Теории Гуго Римана

Вид для печати

Показывать 40 сообщений этой темы на одной странице

20.12.2009, 00:46
Математик

Теории Гуго Римана

В связи с полемикой Оголевца с Риманом:
http://www.forumklassika.ru/showthre...=50034&page=13

захотелось поближе познакомиться с творчеством последнего.

Как обычно, кое-что есть в Википедиях:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hugo_Riemann
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%...BC%D0%B0%D0%BD

Но, вот, случайно наткнулся на выложенную в сети ценнейшую, по-видимому, книгу
КАТЕХИЗИСЪ ИСТОРIИ МУЗЫКИ. Д-ра Гуго Римана, 1896 г.

“ Как-то полгода назад Фюфла стащила у замечательного отца моего ребека Саши Попова прелестную книжку позапрошлого века про историю музыки.
Книжка многообещающе начинается вопросом "Къ какому времени относится начало музыки?" и ответом "Неизвестно." :)
Но далее в такой же форме ответов на вопросы рассказывается о таких всех интересующих вещах как:
-Что же иное можно разуметь въ данномъ случае?
-Ч?мъ они были замечательны?
-Какимъ образомъ пришли къ этому?
-Существовали смычковые инструменты съ клавiатурой?
-Чемъ отличался клавикордъ отъ клавицимбала?
-Что намъ известно о музыкальной системе древнихъ индiйцевъ?
-В чемъ состояло музыкальное письмо Германа Контрактуса?
И даже "Была ли музыкальная культура евреевъ на значительной ступени развития?" :)
А еще про мозголомательную математическую музыкальную систему древних греков!1
Вобщем Фюфла книжку худо-бедно отсканировала, отчернобелила2 и отпдфила3 и готова поделиться своим счастьем с заинтересованными.”
http://thusthla.livejournal.com/27229.html
20.12.2009, 03:13
Математик

Re: Теории Гуго Римана

Обзор и критический анализ (Лео Мазелем) теоретических работ Г. Римана приведен здесь:
http://web.archive.org/web/200509072...an/riman1.html
http://web.archive.org/web/200509110...an/riman2.html

Я уже приводил эти ссылки:

Цитата:

Сообщение от Математик

Кажется, Риман пытался научно обосновать в равной мере как Царлиновскую теорию мажора, так и Царлиновскую теорию минора. А также их полную зеркальную симметрию. Путем введения в рассмотрение унтертонового ряда как дуального к обертоновому. Приведу ниже один свой старый пост...

Это выдержки из известной книги И. Рыжкина и Л. Мазеля "Очерки по истории теоретического музыкознания" Том 1-ый - М., 1934 г., том 2-й - М-Л., 1939 г.

“ Наверное, это одна из лучших работ по истории теории музыкальной гармонии. Конечно, время ее появления наложило свой отпечаток и сожаления о недостатке пролетарского воспитания у буржуазных теоретиков, надо воспринимать спокойно. Так как в целом, в отношении собрания водной книге почти всех основных теорий, построенных на базе психофизиологии восприятия звука, данная работа уникальна и, как историческое исследование, актуальна и в наше время.

И. Рыжкин. Классическая теория. (Ж. Ф. Рамо)
- Главы 1-3.
- Главы 4-7.

И. Рыжкин. Традиционная школа.
- Возникновение традиционной школы.
- Развитие традиционной школы в Германии.
- Традиционная школа в России.
- Антиавторитарное направление во Франции. Предпосылки функциональной теории.

Л. Мазель. Функциональная школа. (Гуго Риман)
- Начало.
- Продолжение 1.
- Продолжение 2.
- Окончание.”
http://web.archive.org/web/200508282...it_online.html
----------------------------------

Было бы хорошо собрать здесь и всякие иные суждения, размышления и материалы о творчестве Гуго Римана. :-)
29.06.2011, 02:21
Математик

Re: Теории Гуго Римана

Благодаря zezapel'ю стала доступной также культовая книга Римана “Упрощенная гармония”:

Цитата:

Сообщение от zezapel

"Упрощенная гармония" в переводе на русский язык (1901 года издания) есть на archive.org:
http://www.archive.org/details/uproshchennaiaga00riem

Цитата:

Сообщение от zezapel

Рад помочь. У меня никогда проблем не было со скачиванием, пользуюсь часто. На странице с выбранной книгой нажимаю сначала на All Files: HTTP. Открывается окно со списком форматов книги. Выбираю PDF. Дальше - как обычно: правой кнопкой "сохранить объект как..." Сбоев не было.
29.06.2011, 03:12
Математик

Re: Теории Гуго Римана

Цитата:

Сообщение от Математик

Благодаря zezapel'ю стала доступной также культовая книга Римана “Упрощенная гармония”:

И очень хорошо, что эта книга стала, наконец, доступной. Поскольку теперь мы сможем гораздо лучше понять критику Оголевцом основных положений концепции Римана:
Здесь целый узел противоречий. С одной стороны, как бы утверждаются пифагорейские соотношения между звуками, но так как следование этому принципу опрокинуло бы всю теорию Римана, то дело корректно сводится к вопросам орфографии (причем основой почитается уменьшенная квинта, естественно начинающая повторять основной диатонический ряд). Вопрос о звуковых соотношениях осторожно обойден, внедряется глазной принцип:
http://px-pict.com/7/3/2/4/4/1/1.html
http://px-pict.com/7/3/2/4/4/1.html

Критикуемый Оголевцом фрагмент книги Римана см. здесь:
http://px-pict.com/7/3/2/3/15/1/1/1.html

(Оголевец в своей Книге предполагает, что ее читатель хорошо знаком с “Упрощенной гармонией” Римана, чего в нашем случае, конечно же, не имеет места)
29.06.2011, 08:23
Olorulus

Re: Теории Гуго Римана

Цитата:

Сообщение от Математик

Благодаря zezapel'ю стала доступной также культовая книга Римана “Упрощенная гармония”:

Скорее, самая популярная и распространенная (в свое время). К сожалению, основной справочник "Handbuch der Harmonielehre" оказался так и не переведенным на русский язык, а именно из него почерпнули как следует и "бригадный учебник", и Ю.Н.Холопов, да практически все русские теоретики музыки (да и Мазель тоже, несмотря на весь свой "пролетарско-критический" пыл).
09.07.2011, 20:41
Математик

Re: Теории Гуго Римана

Цитата:

Сообщение от Математик

Но, вот, случайно наткнулся на выложенную в сети ценнейшую, по-видимому, книгу
КАТЕХИЗИСЪ ИСТОРIИ МУЗЫКИ. Д-ра Гуго Римана, 1896 г.

Оглавление этой книги Римана можно посмотреть здесь:
http://px-pict.com/7/3/2/9/1/0.html

"Общее обозрение", предворяющее книгу:
http://px-pict.com/7/3/2/9/1/00.html

Re: Теории Гуго Римана

Цитата:

Сообщение от Математик

Благодаря zezapel'ю ...

Риман, Г. Упрощённая гармония, или учение о тональных функциях аккордов. Перевод с немецкого с примечаниями Ю. Энгеля. Издательство П. Юргенсона, Москва, 1901, сс. 1-2:

Риман в переводе и с примечаниями Энгеля Комментарии

Гармонія учитъ насъ логически осмысленному и технически правильному связыванію аккордовъ*). Гармония есть наука о логике и технике связывания аккордов.

*) Въ русскомъ языкљ слово „гармонія" приходится употреблять для обозначенія: І) науки гармоніи (Harmonielehre), 2) совокупности аккордовъ извљстнаго строя, наклоненія п т. п. (Harmonik) и 3) отдљльнаго аккорда (Harmonie). Прим. пер. Помимо науки гармонией называют по-русски и совокупность аккордов и отдельный аккорд.

(Аккордомъ называется соединеніе нљсколькихъ одновременно звучащихъ тоновъ**) различной высоты). Аккорд означает некоторую вертикаль многоголосия.

**) Тономъ (ton) мы будемъ называть каждый изъ образующихъ аккордъ (созвукъ) звуковъ.
Это-же слово будетъ у насъ обозначать иинтервалъ большой секунды, но отнюдь не заменять слова „строй", „тональность" и т. п., какъ это делается, по примеру старины, еще и въ наше время. Прим. пер. Тоном именуется либо каждый звук вертикали, либо интервал большой секунды.

Изслљдованіе естественныхъ законовъ такого связыванія только тогда можетъ считаться надежнымъ, если мы станемъ разсматривать тоны отдљльныхъ аккордовъ не какъ изолированныя случайныљ явленія, а наоборотъ, какъ слљдствія движенія голосовъ; послљдованія аккордовъ съ этой точки зрљнія, являются результатомъ одновременнаго мелодическаго движенія нљсколькихъ голосовъ. Только если последования аккордов являются результатом одновременного движения нескольких мелодий, изучение природных основ связывания вертикалей считается надёжным.

Изъ исторіи музыки мы знаемъ, что одновременное мелодическое веденіе нљсколькихъ голосовъ применялось и постепенно совершенствовалось въ теченіе цљлыхъ столљтій прежде чљмъ, наконецъ, было установлено понятіе о гармоніи въ теперешнемъ ея смысле (т. е. въсвязи съ понятіемъ аккорда). Такимъ образомъ, гармонія, — посколько мы опредљляемъ ее какъ ученіе о многоголосіи — ведетъ свое начало отъ мелодики. Начало у гармонии от мелодики: как наука о вертикалях многоголосия, гармония развилась за сотни лет существования мелодического многоголосия.

Мелодіей мы называемъ логически осмысленное и эстетически удовлетворяющее движеніе голоса по тонамъ различной высоты. Эстетическіе законы образованія мелодій разсматриваются въ философіи музыки [ср. „Катехизисъ музыкальной эстетики” („Какъ мы слушаемъ музыку”)]*); Мелодия должна ощущаться движением в пространстве высот и эстетично передавать осмысленную логику.

*) „Katechismus der Musik-Aestetik” von H. Riemann.

Re: Теории Гуго Римана

Цитата:

Сообщение от Математик

Благодаря zezapel'ю ...

Риман, Г. Упрощённая гармония, или учение о тональных функциях аккордов. Перевод с немецкого с примечаниями Ю. Энгеля. Издательство П. Юргенсона, Москва, 1901, сс. 2-3:

Риман в переводе и с примечаниями Энгеля Комментарии

что-же касается логически-разумнаго движенія мелодіи, то основой его, какъ тому учитъ насъ исторія музыки, является общая всемъ векамъ и народамъ діатоническая гамма,—простое поступенное послљдованіе коренныхъ (первичныхъ) тоновъ нашей теперешней звуковой системы: Диатоническая гамма объявлена всеобщей и разумной основой логики мелодического движения

__2__

____3____

__2__

<-

A .
H_._c
. d .

e_._f

. g . a .

h_._c’

. d’.
e’._f’
->

¹/₂

¹/₂

¹/₂

¹/₂

Въ этой гамме мы видимъ следующее правильно чередующееся размљщеніе тоновъ и полутоновъ (h с¹, е f)

<- … 1, 1, ¹/₂, 1, 1, 1, ¹/₂, 1, 1, ¹/₂, 1, 1, 1, ¹/₂… ->

Эта основная гамма охотно применялась въ теченіе тьісячелљтій, что даетъ намъ право съ твердой уверенностью предполагать, что она удовлетворяетъ требованіямъ (нашей) природы, является естественно-необходимой, логически-разумной. И действительно, всякое другое, уклоняющееся отъ этого пути, образованіе мелодіи можетъ быть сведено къ этому основному построенію. Основной гаммой названо правильное чередование разделённых полутонами групп по 2 и 3 тона, испытанное тысячелетиями охотного применения

Звуки основной гаммы находятся другъ къ другу въ известныхъ отношеніяхъ, которые уверенно постигаются ухомъ, и въ акустике и математике выражаются точными простыми числовыми отношеніями. Этимъ числовымъ отношеніямъ соответствуютъ и условія, при которыхъ возникаютъ и продолжаются колебанія упругихъ телъ (въ конце концовъ — воздуха), являющіяся причиной звука. Основная гамма удобна для точных числовых выражений в простых соотношениях и благоприятна для постижения слухом

Такія простыя соотношенія, наблюдаемыя при колебаніи струнъ, а также заключенныхъ въ трубку воздушныхъ столбовъ, — или, оставляя въ стороне физику и принимая во вниманіе только область слуховыхъ воспріятій, — такія удовлетворяющія ухо отношенія тоновъ между собою, при которыхъ последованія ихъ другъ за другомъ кажутся намъ музыкально-понятными, осмысленными, называются гармоническими (отъ греческаго слова άρμόξειν = связывать, устраивать). Эти-же отношенія будутъ играть руководящую роль, если мы станемъ разсматривать и сочетанія нљсколькихъ одновременно-звучащихъ голосовъ, т. е. „гармоніи" (аккорды) въ современномъ смыслљ этого слова. Указано: так называемые гармонические соотношения тонов удовлетворяют слух, понятны восприятию как музыкально осмысленные горизонтали, руководят вертикальными гармониями и достаточно просты в числовом виде.

Re: Теории Гуго Римана

Цитата:

Сообщение от Математик

Благодаря zezapel'ю ...

Риман, Г. Упрощённая гармония, или учение о тональных функциях аккордов. Перевод с немецкого с примечаниями Ю. Энгеля. Издательство П. Юргенсона, Москва, 1901, сc. 3-4:

Риман в переводе и с примечаниями Энгеля Комментарии

И если гармонія (какъ послљдованіе аккордовъ) привела насъ къ мелодикљ отдљльныхъ голосовъ, то мелодія (какъ послљдованіе гармонически-понимаемыхъ звуковъ) приводитъ насъ, въ свою очередь, обратно къ гармоніи; такимъ образомъ, можно сказать, что эстетическое дљйствіе каждаго тона мелодій въ значительной своей долљ*) зависить отъ его гармоническаго значенія, т. е. отъ его, точно распознаваемаго ухомъ, отношенія къ другимъ тонамъ той-же мелодіи, или — если дљло идетъ о многоголосномъ сложеніи, — къ тонамъ другихъ, одновременно движущихся мелодій. Последовательности вертикалей от гармонии приводят к мелодиям голосов, а мелодии тонов с гармоническими соотношениями возвращают к гармонии. Эстетичность каждого тона зависит от его гармоничности в соотношениях с другими тонами.

*) Именно, выключая ту долю, которая является слљдствіемъ абсолютной высоты этого тона и его отношенія къ общей мелодической линіи, т. е. его движенія вверхъ или внизъ. Прим. автора.

Каждый тонъ по отношенію къ другимъ тонамъ (причемъ въ данномъ случаљ, какъ и впредь, мы будемъ имљть въ виду только такіе тоны, которыхъ отношенія гармонически понятны и легко распознаются нашимъ ухомъ) можетъ быть разсматриваемъ двояко: или этотъ тонъ самъ является prima ratio, твердой опорной точкой, исходя изъ которой мы придаемъ то или иное значеніе другимь тонамъ, или-же, наобороть, мы разсматриваемъ его, исходя изъ какого-либо другого тона и, смотря по его отношенію къ этому последнему, придаемь ему то или иное значеніе. Въ первомъ случаљ онъ представляетъ собой исходный, главный, пунктъ соотношеній между тонами, приму; во второмъ случаљ онъ является уже зависимымъ тономъ, разстояніе котораго отъ примы выражается посредствомъ соответствующего порядковаго числа. Любой тон в звуковысотном соотошении с другими либо оказывается в зависимости, либо поддерживает зависимость других от себя.

Такъ напр., при сопоставленіи с и g мы можемъ принять за приму с и тогда g будетъ пятой ступенью, — отсчитывая отъ с вверхъ (квинтой); или-же мы можемъ принять за приму g, и тогда с будетъ пятой ступенью, отсчитывая отъ g внизъ (нижней квинтой). Такіе промежутки (разстоянія) между тонами, которые мы измљряемъ, отсчитывая ступени основной гаммы, вообще называются интервалами. Один и тот же интервал допускает измерение как снизу вверх, так и сверху вниз. Результат противоположен по направлению и одинаков по абсолютной величине.

Вложений: 2

Re: Теории Гуго Римана

Цитата:

Сообщение от Математик

Благодаря zezapel'ю ...

Риман, Г. Упрощённая гармония, или учение о тональных функциях аккордов. Перевод с немецкого с примечаниями Ю. Энгеля. Издательство П. Юргенсона, Москва, 1901, сс. 4-5:

Риман в переводе и с примечаниями Энгеля Комментарии

Некоторые интервалы производятъ на насъ впечатлљніе простейшихъ; ухо улавливаетъ ихъ съ наибольшей уверенностью и вслљдствіе этого наиболее настоятельно требуетъ ихъ чистаго интонированія. Это именно те интервалы, которые въ физикљ и математикљ сводятся къ простљйшимъ числовымъ отношеніямъ, — посредствомъ-ли измљренія продолжительности колебаній или длины звуковыхъ волнъ, или-же посредствомъ дљленія туго натянутой струны на различное количество частей. Обратимся къ последнему способу, какъ наиболее удобному и легко понимаемому Указано свойство слуха настоятельно требовать чистого интонирования простейших интервалов. Простейшие интервалы сводятся к простейшим числовым соотношениям между длинами звуковых волн. Избран удобный для понимания способ сведения интеовалов к соотношениям через деление струны.

Здесь наиболее простымъ является дљленіе струны на двљ половины, при чемъ каждая половина струны дастъ тогда октаву звука, соотвљтствующаго цљлой струне; обе половины струны звучатъ при этомъ одинаково. Очевидно, однако, что отношеніе цљлой струны къ цљлой (1:1, унисонъ) еще более легко понятно, чљмъ отношеніе цљлой къ половинљ (1:¹/₂). Если интервалы сводить к числам через относительные частоты звуковых колебаний, обратные по величинам длинам струны, прима/унисон неизменно соответствует числам 1:1, октава же свои числа меняет на 1:2.

Къ этимъ двумъ отношеніямъ (1:1, 1:¹/₂) примыкаетъ третье, отношеніе цљлой струны къ ея третьей части (1:¹/₃), которому соотвљтствуетъ интервалъ дуодецимы (квинта октавы); далље следуетъ 1:¹/₄ двойная октава, 1:¹/₅(большая) терція двойной октавы, 1:¹/₆квинта двойной октавы (октава дуодецимы). Въ нотахъ этотъ рядъ выражается слљдующимъ образомъ: В частотных числах дуодецима соответсвует отношению 1:3, д.октава — 1:4, .б.терция д.октавы — 1:5 и квинта д.октавы/октава дуодецимы — 1:6.

http://www.forumklassika.ru/attachme...2&d=1340711467

Возьмемъ теперь, наоборотъ, за исходный пунктъ какой-нибудь более высокій звукъ, напр., трехчертное е (е³), и постараемся найти те легкопонимаемые*) звуки,

*) По отношенію къ е³. Прим. пер.

которые лежать ниже этого е³. Намъ придется тогда вместо дљленія струны пополамъ увеличивать ея длину вдвое. Такимъ образомъ, если мы обозначимъ длину струны, соответствующей е³, черезъ 1, то звукомъ, соотвљтствующимъ струнљ удвоенной длины (2), будетъ нижняя октава отъ е³, т. е. е²; утроенной длинљ будетъ соответствовать а¹; учетверенной — е¹; упятеренной — с¹; ушестеренной — а. В частотных числах субоктава (нижняя октава) соответсвует отношению 1:¹/₂, субдуодецима — 1:¹/₄, субквинтдецима — 1:¹/₄, субсептдецима — 1:¹/₅ и субнондецима — 1:¹/₆.

http://www.forumklassika.ru/attachme...3&d=1340711485

Показывать 40 сообщений этой темы на одной странице

Риман в переводе и с примечаниями Энгеля	Комментарии
Гармонія учитъ насъ логически осмысленному и технически правильному связыванію аккордовъ*).	Гармония есть наука о логике и технике связывания аккордов.
) Въ русскомъ языкљ слово „гармонія" приходится употреблять для обозначенія: І) науки гармоніи (Harmonielehre), 2) совокупности аккордовъ извљстнаго строя, наклоненія п т. п. (Harmonik) и 3) отдљльнаго аккорда (Harmonie). Прим. пер*.	Помимо науки гармонией называют по-русски и совокупность аккордов и отдельный аккорд.
(Аккордомъ называется соединеніе нљсколькихъ одновременно звучащихъ тоновъ**) различной высоты).	Аккорд означает некоторую вертикаль многоголосия.
*) Тономъ (ton) мы будемъ называть каждый изъ образующихъ аккордъ (созвукъ) звуковъ. Это-же слово будетъ у насъ обозначать иинтервалъ большой секунды, но отнюдь не заменять слова „строй", „тональность" и т. п., какъ это делается, по примеру старины, еще и въ наше время. Прим. пер.*	Тоном именуется либо каждый звук вертикали, либо интервал большой секунды.
Изслљдованіе естественныхъ законовъ такого связыванія только тогда можетъ считаться надежнымъ, если мы станемъ разсматривать тоны отдљльныхъ аккордовъ не какъ изолированныя случайныљ явленія, а наоборотъ, какъ слљдствія движенія голосовъ; послљдованія аккордовъ съ этой точки зрљнія, являются результатомъ одновременнаго мелодическаго движенія нљсколькихъ голосовъ.	Только если последования аккордов являются результатом одновременного движения нескольких мелодий, изучение природных основ связывания вертикалей считается надёжным.
Изъ исторіи музыки мы знаемъ, что одновременное мелодическое веденіе нљсколькихъ голосовъ применялось и постепенно совершенствовалось въ теченіе цљлыхъ столљтій прежде чљмъ, наконецъ, было установлено понятіе о гармоніи въ теперешнемъ ея смысле (т. е. въсвязи съ понятіемъ аккорда). Такимъ образомъ, гармонія, — посколько мы опредљляемъ ее какъ ученіе о многоголосіи — ведетъ свое начало отъ мелодики.	Начало у гармонии от мелодики: как наука о вертикалях многоголосия, гармония развилась за сотни лет существования мелодического многоголосия.
Мелодіей мы называемъ логически осмысленное и эстетически удовлетворяющее движеніе голоса по тонамъ различной высоты. Эстетическіе законы образованія мелодій разсматриваются въ философіи музыки [ср. „Катехизисъ музыкальной эстетики” („Какъ мы слушаемъ музыку”)]*);	Мелодия должна ощущаться движением в пространстве высот и эстетично передавать осмысленную логику.
*) „Katechismus der Musik-Aestetik” von H. Riemann.

Риман в переводе и с примечаниями Энгеля	Комментарии
И если гармонія (какъ послљдованіе аккордовъ) привела насъ къ мелодикљ отдљльныхъ голосовъ, то мелодія (какъ послљдованіе гармонически-понимаемыхъ звуковъ) приводитъ насъ, въ свою очередь, обратно къ гармоніи; такимъ образомъ, можно сказать, что эстетическое дљйствіе каждаго тона мелодій въ значительной своей долљ) зависить отъ его гармоническаго значенія,* т. е. отъ его, точно распознаваемаго ухомъ, отношенія къ другимъ тонамъ той-же мелодіи, или — если дљло идетъ о многоголосномъ сложеніи, — къ тонамъ другихъ, одновременно движущихся мелодій.	Последовательности вертикалей от гармонии приводят к мелодиям голосов, а мелодии тонов с гармоническими соотношениями возвращают к гармонии. Эстетичность каждого тона зависит от его гармоничности в соотношениях с другими тонами.
) Именно, выключая ту долю, которая является слљдствіемъ абсолютной высоты этого тона и его отношенія къ общей мелодической линіи, т. е. его движенія вверхъ или внизъ. Прим. автора.*
Каждый тонъ по отношенію къ другимъ тонамъ (причемъ въ данномъ случаљ, какъ и впредь, мы будемъ имљть въ виду только такіе тоны, которыхъ отношенія гармонически понятны и легко распознаются нашимъ ухомъ) можетъ быть разсматриваемъ двояко: или этотъ тонъ самъ является prima ratio, твердой опорной точкой, исходя изъ которой мы придаемъ то или иное значеніе другимь тонамъ, или-же, наобороть, мы разсматриваемъ его, исходя изъ какого-либо другого тона и, смотря по его отношенію къ этому последнему, придаемь ему то или иное значеніе. Въ первомъ случаљ онъ представляетъ собой исходный, главный, пунктъ соотношеній между тонами, приму; во второмъ случаљ онъ является уже зависимымъ тономъ, разстояніе котораго отъ примы выражается посредствомъ соответствующего порядковаго числа.	Любой тон в звуковысотном соотошении с другими либо оказывается в зависимости, либо поддерживает зависимость других от себя.
Такъ напр., при сопоставленіи с и g мы можемъ принять за приму с и тогда g будетъ пятой ступенью, — отсчитывая отъ с вверхъ (квинтой); или-же мы можемъ принять за приму g, и тогда с будетъ пятой ступенью, отсчитывая отъ g внизъ (нижней квинтой). Такіе промежутки (разстоянія) между тонами, которые мы измљряемъ, отсчитывая ступени основной гаммы, вообще называются интервалами.	Один и тот же интервал допускает измерение как снизу вверх, так и сверху вниз. Результат противоположен по направлению и одинаков по абсолютной величине.

Риман в переводе и с примечаниями Энгеля	Комментарии
Некоторые интервалы производятъ на насъ впечатлљніе простейшихъ; ухо улавливаетъ ихъ съ наибольшей уверенностью и вслљдствіе этого наиболее настоятельно требуетъ ихъ чистаго интонированія. Это именно те интервалы, которые въ физикљ и математикљ сводятся къ простљйшимъ числовымъ отношеніямъ, — посредствомъ-ли измљренія продолжительности колебаній или длины звуковыхъ волнъ, или-же посредствомъ дљленія туго натянутой струны на различное количество частей. Обратимся къ последнему способу, какъ наиболее удобному и легко понимаемому	Указано свойство слуха настоятельно требовать чистого интонирования простейших интервалов. Простейшие интервалы сводятся к простейшим числовым соотношениям между длинами звуковых волн. Избран удобный для понимания способ сведения интеовалов к соотношениям через деление струны.
Здесь наиболее простымъ является дљленіе струны на двљ половины, при чемъ каждая половина струны дастъ тогда октаву звука, соотвљтствующаго цљлой струне; обе половины струны звучатъ при этомъ одинаково. Очевидно, однако, что отношеніе цљлой струны къ цљлой (1:1, унисонъ) еще более легко понятно, чљмъ отношеніе цљлой къ половинљ (1:¹/₂).	Если интервалы сводить к числам через относительные частоты звуковых колебаний, обратные по величинам длинам струны, прима/унисон неизменно соответствует числам 1:1, октава же свои числа меняет на 1:2.
Къ этимъ двумъ отношеніямъ (1:1, 1:¹/₂) примыкаетъ третье, отношеніе цљлой струны къ ея третьей части (1:¹/₃), которому соотвљтствуетъ интервалъ дуодецимы (квинта октавы); далље следуетъ 1:¹/₄ двойная октава, 1:¹/₅(большая) терція двойной октавы, 1:¹/₆квинта двойной октавы (октава дуодецимы). Въ нотахъ этотъ рядъ выражается слљдующимъ образомъ:	В частотных числах дуодецима соответсвует отношению 1:3, д.октава — 1:4, .б.терция д.октавы — 1:5 и квинта д.октавы/октава дуодецимы — 1:6.
http://www.forumklassika.ru/attachme...2&d=1340711467
Возьмемъ теперь, наоборотъ, за исходный пунктъ какой-нибудь более высокій звукъ, напр., трехчертное е (е³), и постараемся найти те легкопонимаемые*) звуки,
) По отношенію къ е³. Прим. пер.*
которые лежать ниже этого е³. Намъ придется тогда вместо дљленія струны пополамъ увеличивать ея длину вдвое. Такимъ образомъ, если мы обозначимъ длину струны, соответствующей е³, черезъ 1, то звукомъ, соотвљтствующимъ струнљ удвоенной длины (2), будетъ нижняя октава отъ е³, т. е. е²; утроенной длинљ будетъ соответствовать а¹; учетверенной — е¹; упятеренной — с¹; ушестеренной — а.	В частотных числах субоктава (нижняя октава) соответсвует отношению 1:¹/₂, субдуодецима — 1:¹/₄, субквинтдецима — 1:¹/₄, субсептдецима — 1:¹/₅ и субнондецима — 1:¹/₆.
http://www.forumklassika.ru/attachme...3&d=1340711485