Методы искусственного интеллекта в теории музыки

[commator]

thesis_asmussen.pdf, сс. 119-20:

<<...
Глава 5

Автоматизированная настройка по соотношениям

“Если спрашивается, почему не больше простых, чем 1, 2, 3, 5 допущено к музыкальным соотношениям; одна причина есть, что консонансы, чьи колебания находятся в сотношениях, чьи выражения возводят в степень 7, 11, 13, …, при прочих равных условиях были бы менее обычны и гармоничны чем те, чьи отношения возводят в степень только меньшие простые.” ⁸³

5.1 Обзор

Расшифровка традиционно нотированной музыки, с её жёстко навязанным набором из двенадцати тонов, в точные соотношении чистой интонации, чьё количество возможных нот неограниченно, не выполняется посредством нехитрого взаимно-однозначного соответствия. Тщательное изучение каждой ноты требуется, чтобы определить ее расчетные частотные отношения не только в пределах одного аккорда, но и в большей иерархической структуре тональной прогрессии, раздела и части к которой она принадлежит.

Верности основному принципу, что частота каждой ноты должна быть связана с тоникой, как соотношение двух целых чисел, в общем, легко добиться при настройке одного аккорда или гаммы, и часто при настройке нескольких аккордов подряд; однако, некоторые прогрессии и модуляции встречаются, в которых нотам, что несут одинаковые буквы и знаки альтерации, должны быть назначены различные частотные значения. Такая нота с более чем одной настройкой известна как изменчивый тон,⁸⁴ частоты для которого могут быть получены через цепь эвристик.

Часто, когда расшифровываются музыкальные пьесы из традиционной нотации в чистую интонацию, бывают примеры, когда нет таких изменчивых тонов, желающих удовлетворять всем эвристикам. Такой пример будет представлять собой противоречие. Удивительно, но обычно используемые тональные техники и даже музыкальные идиомы часто приводит к противоречию в рамках чистой интонации. Два таких тональных противоречия, происходящих внутри чистой интонации предела 5 будут рассмотрены в деталях.

⁸³ Smith, op. cit., p. 44.
⁸⁴ Llewelyn Southworth Lloyd, Intervals, Scales and Temperaments (London: St. Martin's Press, 1978), pp. 224-25.

Начало стр. 120

Как только методология и эвристики для присвоения подробных частот наиболее часто встречающимся аккордам были созданы, тогда можно настроить полные короткие музыкальные произведения как наборы соотношений. В расположении демонстрировать, что настройка соотношения действительно практична в тональной музыке, пять хоралов Баха, отобранных по их краткости, настроены во всех деталях. (Пожалуйста смотрите. "Приложение V: эвристический анализ хоралов Баха" на стр. 265.)

Chapter 5

Automated Tuning by Ratios

“If it be asked why no more primes than 1, 2, 3, 5 are admitted to musical ratios; one reason is, that consonances whose vibrations are in ratios whose terms involve 7, 11, 13, &c, caeteris paribus would be less simple and harmonious than those whose ratios involve the lesser primes only.” ⁸³

5.1 Overview

Transcribing traditionally notated music, with its rigidly enforced set of twelve tones, into the precise ratios of just intonation, whose number of possible notes is open-ended, is not accomplished by means of a simple one-to-one correspondence. Careful examination of each note is required to determine its implied frequency relationships not only within a single chord, but also within the greater hierarchical tonal structure of the progression, section and movement to which it belongs.

Adherence to the basic principle that the frequency of each note must be related to tonic as the ratio of two integers is generally easy to achieve when tuning a single chord or scale, and often when tuning several chords in succession; however, certain progressions and modulations occur in which notes that bear the same letter and accidental designations must be assigned distinct frequency values. Such a note with more than one tuning is known as a mutable tone,⁸⁴ the frequencies for which can be obtained through a chain of heuristics.

Often when transcribing pieces of music from traditional notation into just intonation, there are instances when no such mutable tone will satisfy all of the heuristics. Such an instance will constitute a contradiction. Surprisingly, commonly employed tonal techniques and even musical idioms often result in contradiction within the framework of just intonation. Two such tonal contradictions occurring within 5-limit just intonation will be examined in detail.

⁸³ Smith, op. cit., p. 44.
⁸⁴ Llewelyn Southworth Lloyd, Intervals, Scales and Temperaments (London: St. Martin's Press, 1978), pp. 224-25.

120

Once the methodology and heuristics for assigning detailed frequencies to the most commonly occurring chords have been established, it is then possible to tune entire short pieces of music as collections of ratios. In order to demonstrate that tuning by ratios is actually practical in tonal music, five Bach chorales selected for their brevity are tuned in complete detail. (Please see “Appendix V: Heuristic Analysis of Bach Chorales” on p. 265.)

...>>

Портал искусственного интеллекта <...> Там ещё пишут:

<<...
Эвристика
правило, теоретически не обоснованное, но позволяющее сократить количество переборов в пространстве поиска.

Эвристическое программирование – разработка стратегии действий по аналогии или прецедентам ...>>

[commator]

thesis_asmussen.pdf, с. 120:

<<...
Насколько известно, никакие предыдущие исследования не взяли на себя задачу настройки полных пьес тональной музыки в чистой интонации. Вполне возможно, что Рамо был последним теоретиком, чтобы предоставить свежие и подробные правила для настройки аккордов в тональной музыке. Несколько недавних исследований, однако, приняли «снизу-вверх» подход, пытаясь пользоваться избеганием близко расположенных несовпадающих частичных тонов как основой для настройки аккордов и прогрессий.

As far as is known, no previous study has undertaken the task of tuning entire pieces of tonal music in just intonation. It is quite possible that Rameau was the last theorist to provide original and detailed rules for tuning chord progressions in tonal music. Several recent studies, however, have adopted a “bottom-up” approach, attempting to use avoidance of closely spaced non-coinciding partials as a basis for tuning chords and progressions.

...>>

[commator]

thesis_asmussen.pdf, сс. 120-3:

5.2.1 Automated Tuning and Critical Bandwidth Sethares’ method of adaptive tuning is based on the premise that a tuning system should be flexibly applied in response to timbres of individual notes; to the chords themselves; and to the sequential arrangement of chords in chord progressions.85 Founded upon the earlier work of Plomp and Levelt, adaptive tuning is built around the assumption that overall dissonance is merely the sum of the beating between all partials weighted individually within all critical bandwidths. Sethares’ program elects to change values for major and minor thirds according to how many partials are present. Using 4 partials, for instance, C major and C minor triads share the same tuning. However, for 5-16 partials, approximately correct values for major and minor triads are obtained. Adaptive tuning appears most efficient “when played with harmonic timbres of sufficient complexity.” 85 William A. Sethares, ‘Adaptive tunings for musical scales,’ Journal of the Acoustical Society of America, vol. 96 no. 1 (1994), pp. 10-18. 121 One immediately obvious shortcoming of Sethares’ study is that the tunings derived through automation are not compared with other tunings through listening experiments. Furthermore, the approach of merely summing the partials’ relative amplitudes is not consistent with a study by Vos and van Vianen (1985), who determined that changing the timbre from sawtooth to a series of partials having equal amplitude did not appreciably change the subjects’ ability to discriminate between pure and tempered intervals.86 The concept of the dominance region, in which the auditory system is predisposed to weight the first 5-6 partials, with emphasis on the partials 3-5, is similarly not taken into account. Most importantly, as will be shown, adaptive tuning ignores simple tonal hierarchies that constitute the backbone of tonality. In Figure 55 and Table 47, borrowed from Hall (1974), Sethares has found it necessary to end on a different tuning for tonic than the one from which he began. The main difference between Table 47 and the solution of the author (Figure 56 and Table 48) is that the D in Table 47 is treated as an unchanging note; therefore, the strict rule of maintaining frequencies of held notes (a rule exploited deliberately in this example) necessitates that chords 4 and 5 are tuned so that the dominant and tonic roots are now mutable tones.	5.2.1 Автоматизированная настройка и критическая полоса Sethares'ов метод адаптивной настройки основан на предпосылке, что настроечная система должна гибко прикладываться в ответ на тембры отдельных нот; на аккорды сами по себе; и на последовательное расположение аккордов в аккордовых прогрессиях.85 Основанная на более ранней работе Plomp and Levelt, адаптивная настройка построена на предположении, что общий диссонанс есть просто сумма биений между всеми частичными тонами взвешенными индивидуально во всех критических полосах. Sethares'ова программа избирает к изменению значения для больших и малых терций в зависимости от количества присутствующих частичных тонов. Используя 4 частичных тона, например, C мажор и C минор триады разделяют одну и ту же настройку. Однако, для 5-16 частичных тонов, получаются примерно правильные значения для больших и малых триад. Адаптивная настройка представляется наиболее эффективной "когда играется с гармоническими тембрами достаточной сложности." 85 William A. Sethares, ‘Adaptive tunings for musical scales,’ Journal of the Acoustical Society of America, vol. 96 no. 1 (1994), pp. 10-18. Начало стр. 121 Одним непосредственным недостатком Sethares'ова исследования является то, что полученные за счет автоматизации настройки не сравниваются с другими настройками через эксперименты слушания. Кроме того, подход простого суммирования относительных амплитуд частичных тонов не согласуется с исследованием Vos and van Vianen (1985), которое определило, что изменение тембра от пилообразного к ряду частичных тонов имеющих одинаковую амплитуду, существенно не изменит способность субъектов разбираться между безупречными и темперированными интервалами.86 Концепция области доминирования, в которой слуховая система предрасположена взвесить первые 5-6 частичных тонов, с акцентом на частичные тоны 3-5, аналогично не учитывается. Самое главное, как будет показано, адаптивная настройка игнорирует простые тональные иерархии, которые составляют костяк тональности. На Фигуре 55 и в Таблице 47, заимствованных из Hall (1974), Sethares нашёл необходимым закончить на другой настройке для тоники, чем та, с которой он начал. Основное различие между Таблицей 47 и решением автора (Фигура 56 и Таблица 48) является то, что D в Таблице 47 рассматривается как неизменная нота; поэтому строгое правило поддержания частоты нажатых нот (правило сознательно использовано в этом примере) вынуждает к настройке аккордов 4 и 5 так, что доминантовые и тонические основания теперь изменчивые тоны.
Figure 55. Common tone example (Sethares 1994, taken from Hall 1974) 86 Vos and van Vianen, op. cit., p. 181. 122	Фигура 55. Пример общего тона (Sethares 1994, взято из Hall 1974) 86 Vos and van Vianen, op. cit., p. 181. Начало стр. 122

Chord 1	Chord 2	Chord 3	Chord 4	Chord 5
G 392.5	A 436	A 436	G 387.5	G 387.5
E 327	E 327	D 290.5	D 290.5	E 323
C 261.5	C 261.5	D 290.5	B 290.5	C 258.5
C 131	A 109	F 87	G 96.5	C 129

Table 47. Sethares’ just intonation for common tone example	Таблица 47. Sethares'а пример чистой интонации для общего тона
With all due respect to the subtle technical and acoustical considerations of Sethares’ study, making tonic and dominant roots mutable in this very common and brief chord progression defies all musical logic. As structural pillars, tonic C and dominant G roots are decidedly more important than D as the root of supertonic or as the fifth of dominant G. Therefore, the held D should be retuned, not only preserving the most important tonal relationships of tonic and dominant, but at the same time necessitating only one instead of four mutable tones. The values in Figure 56 and Table 47, discovered independently by Blackwood and the present author, require only one mutable tone, D, to reflect the different roles it plays in two very different chords, namely, the ii6 and the V chords. All of the other notes in this tuning can be directly traced to the Helmholtz tuning for the major scale.	При всем уважении к тонким техническим и акустическим соображениям Sethares'ова исследования, делание оснований тоники и доминанты изменчивыми в этой очень общей и краткой аккордовой последовательности бросает вызов всей музыкальной логике. Как структурные столпы, основания тонической [вертикали] C и доминантной G несомненно являются более важными, чем D как основания супертоники или как квинты доминанты G. Таким образом, нажатая D должна быть перенастроена, не только сохраняя наиболее важные тональные связи тоники и доминанты, но в то же время необходимость только одного вместо четырех изменчивых тонов. Значения на Фигуре 56 и в Таблице 47, обнаруженные независимо Blackwood и автором, требуют только одного изменчивого тона, D, чтобы отразить различные роли, что он играет в двух очень разных аккордах, а именно, ii6 и V аккордах. Все остальные ноты в этой настройке могут быть прямо прочерчены к настройке Гельмгольца для мажорной гаммы.
Figure 56. Author’s just intonation for common tone example (All notes derived from C = 1/1). 123	Фигура 56. Автора пример чистой интонации для общего тона (Все ноты выведены из C = 1/1). Начало стр. 123

Chord 1	Chord 2	Chord 3	Chord 4	Chord 5
G 392.439	A 436.043	A 436.043	G 392.439	G 392.439
E 327.032	E 327.032	D 290.695	D 294.329	E 327.032
C 261.625	C 261.626	D 290.695	B 245.274	C 261.626
C 130.812	A 109.010	F 87.209	G 98.110	C 130.812

Table 48. Author’s just intonation for common tone example (C = 65.406)

Таблица 48. Автора пример чистой интонации для общего тона (C = 65.406)

[commator]

Портал искусственного интеллекта <...> Там ещё пишут:

<<...
Эвристика
правило, теоретически не обоснованное, но позволяющее сократить количество переборов в пространстве поиска.

Эвристическое программирование – разработка стратегии действий по аналогии или прецедентам ...>>

Музыкально-теоретические правила часто похожи на эвристики.

Само собой напрашивается:

поскреби интеллектуальное искусство – найдёшь искусственный интеллект.

[Математик]

На самом деле не я затронул: Своих мыслей не много пока, но почему бы не знакомиться с чужими в этой теме?

Есть отличная классика:
Нильсон Н. Искусственный интеллект. — М.: Мир, 1973
(она есть в сети)
Эта книга долгое время была у меня чуть ли не настольной.
Ну, и общий обзор небезынтересно посмотреть:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%...B5%D0%BA%D1%82

[Математик]

Дело не в увлечённости, а в непреодолимом стремлении научиться читать интересующую меня книгу:

Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем- математические основы (197_copy.djvu

где всё изложено в такой манере:

Вложение 77675

Поясните, пожалуйста, почему именно эта книга Вас заинтересовала.

Я приветствую Вашу увлеченность теоретико-множественной парадигмой, но ради справедливости хочу указать и на существование двух альтернативных ей парадигм. Первая связана с “теорией категорий”, а вторая – с совокупностью теорий, группирующихся вокруг так называемого “лямбда - исчисления”.
По этому вопросу можно посмотреть книги, которые есть в сети:
Голдблатт Р.
Топосы. Категорный анализ логики.
М.: Мир, 1983.

Смею заметить, что о категориях в книге Месаровича как раз-то есть (в приложениях)

[Математик]

Музыкально-теоретические правила часто похожи на эвристики.
Само собой напрашивается:
поскреби интеллектуальное искусство – найдёшь искусственный интеллект.

Меня больше интересуют не эвристические алгоритмы, а системы представления знаний о некоторой предметной области, как я писал:

Лично меня интересуют способы представления знаний о “предметной области”, с которой будет работать устройство с ИИ.
И в этом плане мне кажется полезной книга Марвина Минского “Фреймы для представления знаний”, появившаяся еще в самом начале развертывания исследований по ИИ:
http://www.myai.narod.ru/Minsky/sod.htm
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%...D%D0%B8%D0%B9)

Теория, известная ныне как “теория положительных рациональных чисел” первоначально задумывалась как средство представления знаний о музыкальных интервалах:

Когда на универсуме рациональных отношений (содержательно понимаемых как музыкальные интервалы) вводятся различные операции: операция составления отношений, операция взятия медианты, операции V и H, другие какие-нибудь операции, то это означает просто, что система поворачивается к нам разными своими сторонами, и, в результате, более полно познается (с разных сторон).

Мне также важна оппозиция "декларативные -- процедурные", в сответстви с которой подразделяются знания:
http://cnit.mpei.ac.ru/textbook/01_01_00_04.htm
http://vikent.ru/enc/2986/
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%...BD%D0%B8%D0%B5
http://dic.academic.ru/dic.nsf/fin_enc/21953

Я приветствую Вашу увлеченность теоретико-множественной парадигмой, но ради справедливости хочу указать и на существование двух альтернативных ей парадигм. Первая связана с “теорией категорий”, а вторая – с совокупностью теорий, группирующихся вокруг так называемого “лямбда - исчисления”.
По этому вопросу можно посмотреть книги, которые есть в сети:
Голдблатт Р.
Топосы. Категорный анализ логики.
М.: Мир, 1983.

Барендрегт Х.
Ламбда-исчисление.
Его синтаксис и семантика. М.: Мир, 1985.

В первом приближени можно сказать, что при использовании теоретико-множественной парадигмы мы описываем "реальность" декларативно, а при использовании двух других указанных парадигм -- описываем ее процедурно.

[commator]

Надеюсь, что найдете время изложить свои мысли по использованию методов ИИ в теории музыки более подробно

Меня больше интересуют не эвристические алгоритмы, а системы представления знаний о некоторой предметной области, как я писал

Вы не хотите, чтобы я здесь излагал не свои мысли, Вам не интересные?

Что делать с именем Вашей темы, если музыкальная теория построена как раз на эвристических алгоритмах, а не на интересных Вам системах?

[commator]

Поясните, пожалуйста, почему именно эта книга Вас заинтересовала

Может быть потому, что Месарович тоже Михайло, а Такахара японец?

Не могу внятно объяснить почему, но заинтересовала именно эта, причём до того, что купил её себе как раз в год издания. Ради неё долго потом учился понимать теоретико-множественные шифровки и низшую математику, а в результате мигрировал из электротехники в информатику через электронику. По сути именно эта книжечка сделала из меня то, чем являюсь теперь.

В 90-х книжечка в бумажном виде от меня ушла и только теперь вернулась отсканированной.

Смею заметить, что о категориях в книге Месаровича как раз-то есть (в приложениях)

Я читал на стр. 14:

<<... Сравнение этого подхода с некоторыми другими возможными подходами приведено в приложении II ...>>

Приложений ещё не читал...

[commator]

В 90-х книжечка в бумажном виде от меня ушла и только теперь вернулась отсканированной

Теперь и без перевода доступна: http://ru.bookos.org/g/%20Y.%20Takahara