Если мы хотим измерять интервалы при помощи центов, то нужно добавить метрику к проективной шкале:
Сообщение от Математик
Если предположить, что отношение гармонической сопряженности имеет в качестве своего прародителя вечную и фундаментальную тетраду:
то можно утверждать, что монохорд состоялся и в геометрии в обличье фундаментальной для нее “проективной шкалы”: http://www.px-pict.com/9/6/4/6/2.html
Уважаемый Математик, то, что Вы пишете, связывая проективную геометрию, геометрию Лобачевского и музыку, в высшей степени интересно. Но боюсь, что с точки зрения объяснения звуковысотной шкалы геометрические построения избыточны — достаточно лишь логарифмов : )
Но зато такие построения будят фантазию тех, кто хоть чего-нибудь в них понял. На мой взгляд, для музыкантов они могут сыграть скорее художественную роль, чем научную : )
Но боюсь, что с точки зрения объяснения звуковысотной шкалы геометрические построения избыточны — достаточно лишь логарифмов : )
Во всяком случае, когда-то (когда вся эта звуковысотность только начиналась) они не были избыточны. Достаточно посмотреть на Figure 10.11 и 10.12 у Форстера, где описываются построения в "Sectio Canonis" (“Division of the Canon” по английски), приписываемого Евклиду: http://www.chrysalis-foundation.org/Philolaus_and_Euclid.htm
В принципе, мы могли бы и популярную книжку Н. М. Бескина “Деление отрезка в данном отношении” рассматривать как некоторую версию древнего "Sectio Canonis": http://www.px-pict.com/10/3/3/7/0.html
Нашим школьникам, обладающим хорошим математическим аппетитом, возможно, было бы интересно узнать о связях этой задачи с теорией музыки, из которой эта задача (опять-таки, возможно) и выросла.
----------------------------------------------------------------
В книжке Бескина мы находим популярное описание так называемого “сложного отношения”, фигурирующего в определении “гиперболической геометрии Лобачевского” (под названием “двойного отношения”):
Сообщение от Математик
Если мы хотим измерять интервалы при помощи центов, то нужно добавить метрику к проективной шкале:
Наиболее подходящей будет та, которая приводит к “гиперболической геометрии Лобачевского” в классификации, приводимой И. М. Ягломом:
У Бескина мы находим также популярно изложенную информацию о том, каким образом это самое “сложное отношение” связано с гармонической четверкой точек: http://www.px-pict.com/10/3/3/7/3/16.html
существование которой мы без труда диагностируем в тетраде: http://www.px-pict.com/preprints/harmonia/3.html
------------------------------------------------------------------------------------------------
Н. М. Бескин: “Ни о каком разделе математики ни один человек не имеет сказать "я это полностью знаю". В самом элементарном вопросе скрываются неожиданные связи с другими вопросами, и этот процесс углубления не имеет конца. Можно снова и снова возвращаться к знакомому разделу и каждый раз (если хорошо подумать) узнавать что-нибудь новое”.
Что касается конкретно задачи о делении отрезка в данном отношении (которую можно интерпретировать и как деление струны в данном отношении), то можно без преувеличения сказать, что на ней основан большой кусок математики: Математика уже давно “теория струн”. С 19 века. Во всяком случае та ее часть, которая именуется “наукой о числах и фигурах”. Для (элементарной) геометрии, например, фундаментальной конструкцией является конструкция “деление отрезка в данном отношении” (можно посмотреть в классическом учебнике Александрова: Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968, cc. 23 — 25. Но ведь это конструкция есть то же самое, что и монохорд древний. Описание монохорда у Римана: На резонансном ящике, снабженном точным обозначением частей его меры по длине, натягивают струну через две неподвижные подставки, а между ними помещают третью подставку, подвижную, на которой струна также лежит плотно; это будет монохорд. http://forum.exler.ru/arc/index.php?showtopic=162863 http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/1.html
Последний раз редактировалось Математик; 12.04.2012 в 01:35.
Следующая картинка из книги Клейна (черт. 113) поясняет общий ход мысли: “Гиперболическое мероопределение на прямой линии мы можем сделать наглядным, подобно тому как мы это сделали для эллиптического, следующим образом, пригодность которого легко установить аналитически. Мы проектируем точки гиперболы из центра М на прямую G и рассматриваем в качестве гиперболически измеренной длины отрезка PQ на прямой G евклидову площадь треугольника MP'Q'. При этом обе фундаментальные точки гиперболического мероопределения являются точками пересечения прямой G с асимптотами гиперболы.” http://www.px-pict.com/10/3/4/5/6/3.html
Впрочем, иное течение мыслей относительно куба может быть плодотворным в плане приближения к идее геометрического полюса (который мы хотим подружить с полюсом музыкальным).
Примерно так оно и было исторически: "Изучение конических сечений восходит к 430 г. до нашей эры, когда афиняне, страдая от чумы, обратились к делосскому оракулу, который потребовал, чтобы для избавления от постигшего их бедствия был увеличен вдвое объем кубического алтаря Аполлона (без изменения его формы)" http://www.px-pict.com/10/3/4/7/6.html
"Дальнейшее развитие теории конических сечений связано с именами швейцарца Штейнера и немца Штаудта... Намеки на полярное соответствие, порождаемое коническим сечением, встречались уже в некоторых работах Аполлония, но отчетливое представление о нем было дано Ла-Гиром (1640 -- 1718 ) "
Нам бы только не промахнуться с выбором нужного конического сечения, уважаемый vcirkov.
Хотелось бы соскочить уже с евклидовой плоскости и заняться рассмотрением более подходящей нам плоскости имени Минковского. На ней коническим сечением, относительно которого мы будем рассматривать полярные соответствия, будет равносторонняя гипербола, являющаяся, кстати говоря, графиком обратной пропорциональной зависимости: http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/4/1.html
Сообщение от Математик
Маленькое (и тривиальное) добавление. Оно, однако, будет важным для дальнейшего в “концептуальном” смысле.
Очевидно, что любая пара обратных отношений: http://www.px-pict.com/7/4/1/2/4/11.html
Да, мне кажется здесь Вы нащупали инструмент, который позволил бы рассматривать каждое соотношение звуков в аккорде отдельно. Может быть можно это уже приложить к конкретике? Например: построить математическую модель отношения звуков "до" и "ми" относительно полюса "соль".
Вопрос обратных отношений мне чрезвычайно интересен, но это касается не инт. баланса, а метро-ритма. Если хотите рассмотрим эту тему отдельно. Например, деление метра долей 3 на 2 и 2 на 3.
Сообщение от Математик
Если мы хотим измерять интервалы при помощи центов, то нужно добавить метрику к проективной шкале:
Нам бы только не промахнуться с выбором нужного конического сечения, уважаемый vcirkov.
Хотелось бы соскочить уже с евклидовой плоскости и заняться рассмотрением более подходящей нам плоскости имени Минковского. На ней коническим сечением, относительно которого мы будем рассматривать полярные соответствия, будет равносторонняя гипербола, являющаяся, кстати говоря, графиком обратной пропорциональной зависимости: http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/4/1.html
Мне с этим трудно разобраться. Пойду от своей логики. Допустим, мы построим треугольник в горизонтальной плоскости, где от одной вершины будет соответственно построена вниз вертикаль тоникальной составляющей трезвучия (октава), вторая вершина будет смотреть на нас (квинта трезвучия внизу), а третья в сторону (акустическая терция). Все вершины соединены с нижней точкой (удвоение тоники внизу). Если к этому приложить гиперболу, возникает вопрос: как показать величину отступа звука в центах. Я предполагал, что нужно двигать точки, показывая сдвиг от нулевого значения. Как будет работать здесь гипербола мне не понятно. Видимо, точки (вершины треугольников) будут оставаться на месте, а отклонения изображаться изгибами линий.
Что касается конкретно задачи о делении отрезка в данном отношении (которую можно интерпретировать и как деление струны в данном отношении), то можно без преувеличения сказать, что на ней основан большой кусок математики: Математика уже давно “теория струн”. С 19 века. Во всяком случае та ее часть, которая именуется “наукой о числах и фигурах”. Для (элементарной) геометрии, например, фундаментальной конструкцией является конструкция “деление отрезка в данном отношении” (можно посмотреть в классическом учебнике Александрова: Александров П. С. Лекции по аналитической геометрии. М.: Наука, 1968, cc. 23 — 25. Но ведь это конструкция есть то же самое, что и монохорд древний. Описание монохорда у Римана: На резонансном ящике, снабженном точным обозначением частей его меры по длине, натягивают струну через две неподвижные подставки, а между ними помещают третью подставку, подвижную, на которой струна также лежит плотно; это будет монохорд. http://forum.exler.ru/arc/index.php?showtopic=162863 http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/1.html
И ведь делают такие сравнения физики: “Вы должны уже знать, что такое прямая линия, если хотите приступить к изучению геометрии. Представьте себе угол дома или натянутую струну, отвлекитесь от вопроса, из чего это сделано, и вы получите прямую линию” Борн М. Эйнштейновская теория относительности.
2-е издание, исправленное. Пер. с англ., М.: Мир, 1972, с. 18. http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/10/1/1/4.html
На самом деле разобраться легко. Ведь Вы уже сделали первый шаг, признали важность обратной пропорциональности:
Сообщение от Математик
Маленькое (и тривиальное) добавление. Оно, однако, будет важным для дальнейшего в “концептуальном” смысле.
Очевидно, что любая пара обратных отношений: http://www.px-pict.com/7/4/1/2/4/11.html
Да, мне кажется здесь Вы нащупали инструмент, который позволил бы рассматривать каждое соотношение звуков в аккорде отдельно. Может быть можно это уже приложить к конкретике? Например: построить математическую модель отношения звуков "до" и "ми" относительно полюса "соль".
Вопрос обратных отношений мне чрезвычайно интересен, но это касается не инт. баланса, а метро-ритма. Если хотите рассмотрим эту тему отдельно. Например, деление метра долей 3 на 2 и 2 на 3.
Сообщение от Математик
Нам бы только не промахнуться с выбором нужного конического сечения, уважаемый vcirkov.
Хотелось бы соскочить уже с евклидовой плоскости и заняться рассмотрением более подходящей нам плоскости имени Минковского. На ней коническим сечением, относительно которого мы будем рассматривать полярные соответствия, будет равносторонняя гипербола, являющаяся, кстати говоря, графиком обратной пропорциональной зависимости: http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/4/1.html
Его проще понять, если знать об упомянутом дуализме:
Сообщение от Математик
А ведь гиперболическое в определенном смысле тоже дуально эллиптическому. Характерный признак, указываемый Бурбаки: “… самым ярким примером этого является, вероятно, двойственность в проективной геометрии, где частая в то время практика печатания теорем, "двойственных" одна другой, друг против друга в две колонки сыграла, безусловно, большую роль в осознании понятия изоморфии.” http://www.px-pict.com/9/6/6/1/1.html
На самом деле разобраться легко. Ведь Вы уже сделали первый шаг, признали важность обратной пропорциональности:
Делаю второй шаг. Обратные отношения для высоты - это обратная перспектива строя. Если подробнее, -диатоническая цепь звукоряда сжимается на больших интервалах и расширяется на малых. Это грубо, на самом деле здесь задействованы и все прочие (чистые) интервалы. Например, если построить от соль малой октавы б. сексту и квинту, получится тон. Его можно сжать относительно полюса "соль" с обеих сторон почти до полутона, при этом интервал останется в своем исходном функц. значении. В этом суть моего открытия, если коротко. Здесь встречаются, видимо, налагаясь друг на друга, субъективное ощущение и формальная объективная данность. Уравнение получается странным: большой интервал при определенных условиях - равен малому. Думаю, Вам удастся это правильно интерпретировать математически.
Новый музыкальный трек Рустэма Султанова "Журавлиный клин", который он выпустил в соавторстве с Борисом Орловым - это не просто песня, это возвращение к отечественным традициям популярной музыки. С...
Музыка на фортепиано является одним из самых вдохновляющих и универсальных форм музыкального искусства. Создание композиций на фортепиано — это процесс, требующий вдохновения, творчества и...
Автор elenazharkova (Комментариев: 0)
Сегодня, 12:19
25 апреля 2024 года состоится Концерт «Вселенная NEOклассики»
6 июня, тёплым летним вечером, под самым большим звёздным куполом в Московском планетарии зазвучат произведения культовых современных...
Автор elenazharkova (Комментариев: 0)
Сегодня, 11:05
25 апреля 2024 года состоится Концерт Жанны Бичевской «Песни иеромонаха Романа»
Жанна бичевская «Песни иеромонаха романа»
Жанна Бичевская – уникальное явление в искусстве. За 50 лет творческой...
Автор elenazharkova (Комментариев: 0)
Сегодня, 11:04
Социальные закладки