрывки указывают, что восточная музыка ушла вперёд по пути расширенного использования тонального функционирования ладов. Это заявление восхищает. Восхищает и указание на то, что ушедшие вперёд восточные системы построения ладов на основе 17 и 22 неравных (по моему разумению) делений октавы (НДО) не рвут принципиальных связей с предыдущими фазами ладопостроения на основе систем 5/7/12НДО. Предыдущие фазы в полном объёме остаются в расширенных последующих.
Развитие естественной тональности в западной музыке из-за приверженности системе 12РДО не может двигаться дальше.

Он предлагает прежде всего не ездить более по западному шоссе 12РДО, а идти по едва заметной тропинке 12НДО на восток и там учиться, учиться и учиться.

Как важно, что об этом написал музыкант. И как понятно за что его шельмовали.

[commator]

... по поводу отрывков из цитировавшейся выше страницы ...

Восточная музыка не пошла столь усердно, как западная, на поводу немецкой рационализации строя. Таким образом ей удалось сохранить до нашего времени то, что сильно пострадало в западной. Теперь, вникая в особенности музыки восточной, есть реальная возможность восстановить испорченное и в западной музыке.
Индия для этого уже много сделала
http://www.forumklassika.ru/showthread.php?t=55414
и активно пополняет свой неоценимый вклад в дело познания феномена модально-тональной музыки.

[commator]

... По-видимому, индийские ученые будут довольны размышлениями Алексея Степановича.

И да и нет. В большинстве своём индийские учёные склоняются к тому, что современное классическое индийское музицирование может уложиться в концепцию ЧИ предела более чем 5. Не скрою, мой доклад на frsm-2009 о возможности использования системы 31РДО для аппроксимации ЧИП7 вызвал определённый интерес среди исследователей-практиков и даже некоторые надежды на сотрудничество.

По крайней мере ранний АСО в "Основах" резко отрицает возможность эксплуатации в модально-тональной музыке ЧИ предела более чем 3. Даже ЧИП5 ему не хочется рассматривать как приемлемую основу ладовых систем.

[Математик]

В книжечке Experimental Analysis of Shrutis from Performances in Hindustani Music by Asoke Kumar Datta, Ranjan Sengupta, Nityananda Dey and Dipali Nag. (103 pages, price: INR 150) на стр. 27 есть таблица, по которой видно, что индийская (энгармоническая по западным меркам) шкала состоит из 22-х неравномерных делений октавы в рамках ЧИП13. Имён диатонических нот, однако 7 (жирные дроби), как и у нас, но все они (за исключением I и V ступеней) имеют хроматико-энгармонические версии.
I - 1/1
II - 21/20, 13/12, 10/9, 9/8
III - 7/6, 6/5, 5/4, 13/10
IV - 4/3, 25/18, 7/5, 13/9
V - 3/2
VI - 14/9, 8/5, 5/3, 26/15
VII - 7/4, 9/5, 15/8, 21/11
Другими словами из данной таблицы следует, что в северной классической музыке Индии о каком либо понижении кварты и речи быть не может. Зато аж 3 версии повышения, тогда как у других нот не более одной версии повышения.

Интересно, конечно, провести сравнение с трактовкой Оголевца.
Проблема здесь в том, что у него рассмотрение индийской гаммы отстоит очень далеко от начала книги и существенно использует материал, изложенный ранее. См оглавление его книги:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/000.html

Тем не менее, рискнем забросить десант вглубь Оголевца и приведем одно ключевое место из главы “Дальнейшее расширение тональной системы. Индийская музыка.”
Оголевец А. С. Основы гармонического языка.
М. — Л., 1941, сc. 823 — 824.
http://www.px-pict.com/preprints/Ogolevetz/1.html

Цель Алексея Степановича заключается в том, чтобы показать, что индийская 22-звучная гамма является в конечном итоге естественным расширением его основополагающей 12-звучной тональной системы (“прототипа музыкального строя”).