Страница 5 из 10 ПерваяПервая ... 456 ... ПоследняяПоследняя
Показано с 41 по 50 из 97

Тема: Экспериментальный анализ шрути.

              
  1. #41

    По умолчанию

    “Музыкальную” сущность Дерева можно начать разгадывать с того факта, что на любом его уровне любая пара соседних чисел находится между собой в эпиморном отношении (“вырожденные” числа 0/1 и 1/0 не принимаем в рассмотрение).

    Эпиморные отношения, как известно, играли большую роль в античной теории музыки:
    Б. Л. ван дер Варден. “Пифагорейское учение о гармонии.”
    В кн.: Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.
    Гос. издательство физико-математической литературы, М.:, 1959, сс. 398 — 402.
    http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/2.html
    http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html
    (На последней странице – пункт (iii): “созвучным интервалам должны соответствовать кратные или эпиморные отношения”).

    Например, для чисел 3-го уровня Дерева:
    http://www.px-pict.com/10/4/4/2.html
    Берем самую левую пару соседних чисел, это будут числа 1/4 и 1/3. Делим 1/3 на 1/4 , получаем в результате эпиморное отношение 4/3. Аналогично для любых двух соседних чисел 3-го уровня Дерева (и любого другого уровня Дерева).

    Если Дерево – тоже из античности (как уже отмечалось), то это может свидетельствовать о связи его устройства с какими-либо античными музыкальными конструкциями.

  • #42

    По умолчанию

    Основополагающие соотношения, фигурирующие в “двух леммах геометрии чисел”:
    http://www.px-pict.com/7/4/4/2/2/4.html

    являются элементарными переформулировками того факта, что определенные числа находятся в эпиморном отношении. Например, если в контексте Леммы 2:
    http://www.px-pict.com/7/4/4/2/2/4/1.html

    мы рассмотрим два числа a/b = 2/5 и c/d = 1/3, которые являются соседней парой чисел на 3-м уровне Дерева, и, следовательно, находятся в эпиморном отношении, то определитель, составленный из чисел a, b, c, d будет равен 1. Равенство такого определителя единице, как легко видеть, и эквивалентно тому, что числа a/b и c/d находятся в эпиморном отношении.

    Равенство определителя единице (у Кокстера это фигурирует как соотношение 13.52:
    http://www.px-pict.com/7/4/4/2/3/2.html

    расценивается (тем же Кокстером) как “соотношение, из которого другие получаются с помощью простых алгебраических преобразований”:
    http://www.px-pict.com/7/4/4/2/3/3.html

    Т. е. складывается впечатление, что всю эту “геометрию чисел” можно переформулировать в рамках некоторой “теории эпиморных отношений”…

  • #43
    Режим чтения Аватар для commator
    Регистрация
    14.07.2006
    Адрес
    Lugansk, Ukraine
    Возраст
    63
    Сообщений
    4,121

    По умолчанию

    Цитата Сообщение от Математик Посмотреть сообщение
    “Музыкальную” сущность Дерева можно начать разгадывать с того факта, что на любом его уровне любая пара соседних чисел находится между собой в эпиморном отношении (“вырожденные” числа 0/1 и 1/0 не принимаем в рассмотрение).

    Эпиморные отношения, как известно, играли большую роль в античной теории музыки:
    Б. Л. ван дер Варден. “Пифагорейское учение о гармонии.”
    В кн.: Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.
    Гос. издательство физико-математической литературы, М.:, 1959, сс. 398 — 402.
    http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/2.html
    ...
    Читая страницу по ссылке задумался над этим:

    <<... Клавдий Птолемей, выдающийся астроном и теоретик музыки поздней древности, в первой книге своей "Теории гармонии" следующим образом излагает пифагорейскую теорию созвучных интервалов:
    "Ухо признает следующие созвучные интервалы: так называемые кварту и квинту, разность между которыми называется целым тоном, затем октаву, ундециму, дуодециму и двойную октаву. Интервалы большие этих мы для нашей настоящей задачи должны оставить в стороне.
    Пифагорейская теория из упомянутых интервалов оставляет в стороне также и ундециму в соответствии со своеобразными основными положениями, которые были главами этой школы выставлены из следующих соображений.

    ... среди неравных чисел существуют два рода отношений, во-первых, так называемые сверхмерные, или как <меньшее> число к <большему> числу, а во-вторых, эпиморные, или же кратные (две величины находятся в кратном отношении (например, 2:1 или 3:1, если большая является кратной меньшей, а меньшая, таким образом, делителем большей; две величины находятся в эпиморном отношении (например, 3:2 или 4:3), если они имеют вид (n + 1):n для некоторого натурального числа n — прим. редактора).

    ... они эпиморные и кратные отношения сравнивают с созвучными интервалами: октаву они выражают как отношение 2 : 1, квинту — как отношение 3 : 2, кварту — как отношение 4 : 3.

    ... они причисляли к созвучным интервалам также дуодециму и двойную октаву, так как последняя соответствует отношению 4 : 1, а первая — 3 : 1. Ундециму же они не причисляли к созвучным интервалам, так как этот интервал соответствует отношению 8 : 3, которое не является ни эпиморным, ни кратным.

    ... Теперь, говорят они, представим себе октаву AB и затем еще одну октаву BC , так что AC будет некоторой двойной октавой.
    Так как двойная октава будет созвучной, то AC будет соответствовать или эпиморному, или же кратному отношению. Но этот интервал не может соответствовать эпиморному отношению, ибо тогда его нельзя было бы разделить пополам; следовательно, AC, а значит и AB, будут соответствовать кратному отношению; таким образом, октава будет иметь кратное отношение.
    ...>>

    Последнее предложение цитаты впечатлило тем, что интервал эпиморного отношения нельзя разделить пополам.

    По поводу древних сомнений в созвучности 8:3 было интересное выказывание в другой теме:
    Цитата Сообщение от -Бу- Посмотреть сообщение
    ... Кварту через октаву я слышу как диссонанс, а через 2-3 октавы ещё больше, что меня удивляло ещё в детстве. Насколько я понимаю, проблема в том, что 3-я гармоника достаточно слышна для того, чтобы с этой квартой вступать в секундовые соотношения ...
    Здесь подтверждается, что до сих пор созвучность 8:3 не бесспорна и предпринята вполне современная попытка дать объяснение с точки зрения восприяния.

    3-я гармоника нижнего звука и 1-я верхнего, будучи в области доминирования, попадают в критическую полосу
    Цитата Сообщение от commator Посмотреть сообщение
    ... Область Доминирования ...
    Цитата Сообщение от commator Посмотреть сообщение
    ... Введение в критическую полосу ...
    и оказываются разнесёнными стимулами одного и того же канала восприятия (секундовые соотношения). Канал вместо экономного режима обработки совмещённых стимулов унисона получает напряжённый из-за разнесения стимулов на интервал секунды. Организм отвечает на это неохотным выделением дополнительной энергии на обработку неудобного сигнала, вешая на него ярлык источника неприятностей.

    Я интересовался особенностями кварты у своей супруги - преподавателя музыкальной теории. Она подтвердила, что в своей практике всегда сталкивается с трудностями преподнесения кварты, как совершенного консонанса. Я это понял так, что не только 8:3, но и 4:3 попахивает диссонансом из-за весомого секундового конфликта 3-й гармоники нижнего звука и 2-й верхнего. И в индийской практике о кварте сформировалось представление, как об интервале, способном иметь версии, т. е. не совершенном, в отличие от квинты, октавы и унисона.

    Заметим, что с учётом критической полосы 4:3 выглядит менее созвучным интервалом, чем 5:4 и 6:5 потому, что секундовый конфликт и у 5:4, и у 6:5 создаётся 4-й гармоникой нижнего звука и 3-й верхнего.

    В силу особенностей восприятия, кварта бросает тень на безусловную созвучность эпиморных соотношений.
    Также представляется упрощённым распространённое мнение о допустимости любых октавных перемещений в созвучиях.
    Последний раз редактировалось commator; 04.05.2010 в 09:08.

  • #44
    Режим чтения Аватар для commator
    Регистрация
    14.07.2006
    Адрес
    Lugansk, Ukraine
    Возраст
    63
    Сообщений
    4,121

    По умолчанию

    Цитата Сообщение от Математик Посмотреть сообщение
    ... для чисел 3-го уровня Дерева:
    http://www.px-pict.com/10/4/4/2.html
    ...
    На этом уровне имеется две центральных октавы и две крайних. Наблюдается серьёзное различие в делении центральных октав и крайних.
    Цитата Сообщение от commator Посмотреть сообщение
    ... представляется упрощённым распространённое мнение о допустимости любых октавных перемещений в созвучиях.
    На этом же уровне обнаруживается замечательное сцепление малого и большого трезвучий 5/3 : 2/1 : 5/2 : 3/1. Ещё есть нонаккорд из цепи двух больших трезвучий 4/3 : 5/3 : 2/1 : 5/2 : 3/1 и пентатоника 4/3, 3/2, 5/3, 2/1, 5/2.
    Последний раз редактировалось commator; 02.05.2010 в 13:17.

  • #45

    По умолчанию

    Цитата Сообщение от commator Посмотреть сообщение
    В силу особенностей восприятия, кварта бросает тень на безусловную созвучность эпиморных соотношений.
    Я дополнил страницу о теории созвучных интервалов из работы Б. Л. ван дер Вардена недостававшими фрагментами. Вот в этом месте:
    http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/2.html#4

    сформулировано условие (3): “созвучным интервалам соответствуют эпиморные или кратные отношения (обратного требования не выставляется)”. Т. е. по этой теории эпиморность (или кратность) является необходимым, но недостаточным свойством созвучного интервала.

  • #46
    Режим чтения Аватар для commator
    Регистрация
    14.07.2006
    Адрес
    Lugansk, Ukraine
    Возраст
    63
    Сообщений
    4,121

    По умолчанию

    Цитата Сообщение от Математик Посмотреть сообщение
    Я дополнил страницу о теории созвучных интервалов из работы Б. Л. ван дер Вардена недостававшими фрагментами. Вот в этом месте:
    http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/2.html#4

    сформулировано условие (3): “созвучным интервалам соответствуют эпиморные или кратные отношения (обратного требования не выставляется)”. Т. е. по этой теории эпиморность (или кратность) является необходимым, но недостаточным свойством созвучного интервала.
    Эта страница очень информативна. Теперь привлекло внимание следующее:

    <<... из созвучных интервалов прекраснейшим является октава, а из числовых отношений лучшим — двухкратное. Октава — по той причине, что она ближе всего подходит к равенству напряжений, а двукратное потому, что только при этом отношении избыток является равным первоначальному числу. ...>>

    Мне представляется нелишним подчеркнуть, что октава, похоже, единственный интервал, у которого границы имеют кратное соотношение частот, которое также эпиморное.

    2:1 = (1+1):1

    Я также не перестаю удивляться тому, что

    2+2 = 2*2 = 2^2

    На стр. 18 обсуждаемой индийской книги о шрути написано:

    <<... Подобно всем другим музыкальным системам октава (высотное соотношении 2:1) является самой основной единицей в индийской системе. Она также получилась наиболее стойким интервалом (держа в стороне небольшое количество перцептивного растяжения октавы при определенных ограничениях) [6]. Можно отметить здесь, что в индийской системе октаву называют саптак так как она содержит лишь семь основных выразительных интервалов, называемых сварами. Это объясняется тем, что индийская система всецело полагается на интервалы, не на границы (высотно представляющие так называемые музыкальные ноты) больших интервалов. ...>>
    Like all other musical systems octave (pitch ratio 2:1) is the most fundamental unit in the Indian system. It also happens to be the most consistent interval (keeping aside the small amount of perceptual stretching of octave under certain constraints) [6]. It may be noted here that in the Indian system the octave is known as Saptak as it contains only seven major expressive intervals, called Swaras. This is so because the Indian system implicitly relies upon the intervals not on the boundaries (the pitch representing the so called Musical Notes) of the major intervals.
    6. Datta A K, Ganguly N R & Dattamajumder D D, "Speech and Music - A review on quantitative studies", Jour.SangeetResearchAcademy, 4, 1, 77-91, 1983.
    Замечательно, что у древних индусов, как и у древних греков, именно октава поделилась на семь больших интервалов. Ещё более замечательно, что и те и другие наделили эти большие интервалы правом изменения ширины ради разнообразия выразительности.

    Октава в наше время оказалась уже не единственным интервалом, на делении которого пытаются строить систему музицирования.
    Цитата Сообщение от Ctyveh Посмотреть сообщение
    Если для кого-либо особый интерес представляет интервал дуодецимы, то на нём может быть основана музыка. Так, Джоном Пирсом (Pierce J.R.) был предложен музыкальный строй, в котором в роли октавы выступает интервал с отношением 3:1 — т.е. второй обертон струны (октава+квинта), названный им тритавой (см.: М. Шредер. Фракталы, хаос, степенные законы).
    ...
    Этот интересный эксперимент стал всемирным. То, что будет его результатом, сможет помочь осознать истинную роль октавы в музыке. Я думаю, что она несокрушима как с точки зрения чисел, так и по особенностям восприятия.
    Цитата Сообщение от commator Посмотреть сообщение
    Тюлин Ю. Н. Учение о гармонии. 3-е изд. испр. и доп. — М., 1966, стр. 46
    Из отдельных интервалов прежде всего необходимо остановиться на интервале октавы и выделить его из всех как единственный, воспринимаемый нашим слухом совершенно особенным образом, а именно — как повторение (дублирование) того же тона, но с различной степенью яркости. Этим устанавливается закон подобия октавных тонов.
    Психоакустическая особенность октавы – отсутствие комбинационных тонов (КТ), расположенных ниже основы. Отсутствуют также КТ внутри интервала. Любой из возможных КТ октавы всегда совпадает с тем или иным обертоном основы. Этим создаётся ощущение полного отсутствия КТ, свойственное, кроме октавы лишь унисону. Таким образом октава и унисон образуют уникальную пару интервалов, не порождающих заметных КТ.
    Последний раз редактировалось commator; 04.05.2010 в 00:03.

  • #47
    Режим чтения Аватар для commator
    Регистрация
    14.07.2006
    Адрес
    Lugansk, Ukraine
    Возраст
    63
    Сообщений
    4,121

    По умолчанию

    Цитата Сообщение от commator Посмотреть сообщение
    ...
    То о чём пишет Оголевец, всё же имеет место.



    На сайте со списком этих 12 нот есть дублированные западноевропейской нотацией все 10 семиступенных североиндийских таатов.
    Можно убедиться, что вместе они сформируют именно тот набор, о котором пишет Оголевец, ...
    По этому поводу хочется заострить внимание на двойственном отношении индийской науки к нотации маддхьямы (кварты по-нашему).
    Цитата Сообщение от commator Посмотреть сообщение
    ...книга этой темы и в ней ...
    На стр. 26 есть таблица.
    Вложение 39684
    ...
    Внизу таблицы есть пояснение, что нижайшую (атикомаль) версию маддхьямы следует считать нейтральной (шуддха), нейтральную трактовать, как высокую (тивра) нижайшую, а высокую понимать высочайшей (тивратара) нижайшей.

    Подобные сложности с квартой и в европейской нотации отмечены Оголевцем.

    Последний раз редактировалось commator; 03.05.2010 в 20:11.

  • #48
    Режим чтения Аватар для commator
    Регистрация
    14.07.2006
    Адрес
    Lugansk, Ukraine
    Возраст
    63
    Сообщений
    4,121

    По умолчанию

    Цитата Сообщение от commator Посмотреть сообщение
    ... роль октавы в музыке. Я думаю, что она несокрушима как с точки зрения чисел, так и по особенностям восприятия.
    Существуют ли ещё интервалы, кроме октавы, которые в цепном использовании не порождали бы диссонансы?

  • #49

    По умолчанию

    Цитата Сообщение от Математик Посмотреть сообщение
    Т. е. складывается впечатление, что всю эту “геометрию чисел” можно переформулировать в рамках некоторой “теории эпиморных отношений”…
    Б. Л. ван дер Варден весьма неуважительно отзывается о “Введении в арифметику” Никомаха, где, в частности, излагаются сведения об эпиморных отношениях:
    Б. Л. ван дер Варден. “Пробуждающаяся наука.”
    Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.
    Гос. издательство физико-математической литературы, М.:, 1959, сс. 133 — 135:
    http://www.px-pict.com/7/3/1/1/1/9.html

    Возможно, правда, что его критику следует отнести на счет того, что сведения об эпиморных отношений в книге Никомаха не были оформлены в аксиоматическую дедуктивную теорию по образцу книг Евклида.

  • #50
    Режим чтения Аватар для commator
    Регистрация
    14.07.2006
    Адрес
    Lugansk, Ukraine
    Возраст
    63
    Сообщений
    4,121

    По умолчанию

    Цитата Сообщение от Математик Посмотреть сообщение
    Б. Л. ван дер Варден весьма неуважительно отзывается о “Введении в арифметику” Никомаха, где, в частности, излагаются сведения об эпиморных отношениях:
    Б. Л. ван дер Варден. “Пробуждающаяся наука.”
    Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.
    Гос. издательство физико-математической литературы, М.:, 1959, сс. 133 — 135:
    http://www.px-pict.com/7/3/1/1/1/9.html

    Возможно, правда, что его критику следует отнести на счет того, что сведения об эпиморных отношений в книге Никомаха не были оформлены в аксиоматическую дедуктивную теорию по образцу книг Евклида.
    <<...Тем не менее мы узнаём именно из бестселлера Никомаха о том, что и сегодня интересные нам числа у древних греков даже по особому назывались. ...>>

    Это всё, что удалось найти в Гугле, как свидетельство того, что мой ответ на это Ваше сообщение был. И бесследно пропал. Жаль.

  • Страница 5 из 10 ПерваяПервая ... 456 ... ПоследняяПоследняя

    Похожие темы

    1. Гармонический анализ
      от LERI в разделе Теория музыки
      Ответов: 6
      Последнее сообщение: 20.05.2012, 23:48
    2. Тритава: новый экспериментальный строй
      от Ctyveh в разделе Теория музыки
      Ответов: 176
      Последнее сообщение: 22.02.2010, 03:28
    3. Анализ репертуара 1-2 кл
      от Vikont в разделе Поиск нот для скрипки и альта
      Ответов: 0
      Последнее сообщение: 08.06.2009, 18:50
    4. Палестрина: анализ
      от Сноу - Шу в разделе Теория музыки
      Ответов: 6
      Последнее сообщение: 08.10.2008, 15:31
    5. Иполнительский анализ
      от SashaWL в разделе Исполнители-солисты
      Ответов: 0
      Последнее сообщение: 07.05.2008, 00:12

    Метки этой темы

    Социальные закладки

    Социальные закладки

    Ваши права

    • Вы не можете создавать новые темы
    • Вы не можете отвечать в темах
    • Вы не можете прикреплять вложения
    • Вы не можете редактировать свои сообщения
    •  
    Яндекс.Метрика Rambler's Top100