Математическое описание модели внутреннего объема корпуса смычкового инструмента скрипичного семейства

[Искатель]

День добрый!

Известно, что внутренний объем корпуса смычкового инструмента скрипичного семейства имеет довольно сложную конфигурацию. Горизонтальное сечение этой фигуры напоминает восьмерку (при этом в классических инструментах этот контур асимметричен: правая половина поднята вверх по отношению к левой - при взгляде со стороны деки).
Вертикальные сечения фигуры (как по линии фуги, так и в поперечном отношении) имеют контур прямоугольника с выпуклыми длинными сторонами (он также может быть немного асимметричен в связи с нахождением самой высокой точки свода под подставкой и некоторым смещением в классических инструментах этой точки в сопрановую сторону корпуса).
С математической точки зрения такая фигура представляет собой гладкое слитное замкнутое трёхмерное многообразие, топологически гомеоморфное сфере. Рабочим названием этой фигуры может быть: оконтуренный плоскостью катеноидированный эллипсоид. Таковы возможные математические преобразования сферы в названное многообразие: сфера сжимается по одной из осей в эллипсоид, асимметричный по всем плоскостям симметрии. Этот эллипсоид приближенно моделирует контур верхнего и нижнего овалов, задает длину фигуры, общий характер внутренней поверхности сводов дек и примерную высоту боков.
Затем этот эллипсоид «обтягивается» поверхностью, близкой к гиперболоиду или катеноиду. Однако если сечениями гиперболоида и катеноида являются соответственно гипербола или цепная линия, а также окружность, то в данном случае эллипсоид сохраняет в вертикальных сечениях асимметричные эллипсы. Таким образом появляется район талии, обозначаются контуры овалов.
После этого получившаяся поверхность второго порядка (условно назовем ее катеноидированный (или гиперболоидированный) эллипсоид) деформируется по экватору (периметру восьмёрко-образной формы) с образованием вертикальной плоской области, подобной цилиндрической поверхности – боковой полосы неодинаковой высоты. Так моделируется полоса обечаек, отражающая внутренний контур корпуса смычкового инструмента. В целом моделирование фигуры завершено.
Реальный объем корпуса смычкового инструмента будет отличаться от этой модели в связи с наличием внутреннего убранства корпуса – клёцев, уголков, обручков, пружины и душки. Однако в целом полученная таким образом модель наиболее точно определяет фигуру внутреннего объема корпуса смычкового инструмента.
Установление правильного (математически точного) наименования этой фигуры, того, какими уравнениями описывается поверхность этого многообразия, решение вопросов о том, является ли эта поверхность минимальной (иными словами, является ли полученная поверхность наименьшей площадью, натянутой на данный контур), и каковы формулы расчета объема этого многообразия, площади его горизонтального и вертикального сечения, а также площади поверхности является одной из задач высшей математики, точнее, дифференциальной геометрии и топологии.

В связи с этим моя просьба к участникам форума помочь в решении вышеозначенной задачи. Условия задачи с необходимыми иллюстрациями приведены здесь: http://violin-viola-cello.com.ru/

Огромная благодарность тому, кто сумеет разгадать эту непростую математическую задачу!

Отмечу, что создание математической модели внутреннего объема корпуса открывает широкие возможности как в плане аналитики построения классических эталонных инструментов, так и в части моделирования в практической лютерии

[murom]

В связи с этим моя просьба к участникам форума помочь в решении вышеозначенной задачи. Условия задачи с необходимыми иллюстрациями приведены здесь: http://violin-viola-cello.com.ru/

Огромная благодарность тому, кто сумеет разгадать эту непростую математическую задачу!

Отмечу, что создание математической модели внутреннего объема корпуса открывает широкие возможности как в плане аналитики построения классических эталонных инструментов, так и в части моделирования в практической лютерии

Чтобы создавать математическую модель скрипки, нужно придерживаться следующих правил:
1 - все делать симметрично, т.к. отклонения от симметрии - это "ошибки" в процессе конструирования, а не задумка автора, и , поэтому, у каждого автора своя асимметрия. Математические модели не должны учитывать такие ошибки и строиться должны по симметрии.
2 - Внешняя поверхность инструмента, т.е. объем корпуса по внешней поверхности важнее нам, чем внутренний. И все здесь упирается не в воздушный объем , а в конфигурацию поверхности деки, которая влияет на механику колебания деки. На механику колебания деки в основном влияет внешняя поверхность деки, а не внутренняя. Мастер старается копировать самого себя именно по внешней поверхности, тогда как внутренняя при этом всегда разная. И по другому просто не получается. Есть мастера, которые считают, что нужно строгать по правилам внутреннего объема, а толщины наводить по внешней поверхности. Но это не соответствует практике староитальянцев. не стоит тратить время на это. Если при изготовлении дек внутренний объем стремится быть не таким, как хотелось бы по расчетам, то элементарно изменяют высоту обечаек.
Вы хотите рекомендаций, советов или просто поделиться опытом. Я со своей стороны могу предложить только вот это:
http://samlib.ru/m/muratow_s_w/violinsgeometry.shtml

На большее меня не хватило.

[hobby]

Искатель, мне кажется, вы не с того конца взялись. по кр. мере "в плане аналитики", и особенно "в практической лютерии" определение внутреннего объема, особенно с высокой точностью, принесет практически НОЛЬ. как если бы для исследования динамики гоночного автомобиля вы углубились бы в точное калькулирование внутреннего объема и формы колес. это, конечно, тоже может быть важно, но на n-ном месте после многого другого.
гоночный автомобиль немыслим (сегодня пока, классический) без колеса, но он не есть это колесо, у него еще много других очень важных штучек.

[Искатель]

математическую модель скрипки

Не думаю, что даже потенциально возможно построение полной модели. Конечно, дно смычкового инструмента топологически гомеоморфно сфере (по гипотезе Пуанкаре, доказанной Перельманом), но форма деки неизмеримо сложнее ввиду того, что с точки зрения топологии это несвязное многообразие с двумя краями (эфы). Если моделировать всю деку в целом, необходимо рассчитать не только ту фигуру, о которой я выше рассказал, но смоделировать также внешнюю поверхность свода (гиперболического параболоида, оконтуренного эллипсоидом – пусть математики поправят, если такая фигура имеет более точное название). Добавится моделирование краевого оформления, углов деки – это непросто ввиду усложненного профиля галтели и края. Короче говоря, если и возможно, то невероятно сложно

все делать симметрично, т.к. отклонения от симметрии - это "ошибки" в процессе.
Математические модели не должны учитывать такие ошибки и строиться должны по симметрии.

Это может быть задано равными полуосями опорных эллипсов, лежащих в основе базового эллипсоида, то есть упрощением математической модели. Легче от сложного к простому идти. Никто ведь не запрещает делать симметричные корпуса

у каждого автора своя асимметрия

Точнее, у каждого инструмента, это задавалось технологией, сопряженной с барочным способом крепления шейки

Внешняя поверхность инструмента, т.е. объем корпуса по внешней поверхности важнее
нам, чем внутренний.

Почему?

На механику колебания деки в основном влияет внешняя поверхность деки,
а не внутренняя.

Моделирование внутренней поверхности корпуса в силу оптических законов отражения звуковой энергии позволит понять исходные процессы звукообразования в корпусе. Внутренние поверхности сводов дек ведут себя как вогнутые зеркала. Обечайки в овалах сочетают свойства плоских и вогнутых зеркальных поверхностей, обечайки в талии, а также верхний и нижний клёцы – свойства плоских и выпуклых зеркал. Комбинированное действие этих отражающих поверхностей приводит к расширению пучков звуковых волн, отраженных от выпуклых поверхностей (клёцев и талии) и к их фокусированию в районах центров верхнего и нижнего овалов. По такой схеме и формируется модель, которую Вы в своей замечательной книге (http://samlib.ru/m/muratow_s_w/violinsgeometry.shtml) обозначили как «сочетание двух резонаторов».
Но эта схема актуальна на стадии до выхода звуковых волн через эфы. Далее задействуется принцип резонатора Гельмгольца, как прекрасно и аргументировано показано в Вашей книге.

И все здесь упирается не в воздушный объем , а в конфигурацию поверхности деки,
которая влияет на механику колебания деки.

Хотелось бы всё же понять физическое обоснование этого утверждения

Мастер старается копировать самого себя именно по внешней поверхности, тогда как
внутренняя при этом всегда разная

Классические инструменты имеют различные параметры сводов, но единый принцип их построения (единый модус, который в двухмерном приближении действительно схож с клотоидой). Однако линии сводов строятся ведь не по клотоиде, а по гравитационной кривой ряда: парабола – гипербола – катена. Которая каждый раз разная

И по другому просто не получается

Есть метод «inside first», использующий при моделировании дек как раз катены

Если при изготовлении дек внутренний объем стремится быть не таким, как хотелось бы
по расчетам, то элементарно изменяют высоту обечаек

А по каким расчетам? Чтобы рассчитать внутренний объем корпуса в классических инструментах (в скрипке получилось около двух литров) проводили их компьютерную томографию. Для современных инструментов есть эмпирический прием взвешивания инструмента с заполненным песком корпусом

Вы хотите рекомендаций, советов

И обсуждения, если можно, буду очень благодарен

Искатель, мне кажется, вы не с того конца взялись. по кр. мере "в плане аналитики"

«Никогда не решишь проблему, если будешь думать так, как те, кто ее создали» (А. Эйнштейн). Не воспримите как обвинение, это только в плане парадигмы современной теоретической лютерии. Любое мнение ценно

и особенно "в практической лютерии" определение внутреннего объема, особенно с
высокой точностью, принесет практически НОЛЬ.

См. выше. Главное понимать, зачем это делается. Не исключительно для математической модели, хотя для математики такое моделирование само по себе значимо

как если бы для исследования динамики гоночного автомобиля вы углубились бы в точное
калькулирование внутреннего объема и формы колес

Аналогия не вполне корректна. Внутренний объем колёс довольно просто – это тор. А вот форма головного обтекателя заслуживает рассмотрения, ведь для их моделирования также используются кривые поверхности. К слову, коль скоро уж автомобильные метафоры, на дорожных развязках применяют клотоиды – они позволяют осуществлять движение без рулевых поворотов и снижения скорости ввиду постоянной кривизны клотоидной линии

Спасибо, что подключились к дискуссии

[hobby]

Искатель, я вам предлагаю "мысленный (а можно и практический) эксперимент".
исхожу из того, что вы считаете внутренний объем и форму скрипки - значительным фактором "в деле звукообразования". влияние бесспорно. но я не согласен с тем, что влияние значительно и, сосредоточившись и досконально изучив этот аспект, можно что-то существенно улучшить. если труба забилась, бесполезно расширять ее и без того широкую часть, нужно узкие места расширять.

берем скрипку. лучше - несколько. слушаем их голоса. даем им имена. учимся их по голосу узнавать. научились. теперь "подвешиваем" во внутренний объем (как-то ухитряемся, чтобы оно ничего не касалось, мы ведь мысленно все это проделываем пока) тело, которое уменьшает объем на величину, превосходящую в несколько раз погрешность, которую мы хотим превзойти в наших (ваших) рассчетах. голосуем: кто за то, что мы будем без напряжения узнавать голоса скрипок?
я - за. причем не у всех даже услышим разницу "с телом" и без.

теперь берем значительно меньшее тело, и прикрепляем его в определенном месте верхней деки (внутри или снаружи, не важно). снова голосуем по тому же вопросу.
я - против. думаю, не все скрипки будут узнаны, а уж голоса изменятся у всех.

повторяем то же самое, даже без тела, просто душку переставим (экстрим - уберем! или поставим несколько), пружину уберем или в другое место переклеим, или несколько наклеим, или... не меняя формы и объема все это.

объем и форма остались без изменений, но голос исчез. эйнштейн плачет.

[murom]

теперь "подвешиваем" во внутренний объем (как-то ухитряемся, чтобы оно ничего не касалось, мы ведь мысленно все это проделываем пока) тело, которое уменьшает объем на величину, превосходящую в несколько раз погрешность, которую мы хотим превзойти в наших (ваших) рассчетах. голосуем: кто за то, что мы будем без напряжения узнавать голоса скрипок?
я - за. причем не у всех даже услышим разницу "с телом" и без.

Если захотеть провести такой эксперимент, то можно подвесить что-то на нитке, которая крепится снаружи на каком-нибудь штативе. Да, количество воздуха уменьшится, но качество звука практически не изменится.
А вот если уменьшить высоту обечаек, то звук поменяется значительно. И дело тут не столько в потере количества воздуха, сколько в изменении геометрии внутренней "комнаты" скрипки. Это как изменить положение стен в концертном зале, что значительно повлияет на акустику зала. Гораздо больше, чем заполнение зала слушателями.
И все равно, геометрия поверхности дек нам важнее внутренней комнаты скрипки.

[Искатель]

Искатель, я вам предлагаю "мысленный (а можно и практический) эксперимент"

Мне кажется, это отклонение от заявленной темы. Создайте отдельную ветку, чтобы не смешивать разную тематику

если труба забилась, бесполезно расширять ее и без того широкую часть, нужно узкие
места расширять.

Почему предлагаете для эксперимента брать топологию трубы? Разве она гомеоморфна внутреннему объему корпуса смычкового инструмента? Сформулируйте точнее условия эксперимента, чтобы понятнее было, о чем Вы хотите сказать

теперь "подвешиваем" во внутренний объем

Иными словами, меняем топологию. Прежде чем рассматривать дальше эту модель вопрос: зачем меняем? Это за рамками темы

в наших (ваших) расчетах

У Вас есть расчеты по той фигуре, которую представляет собой внутренний объем корпуса смычкового инструмента скрипичного семейства?

голосуем: кто за то, что мы будем без напряжения узнавать голоса скрипок?

Эта тема не касается вопросов голосов, есть ведь такие темы уже на форуме. И мне кажется не корректным связывать объективные параметры с особенностями субъективного восприятия звука, которые носят сугубо личностный, личный характер

cнова голосуем по тому же вопросу

Разве мы на выборах или референдуме? Или в законодательном (представительном) органе?

эйнштейн плачет.

Имейте уважение к великому физику

Если захотеть провести такой эксперимент

Сергей Витальевич, можно Вас тоже попросить не уходить от лейтмотива? Вы выдающийся эксперт в объяснении физических параметров, и я знаю, что у Вас есть что сообщить по заявленной теме, ведь в книге Вы указали почти все ключевые моменты звукообразования, вывели на математический аппарат моделирование всех элементов, кроме поверхностей сводов и внутреннего объема корпуса. Не могу понять, почему так вышло, хотелось бы, конечно, видеть главы и об этих вопросах – но увы. Не хочу верить в то, что Вы считаете это неважным.

А вот если уменьшить высоту обечаек, то звук поменяется значительно

Ввиду изменения траекторий звуковых волн вследствие сближения зеркал внутренних поверхностей сводов. Сближение и отдаление эфов подчеркивает высокие и низкие гармоники. Почему же сближение сводов не будет оказывать влияния на тембр? Естественно, поменяется, согласен

сколько в изменении геометрии внутренней "комнаты" скрипки.
геометрия поверхности дек нам важнее внутренней комнаты скрипки

Спасибо Вам за эти слова. Вот мы и вышли на пропавший мотив. Правильно. Но только почему Вы сделали упор именно на внешнюю геометрию дек, а не внутреннюю? Мне не понятен этот парадокс

[hobby]

Искатель, я здесь голос подал только потому, что вы написали вот это:

Отмечу, что создание математической модели внутреннего объема корпуса открывает широкие возможности как в плане аналитики построения классических эталонных инструментов, так и в части моделирования в практической лютерии

а вом, наверное, просто так или покрасоваться. тогда, наверное, не на форуме скрипичных мастеров тему открывать следовало бы. математики вас скорее поймут.

Огромная благодарность тому, кто сумеет разгадать эту непростую математическую задачу!

да! именно этим скрипичные мастера здесь и занимаются! вы попали точно по адресу! и чем сложнее задача в математическом плане - тем она нам ближе!

[rissem]

Я прилично знаком с математикой и физикой. Модели это тупик. Тогда такой математики не было и физики тоже. Были другие методы и их надо искать. А не искать код Да Винчи.

[Искатель]

а вом, наверное, просто так или покрасоваться

Голословное обвинение. Практическое применение математической модели – это совершенно иная тема. Разумеется, заслуживающая обсуждения, но, повторюсь, отдельного. Это уже второй шаг. А мы пока остановились на исследовательской стадии. Вы предложили методологию моделирования, но, к сожалению, не способ расчета параметров искомой фигуры. Даже по существу этой фигуры пока ни слова не сказали

тогда, наверное, не на форуме скрипичных мастеров тему открывать следовало бы

Описание внутреннего объема корпуса смычкового инструмента – вопрос лютерии

математики вас скорее поймут

Надеюсь и от них дождаться ответа

да! именно этим скрипичные мастера здесь и занимаются! вы попали точно по
адресу! и чем сложнее задача в математическом плане - тем она нам ближе!

Очень рад