О центральном и ключевом вопросе лютерии - выстройке

В выстройке используются математические кривые.
В. Кандинский в работе «Точка и линия на плоскости» (Мюнхен, 1926) писал:
«Когда на точку одновременно оказывают воздействие две силы таким образом, что одна из них непрерывно и в равной мере превосходит другую по силе давления, возникает кривая линия… Она является собственно прямой, отклонившейся от своего пути вследствие постоянного бокового давления, - чем сильнее было это давление, тем сильнее изменялся угол отклонения прямой и тем сильнее становилось напряжение вовне».
Однако не верно предположение о том, что «существует только одна кривая, отвечающая всем требованиям построения скрипки» (С.В.Муратов. Искусство скрипичного конструирования). Это не так, для проектирования смычковых инструментов скрипичного семейства необходим следующий набор из трех выстроечных кривых:
1) кривая Безье (струнная линия) – для построения полного контура формы с шаблонами уголков и клёцев, контура эфов и контура ручки – выстраиваемая с помощью струны;
2) спираль Бернулли (логарифмическая спираль), представляющая собой геометрический фрактал в 11 итераций из дуг размером в четверть окружности – для построения волюты завитка – выстраиваемая с помощью масштабного циркуля;
3) катенария (цепная линия) – для построения линий, образующих поверхности сводов деки и дна – выстраиваемая с помощью цепочки.

Из темы о Физ. вопросах:

Цитата:

---

Сообщение от Искатель

lubytel

> Я вот подумываю в какой теме продолжать Вашу теорию Выстройки... Но сейчас это идёт в теме про узлы
Есть тема про узлы (я уже попросил Сергея Витальевича переименовать ее в нормальный вид - "Об определении длины деки и высоты свода"). Но есть на Форуме ещё моя тема про выстройку вообще - она называется "О центральном и ключевом вопросе лютерии - выстройке" (недавно создана и практически пустая). Так что общие вопросы выстройки (не о длине деки и о высоте свода, а вообще) - это лучше там, наверное.

---

Итак, основой геометрического построения формы является каркас из восьми отрезков – вертикальной оси и семи горизонтальных перпендикуляров к ней.
Как соединить кривой линией пару точек геометрического каркаса? Думается, что при условии единого физического модулятора кривых (в данном случае – построителем кривых Безье является простая дуга струны) определяющим фактором является длина линии между двумя точками. Натянутая струна превратит кривую линию в отрезок прямой и только при необходимой длине петли произведется искомая (или желаемая) конфигурация формы. Нужно учесть, что сам геометрический каркас имеет только опорное значение, и соединительные кривые могут иметь различную степень кривизны.

Нужно отметить, что контур формы, на которой моделируется рамка обечаек, очерчивает (с некоторым приближением) контур фигуры, являющейся образующей линией для внутренней поверхности свода деки. Отличия от контура формы два: 1) «зоны верхних и нижних краёв, ограниченные двумя строго поперечными линиями, проходящими по внутренним краям верхнего и нижнего клёцев, всегда исключались Страдивари из процесса выдалбливания», поэтому контур образующей уплощен в верхней и нижней частях перпендикулярными к вертикальной оси отрезками; 2) форма имеет пазы под уголки, тогда как у образующей линии этот отрезок сглажен до совпадения с внутренней линией уголка.
Таким образом, контур образующей линии свода деки имеет геометрический каркас из 10 отрезков – оси и 9 перпендикуляров.

Природа внутренней поверхности свода деки состоит в том, что эта поверхность является вогнуто-вогнутым катенокатенарием, лемникатированным по Буту, пересеченным плоскостью. Что это значит? Контурная линия, рассмотренная выше, близка к такой геометрической фигуре, как эллиптическая лемниската Бута – плоская алгебраическая кривая четвертого порядка, частный случай кривой Персея, подера эллипса (на рисунке – розовым, жёлтым).
*ничего там не видать - короче, бледные-бледные две внешние линии

Что такое катена (катенария) – это, я думаю, все уж знают. Но всё равно напомню. Это цепная линия – кривая, образованная свободным провисанием цепочки. Плоская трасцендентная кривая.

Далее. Есть такая штука, как эллиптический параболоид – поверхность второго порядка, описываемая семейством параллельных парабол с ветвями, направленными вниз, вершины которых описывают параболу, с ветвями, также направленными вниз. Короче говоря, эта поверхность имеет образующую – одну из парабол и множество поперечных парабол, все вершины которых лежат на параболе. Так как это поверхность вращения, то пересечение ее параллельной системе координат плоскостью даст окружность. Это вторая образующая эллиптического параболоида.

Если заменить в параболоиде параболы катенами, то получится уже почти то, что нам нужно. Но как это самое назвать? Катеноид? Нельзя, катеноид – это нечто иное. Это поверхность, образуемая вращением катены. Катеноид – это форма мыльной пленки, натянутой на две окружности в параллельных плоскостях. Короче, совсем не то.

Математики такую поверхность никак не обозначили почему-то, к сожалению. Поэтому я предлагаю именовать таковую не иначе как катенокатеноид. Это почти то же самое, что эллиптический параболоид, но из катен. У эллиптического параболоида есть две образующих – парабола и окружность, по ним множеством парабол и образована эта поверхность. Если взять катену и множество других катен, вершины которых лежат на первой катене, получится катенокатеноид. В случае если главная катена и перпендикулярные к ней направят свои ветки в одну сторону (как нам и надо), то будет вогнуто-вогнутый (ну или выпукло-выпуклый) катенокатеноид. По форме это что-то вроде вхолмленной долины. (катены-перпендикуляры могут иметь разные величины), поэтому поверхность может иметь разные формы. Это может быть каньон с горными уступами или малая ложбинка вроде внутренней поверхности свода деки. Всё зависит от образующей катенокатенария. В нашем случае интересна лемниската Бута (ну точнее, сходная с ней кривая). Поэтому катенокатенарий в нашем случае не абы какой, а лемнискатированный по Буту. И опять же катенокатенарий – поверхность бесконечная, а нам такую не надо, поэтому мы его отсекаем плоскостью. Поэтому получается вогнуто-вогнутый катенокатенарий, лемнискатированный по Буту и пересеченный плоскостью. Понимаю, убойное название, но зато точное математически. При этом в секущей плоскости как раз и лежит контурная кривая, которую мы и рассмотрели выше. Продольная катена лежит в плоскости, на которой находится вертикальная ось, а все остальные катены – в плоскостях перпендикуляров.

Довольно математики, возвращаемся к лютерии. Итак, геом. каркас контура состоит из 10 прямых отрезков, а поверхность свода деки слагается как минимум 10 катенариями (катенами) – одной продольной (осевой) и девятью поперечными. Чем сильнее прогиб осевой катенарии, тем сильнее прогиб соответствующей поперечной катены. Верхняя и нижняя катены вырождены в отрезки прямой.