Использование логарифмов в музыкознании

Цитата:

---

Сообщение от commator

По оси абсцисс откладывайте частоты...

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Вы же знаете, что мне больше нравятся длины струн (вернее, отношения длин струн):

---

Цитата:

---

Сообщение от commator

Ощущение высоты создают не струны, а периодические колебания воздействия окружающей среды на органы слуха.

---

Вы не обратили внимания на слова Л. Шевалье, которые были приведены по указанной ссылке:
"... Так как трудно измерить частоту колебаний, а, с другой стороны, соотношения между числами колебаний обратно пропорциональны длинам струны, которые легче измерять, Рамо применяет числовые обозначения к струнам, что, конечно, ни в чем не может повлиять на конечный результат. Таким образом, ... он на первых страницах трактата 1722 г. выписывает следующую цитату из Декарта: "Звук относится к звуку так же, как струна к струне".
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1.html

Цитата:

---

Сообщение от Математик

слова Л. Шевалье, которые были приведены по указанной ссылке:
"... Так как трудно измерить частоту колебаний..."

---

Своими руками сделал аналоговый частотомер в конце 70-х. В середине 80-х добился от предприятия, где работал с электронной техникой, приобретения промышленного цифрового частотомера. Потом были и карманные цифровые мультиметры, измеряющие всё, что нужно, включая частоту.

Убедился, что в наше время измерять частоту не трудно. Гораздо труднее измерять высоту, а музыка не частотами, а высотами фиксируется. Теперь есть микропроцессоры и высоты измерять становится легче.

Интересные мне высоты соотносятся как обертонунтертоновые номера.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Вы не обратили внимания на слова Л. Шевалье, которые были приведены по указанной ссылке:
"... Так как трудно измерить частоту колебаний, а, с другой стороны, соотношения между числами колебаний обратно пропорциональны длинам струны, которые легче измерять, Рамо применяет числовые обозначения к струнам, что, конечно, ни в чем не может повлиять на конечный результат. Таким образом, ... он на первых страницах трактата 1722 г. выписывает следующую цитату из Декарта: "Звук относится к звуку так же, как струна к струне".
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1.html

---

Цитата:

---

Сообщение от commator

Своими руками сделал аналоговый частотомер в конце 70-х. В середине 80-х добился от предприятия, где работал с электронной техникой, приобретения промышленного цифрового частотомера. Потом были и карманные цифровые мультиметры, измеряющие всё, что нужно, включая частоту.

Убедился, что в наше время измерять частоту не трудно. Гораздо труднее измерять высоту, а музыка не частотами, а высотами фиксируется. Теперь есть микропроцессоры и высоты измерять становится легче.

Интересные мне высоты соотносятся как обертонунтертоновые номера.

---

Речь не шла о том, трудно или нет измерить частоту колеблющейся струны в настоящее время.
Речь шла о равносильности для музыкальной теории двух подходов:

Цитата:

---

Сообщение от Математик

... соотношения между числами колебаний обратно пропорциональны длинам струны.., Рамо применяет числовые обозначения к струнам, что, конечно, ни в чем не может повлиять на конечный результат. Таким образом, ... он на первых страницах трактата 1722 г. выписывает следующую цитату из Декарта: "Звук относится к звуку так же, как струна к струне".

---

Вследствие чего Гарбузов, например, проводит рассмотрения в терминах отношений длин струн:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/8/2.html

а Немировский -- в терминах отношений частот:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/2/6.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/2/2.html

(кому как нравится)

Цитата:

---

Сообщение от commator

По оси абсцисс откладывайте частоты...

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Вы же знаете, что мне больше нравятся длины струн (вернее, отношения длин струн): :smile:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1.html

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

мне больше нравятся длины струн (вернее, отношения длин струн)

---

Вы спросили про:

Цитата:

---

Сообщение от Математик

теоретико-музыкальное обоснование теории логарифмов

---

Я предложил один из ответов:

Цитата:

---

Сообщение от commator

По оси абсцисс откладывайте частоты, а по оси ординат соответствующие им номера клавиш пианино.

Должна получиться логарифмическая кривая.

---

На всякий случай привожу сводку результатов о числах, частотах и струнах (а также о логарифмах) от англоязычных:
Wright D.
Mathematics and Music.
American Mathematical Soc., 2009, pp. 45 — 51.
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/4.html

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Все дело в том, уважаемый commator, что может быть более низкое, а может быть и более высокое понимание теории логарифмов.
Феликс Клейн, например, считает, что ученик в школе получает только низкое понимание этой теории:
Как-то раз мы уже начинали дискуссию по этому поводу:

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

Не удовлетворили Вы моего любопытства.
По той простой причине, что давным давно я удовлетворил его сам.
Во время написания своей статьи:
Когда я усиленно размышлял над тем, “что такое логарифм”. И “допер” (сам, сам!), что логарифм (равно как и обратная ему экспонента) – это изоморфизмы.
Только потом я прочитал об этом в книжках.
Запомните и Вы:
Логарифм – это изоморфизм.

---

В частности редактор перевода книги Клейна на русский язык пишет:
“Точный смысл слов Клейна об аналогии между умножением и сложением заключается в том, что эти группы изоморфны...”
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/8/3/1.html

А “изоморфизм” (в математике) означает тождественность каких-либо двух систем по своей структуре. Вот и делайте из этого выводы.

Цитата:

---

Сообщение от Математик

В частности редактор перевода книги Клейна на русский язык пишет:
“Точный смысл слов Клейна об аналогии между умножением и сложением заключается в том, что эти группы изоморфны...”
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/8/3/1.html

А “изоморфизм” (в математике) означает тождественность каких-либо двух систем по своей структуре. Вот и делайте из этого выводы.

---

а что же тогда антилогарифм?

Цитата:

---

Сообщение от Математик

На всякий случай привожу сводку результатов о числах, частотах и струнах (а также о логарифмах) от англоязычных:
Wright D.
Mathematics and Music.
American Mathematical Soc., 2009, pp. 45 — 51.
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/4.html

---

http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/im4/u.gif

<< соотношение: количественная связь между двумя величинами, показывающая, сколько раз одно значение содержит или содержится в другом.

Цитата:

---

Сообщение от Ноосфера

ratio: the quantitative relation between two amounts showing the number of times one value contains or is contained within the other

---

>>

Для меня новость, что иррациональное число 2^х/1200 оказалось числом рациональным.

Остаётся лишь процитировать:

Цитата:

---

Сообщение от Seelandmann

не задра... ну, понятно

---

Цитата:

---

Сообщение от Математик

В частности редактор перевода книги Клейна на русский язык пишет:
“Точный смысл слов Клейна об аналогии между умножением и сложением заключается в том, что эти группы изоморфны...”
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/8/3/1.html

А “изоморфизм” (в математике) означает тождественность каких-либо двух систем по своей структуре. Вот и делайте из этого выводы.

---

Изоморфизм, стало быть, есть аналогия сложения и умножения:

из 2+2=4 и 2*2=4 следует, что 4=4.

Можно написать изоморфизм

из 3+3=6 и 3*3=9 следует, что 6=9

и с чистой совестью процитировать:

Цитата:

---

Сообщение от Seelandmann

мне по

---

Правду говорили мне в математической спецшколе: аналогия опасна. Тогда изоморфизм ещё не был в моде.

Цитата:

---

Сообщение от commator

<< соотношение: количественная связь между двумя величинами, показывающая, сколько раз одно значение содержит или содержится в другом. >>
Для меня новость, что иррациональное число 2^х/1200 оказалось числом рациональным.

---

Вы слишком сузили значение слова “ratio”.
См., например, у Мордухая-Болтовского:
“В современных методических руководствах, начиная с Лакруа, замечается тенденция к отождествлению отношения с результатом деления. Серре в курсе Арифметики говорит, что отношением одного числа к другому называется частное от деления первого на второе. При этом частное мыслится не только как целое, но и как дробное, и даже как иррациональное число”:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/3/1.html

Когда Дэвиду Райту хочется поговорить конкретно о рациональных числах, то он и пишет прямо: “Rational Numbers”. Как, например, здесь:
“The Rational Numbers As Musical Intervals”
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/1/1/11.html