Ладовый круг и Виртувианский человек

[Математик]

Интересное наблюдение: если 12-звучный ряд свернуть в кольцо, то диатоника образует на нем симметричную фигуру (совпадение?), похожую на виртувианского человека да Винчи.
http://s019.radikal.ru/i629/1305/7e/117964a48ec0.png
Шесть основных ладов тональной системы (по А. С. Оголевцу) я подсмотрел здесь:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/10.html
и Таблицу ладов (тоже по А. С. Оголевцу) здесь:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/45/29.html

Шести основным ладам тональной системы (по Оголевцу) предшествует понятие собственно тональной системы:

Тональная система Оголевца – это не “лад”. Это есть просто нечто объективно существующее в квинтовой спирали:
Лад возникает, когда в данной 12-звучной тональной системе мы определенным образом выделяем “супердиатоническое” подмножество из семи звуков.
Например, по Оголевцу, в тональной системе с данной тоникой существует ровно шесть натуральных ладов (с той же самой тоникой).
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/10.html

Я пытался графически проиллюстрировать тональную систему при помощи средств теории “направленных графов”:

“Старое правило Римана”, которое по мнению самого Римана следует из строго тональной логики, следующим образом согласовано со структурой “тональной системы Оголевца”:
Если из некоторого звука “тональной системы Оголевца” существует ход на пифагорейский хроматический полутон, то следующим ходом в том же направлении может быть (и всегда будет!) только ход на пифагорейский диатонический полутон.
Это есть просто формальное свойство “тональной системы”, рассматриваемой как “граф” указанного вида; оно может быть оформлено в виде математической теоремы.

В квинтовой спирали что-то изменяется, а что-то остается постоянным.
В частности, всякий ряд из одиннадцати квинт (если звуки этого ряда упорядочить по высоте) обладает одним и тем же “рисунком” распределения (пифагорейских) диатонических и хроматических полутонов. Я изобразил это графически для одного из возможных рядов из 11 последовательных квинт в квинтовой спирали.
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/2/2/1/1.html

Т. е. порядок чередования красных и синих дуг “графа” будет всегда одним и тем же, вне зависимости от того, какой ряд из 11 последовательных квинт квинтовой спирали я положу в основу построения такого графа.

Красная дуга соответствует ходу на пифагорейский диатонический полутон (леймму, примерно 90 центов); синяя дуга соответствует ходу на пифагорейский хроматический полутон (апотому, примерно 114 центов).

Если присмотреться к этому “рисунку”, то можно заметить, что во множестве из 12-звуков (они помещены в прямоугольную рамочку):
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/2/2/1/1.html

существует только два звука, в которые не входят и из которых не выходят синие стрелки. Низший по высоте из этих звуков Оголевец называет “тоникой”, а саму систему из указанных 12-звуков – “тональной системой с данной тоникой”.

Таким образом, понятие “тоники” может быть формально определено (равно как и понятие “тональной системы”).

[city]

Конечно. Великий математик Гильберт с соавтором даже книгу по этому поводу написали. “Наглядная геометрия” называется. Вдохновляющее введение к ней можно прочитать здесь:
http://www.px-pict.com/10/3/4/11/0.html

а "...сфера со сколь угодно малой дырой все еще разгибаема..." Шайтан!

[Математик]

И Витрувианский человек в этой статье Уибберли тоже “засветился”:
“Willaert has thereby achieved something comparable acoustically with what Leonardo da Vinci attempted graphically in his Vitruvian Man when he squared the circle. The circle that Willaert has squared is a "tuning circle", but as with Leonardo's essay what is unimportant is that the squaring is not absolutely accurate”.
http://www.mtosmt.org/issues/mto.04....ibberley1.html
(пункт [ 12 ] на указанной странице)

http://en.wikipedia.org/wiki/Vitruvian_Man
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%...B2%D0%B5%D0%BA

Поскольку у Ловинского произведение Вилларта квалифицировано как “ одно из наиболее загадочных работ музыкального Cinquecento”:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/2/2/0.html

то вполне логичным кажется использование Роджером Уибберли метафоры “квадратуры круга” при его анализе мотета Quid non ebrietas dissignat.

Таким образом, во времена Чинквеченто существовал мощный математический тренд, который накладывал свой отпечаток и на ведущиеся в то время дискуссии о природе (истоках) музыки:
http://www.px-pict.com/7/3/2/3/13/2/6.html