Непрерывная пропорция Архита

[Математик]

Под непрерывной пропорцией понимается последовательность натуральных чисел

M, N, R, S, …., такая, что M/N = N/R = R/S = и т. д.

Т. е. соседние члены этой последовательности натуральных чисел находятся между собой в одном и том же отношении.

Архит изучал алгоритм построения n-членных непрерывных пропорций, изложенный на рис. ниже. Считается, что эти теоретико-числовые построения и доказательства использовались пифагорейцами при построении теории музыки.
Кто-нибудь может прояснить детали (применения этого для построения теории музыки)?

P. S. Рисунок заимствован из книги:
Б. Л. ван дер Варден.
Пробуждающаяся наука.
Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.
Гос. издательство физико-математической литературы,
М.:, 1959, с.

Кстати, книгу можно взять здесь:
http://webfile.ru/2000201

В ней, помимо всего прочего, имеется также и знаменитая статья
Б. Л. ван дер Варден. "Пифагорейское учение о гармонии."

[Sneak-Snake]

Дело в том, что у пифагорейцев соотношения между нотами определялись именно как отношения натуральных чисел. Имелось в виду соотношение между длинами колеблющихся струн. Струну можно прижать в определенной точке, дернуть, и будет колебаться какая-то ее часть, скажем, 1/3 или 2/3. Длина струны обратно пропорциональна частоте колебаний. Ухо примерно одинаково воспринимает именно отношение частот (а не разность). Способность различать отношения частот как раз и называется музыкальным слухом.

Непрерывная пропорция соответствует последовательной смене нот, причем, так, чтобы отношение частот сохранялось. Это значит, что ноты последовательно сменяются, причем соотношение между ними на слух остается примерно одним и тем же. Получается равномерный и последовательный переход от низких (басовых) звуков к высоким. Для тогдашней (да и нынешней) теории музыки особое значение имеют отношения M/N= 1/2, 2/3, 3/4, на них строятся понятия тональности, лада и многое другое.

[Zub01]

Кто-нибудь может прояснить детали (применения этого для построения теории музыки)?

Ну, по контексту к ничему более умному, чем к сложению одинаковых интервалов, как отметил Сник-Снэйк, это не применить. Например, если применить только один шаг алгоритма, то из целого тона (интервала эпогдоос, т.е. сверхосмины 9/8 = 1 + 1/8 ) можно получить интервал дитона (того, что потом было названо "пифагоровой большой терцией"):

9 : 8
81 : 72 : 64

Соответственно, по краям 81 : 64 - дитон. ("По-современному", мы бы скорее "перемножили бы дроби" по правилу "умножь все числители и все знаменатели", типа (9/8 )*(9/8 ) = (9*9)/(8*8 ) = 81/64.

Более в духе античности следовало бы сказать так - надо "сложить" (т.е. "соединить") два отношения 9:8 и 9:8. Для этого надо их нужно представить так, чтобы второй член первого отношения был равен первому члену второго, т.е. домножить первое на 9 и второе на 8, т.е.:

81: 72 соединить с 72: 64 через "общий член" 72:
81:72:64
Результатом будет 81:64.
В случае сложения нескольких одинаковых отношений удобно воспользоваться алгоритмом из "Начал", который Вы процитировали.

Более интересно следующее - возможно, именно таким алгоритмом могло быть получено отношение для ШЕСТИ тонов (9/8 ) -

531441 : 262144


т.е. последовательно:
9 : 8
81 : 72 : 64
......
531441 : 472392 : ..... : 294912 : 262144 - семичленная непрерывная пропорция, с отношением соседних чисел 9:8, представленная в наименьших целых числах.

Эти числа имеются в Sectio Canonis и у Боэция. Этим показывается (Sect. Can. 9 и Inst. Mus. II,31 и др.), что шесть тонов превосходят октаву, поскольку
262144 * 2 = 524288 < 531441
Соотв. превышение - комма (пифагорова).

Вот

[Математик]

Нам понадобятся некоторые факты из теории музыки Архита.
Более полный относящийся к делу текст, чем приведенный выше:

P. S. Рисунок заимствован из книги:
Б. Л. ван дер Варден.
Пробуждающаяся наука.
Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.
Гос. издательство физико-математической литературы,
М.:, 1959, с. 155.

cодержится здесь:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0.html

[Математик]

Ну, по контексту к ничему более умному, чем к сложению одинаковых интервалов, как отметил Сник-Снэйк, это не применить.

Это можно применить к постижению “древесности”, которая оказалась для нас такой важной.
Я имею в виду обоснование “правила Никомаха и Теона” при помощи 2-го предложения 8-ой книги "Начал" Евклида, как это приведено у Щетникова:
http://www.px-pict.com/10/4/4/16/5.html

Первые десять предложений восьмой книги "Начал" Евклида обычно рассматривают как посвященные “общей теории непрерывной пропорции”:
http://www.px-pict.com/7/3/1/9/2/1/1.html

[Математик]

Рассказывают, как однажды на лекцию известного математика П.Л.Чебышева, посвященную математическим аспектам раскройки платья, помимо коллег пришли портные, модницы и т.д. Лекция началась словами: "Предположим для простоты, что человеческое тело имеет форму шара." И непредусмотренную публику как ветром сдуло, в зале остались только математики, которые не увидели в таком начале ничего противоестественного.

На Ваш пример у меня есть контрпример:

Любопытно отметить, что арифметическое, геометрическое и гармоническое средние из теории музыкальной гармонии интенсивно мигрировали в смежные области, например, в теорию гармонии архитектурных форм.
Это проявилось, например, в творчестве выдающегося итальянского архитектора Палладио (который, кстати говоря, был ровесником Царлино и даже родились оба в Венеции):

"When Andrea Palladio, (1508-1580), in The Four Books of Architecture, published in 1570, suggested seven sets of the most beautiful and harmonious proportions to be used in the construction of rooms he chose measurements which reflect musical consonances.

When Palladio goes on to talk about the generation of the height of rooms, he elucidates three types of proportion which are traditionally thought to have been discovered by Pythagoras:
The Arithmetic Mean,
The Geometric Mean,
The Harmonic Mean."
http://www.aboutscotland.co.uk/harmony/prop3.html

http://www.aboutscotland.co.uk/harmony/prop6.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Palladio

http://en.wikipedia.org/wiki/Gioseffo_Zarlino

Так что упомянутые три средние сильно наследили в Истории (особенно в истории Гармонии).

А следить в Истории эти три средние начали по крайней мере с трудов Архита:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6.html

[Математик]

Теперь бы это связать с идеей баланса и певческих позиций.

Хотелось бы, чтобы и Вы мне немного помогли. Книга:
Розенфельд Б. А.
Аполлоний Пергский.
М.: МЦНМО, 2004.
есть где-то в сети. Она богато иллюстрирована. Хотя бы просто пролистайте ее. Возможно, что-нибудь в ней окажется Вам близким. Ее оглавление можно посмотреть здесь:
http://www.px-pict.com/7/3/1/12/4.html

Вот одна наводка. О связи конструкций, использовавшихся при решении проблемы удвоения куба, с теорией музыки:
http://www.px-pict.com/7/3/1/9/2/1/1/5.html

О решении Архитом проблемы удвоения куба:
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/6/1/1.html