Натуральный звукоряд

[commator]

... Пифагор пришел к мысли о сопоставлении тонов с числами, а консонансов — с числовыми отношениями.[/I]
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html

Я бы подчеркнул, что числовым отношениям соответствуют сонансы, которые могут быть с приставками и кон и дис.

[Математик]

В плане дальнейшего постижения сути эпиморных отношений будет полезно следующее замечание:
Каждое рациональное отношение на Дереве может быть представлено в виде произведения эпиморных отношений.

Если такая композиция уникальна для каждого рац. отношения, то она напоминает уникальность канонической композиции простых чисел для каждого натурального числа.

Мы можем назвать указанное выше разложение произвольного рационального отношения в произведение эпиморных отношений каноническим. Оно уникально в том смысле, что на Дереве существует ровно один путь, ведущий от его корня (помеченного отношением равенства) к его узлу, помеченному данным рациональным отношением.

[Математик]

Эти щели были замечены и в экспериментах индийских исследователей. Они написали в своей книге о шрути: На щели я возлагаю некоторые надежды и в теме о шрути писал о них:Строго говоря в музыкальном ДШБ-SBT системы ЧИ-JI каждая нота окружена некоторой щелью, внутрь которой никогда не попадут никакие другие ноты, кроме внесистемных. Однако ширина щелей весьма различна. Самый наивный взгляд на распределение пустот вокруг нот ведёт к мыслям о прямой зависимости степени совершенства интервалов от размеров пустот вокруг их границ.

Появляются соображения о том, что зоны Гарбузова не должны существовать без связей с этими пустотами. Маячит гипотеза обратной зависимости ширины звуковысотных зон от ширины щелей.

Кроме того щели цепляются к моим поверхностным представлениям о вселенских тяготениях вокруг чёрных дыр.


В той музыке, которая меня трогает, тяготений не избегают. Ими умело пользуются и самые причудливые звуковые сущности не теряют способности совершать осмысленные движения. Создаётся приятная возможность вникать в суть происходящего.

Исследование путей на дереве Штерна-Броко (ДШБ):
http://www.px-pict.com/10/4/4.html

поможет прояснению Ваших интуиций. Движение по каждому древесному пути можно интерпретировать как некоторый процесс все более точного приближения к цели. Традиционная теория определенным образом классифицирует числовые отношения, через которые проходит данный путь, и нам для дальнейшего обсуждения будет полезно познакоимиться с этой классификацией. Эти отношения подразделяются на подходяшие и промежуточные; они определенным образом связаны друг с другом, обеспечивая процесс “наилучшего приближения к цели”:
http://www.px-pict.com/7/4/4/10/7/1.html

(на странице по указанной ссылке используются термины “подходящая дробь” и “промежуточная дробь” вместо терминов “походящее отношение” и “промежуточное отношение”)

[Математик]

Исследование путей на дереве Штерна-Броко (ДШБ):
http://www.px-pict.com/10/4/4.html

поможет прояснению Ваших интуиций. Движение по каждому древесному пути можно интерпретировать как некоторый процесс все более точного приближения к цели. Традиционная теория определенным образом классифицирует числовые отношения, через которые проходит данный путь, и нам для дальнейшего обсуждения будет полезно познакоимиться с этой классификацией. Эти отношения подразделяются на подходяшие и промежуточные; они определенным образом связаны друг с другом, обеспечивая процесс “наилучшего приближения к цели”:
http://www.px-pict.com/7/4/4/10/7/1.html

Давайте разберем все это на Вашем примере:

Между прочим в программе Scala есть возможность извлечения рациональных аппроксимаций частот из произвольных высот через ДШБ. Только вчера заметил этот пунктик и сегодня испытал его на высоте 339.623 cents 15-го элемента системы 53РДО. К распечатке Scala я добавил жирно формулы сонантов, которые этой высоте могут быть приписаны в рамках индийской гипотезы о шрути и ЧИП29. Вот что получилось:

1/1 0.0000 cents 1 [1;]
Distance: -339.623 cents
R 2/1 1200.0000 cents 2 [2;]
Distance: 860.377 cents
L 3/2 701.9550 cents 2^-1.3 [1;2]
Distance: 362.332 cents
L 4/3 498.0450 cents 2^2.3^-1 [1;3]
Distance: 158.422 cents
L 5/4 386.3137 cents 2^-2.5 [1;4]
Distance: 46.691 cents
L 6/5 315.6413 cents 2.3.5^-1 [1;5]
Distance: -23.982 cents
R 11/9 347.4079 cents 3^-2.11 [1;4,2] ~ :N2d
Distance: 7.785 cents
L 17/14 336.1295 cents 2^-1.7^-1.17 [1;4,1,2] ~ :Pqt
Distance: -3.493 cents
R 28/23 340.5516 cents 2^2.7.23^-1 [1;4,1,1,2] ~ :QTv
Distance: 0.929 cents
L 45/37 338.8797 cents 3^2.5.37^-1 [1;4,1,1,1,2]
Distance: -0.743 cents
R 73/60 339.5208 cents 2^-2.3^-1.5^-1.73 [1;4,1,1,1,1,2]
Distance: -0.102 cents
R 101/83 339.8065 cents 83^-1.101 [1;4,1,1,1,1,3]
Distance: 0.183 cents
L 174/143 339.6866 cents 2.3.11^-1.13^-1.29 [1;4,1,1,1,1,2,2] ~ :WDTrp
Distance: 0.064 cents
L 247/203 339.6376 cents 7^-1.13.19.29^-1 [1;4,1,1,1,1,2,3] ~ :URwq
Distance: 0.015 cents
L 320/263 339.6109 cents 2^6.5.263^-1 [1;4,1,1,1,1,2,4]
Distance: -0.012 cents
R 567/466 339.6225 cents 2^-1.3^4.7.233^-1 [1;4,1,1,1,1,2,3,2]

Distance: -0.000 cents

В этом примере фигурирует довольно-таки длинный путь:
RLLLLRLRLRRLLLR

начинающийся с корня Дерева (помеченного отношением равенства): и заканчивающийся на 15-ом уровне Дерева (на котором и расположено отношение 567 / 466, являющееся конечным пунктом приведенного пути).

Последовательность RLLLLRLRLRRLLLR следующим образом характеризует путь на Дереве. Стартуем с корня Дерева и далее, читая буквы приведенной последовательности, движемся по его красным или синим дугам. На каждом элементарном шаге движения, если читаемая буква есть R (от слова Right), то движемся по синей дуге вправо; если же читаемая буква есть L (от слова Left), то движемся по красной дуге влево.

[Математик]

Давайте разберем все это на Вашем примере:
В этом примере фигурирует довольно-таки длинный путь:
RLLLLRLRLRRLLLR

начинающийся с корня Дерева (помеченного отношением равенства): и заканчивающийся на 15-ом уровне Дерева (на котором и расположено отношение 567 / 466, являющееся конечным пунктом приведенного пути).

Среди отношений, через которые проходит на Дереве путь RLLLLRLRLRRLLLR имеются как “подходящие”, так и “промежуточные”.

Традиционная теория определенным образом классифицирует числовые отношения, через которые проходит данный путь, и нам для дальнейшего обсуждения будет полезно познакоимиться с этой классификацией. Эти отношения подразделяются на подходяшие и промежуточные; они определенным образом связаны друг с другом, обеспечивая процесс “наилучшего приближения к цели”:
http://www.px-pict.com/7/4/4/10/7/1.html

“Подходящие” отношения подразделяются еще на отношения четного порядка и отношения нечетного порядка. Подходящие отношения четного порядка образуют возрастающую последовательность, а подходящие дроби нечетного порядка – убывающую последовательность, причем эти две последовательности идут друг навстречу другу:
http://www.px-pict.com/7/4/4/10/4.html

Скоробогатько называет это “свойством вилки”:
http://www.px-pict.com/7/4/4/8/2.html

а Хованский иллюстрирует еще и соответствующим рисуночком:
http://www.px-pict.com/7/4/4/9/8.html

В рисуночек Хованского нужно вставить еще “промежуточные” дроби, о которых пишет Хинчин:
http://www.px-pict.com/7/4/4/10/7/1.html

Как промежуточные, так и подходящие дроби получаются при помощи операции медианты, то есть как и положено на Дереве.

[commator]

Среди отношений, через которые проходит на Дереве путь RLLLLRLRLRRLLLR имеются как “подходящие”, так и “промежуточные” ...

Самый жгучий вопрос: можно ли выстроить из объединения “подходящих” и “промежуточных” такой алгоритм, который мог бы окружать произвольную высоту всеми рационалами, которые могут быть найдены в заданной окрестности?

Я вижу главной задачу автоматической детемперации нотного письма. Это по сути выявление удовлетворительных для слуховой системы интерпретаций существующих партитур путём автоматической замены хороших иррациональных частот стимуляции лучшими рациональными.

Практика ручных методов решения этой задачи указывает на существование таких лучших интерпретций, где для каждой детемперированной ноты совершенно не обязательно должен быть использован рационал с минимальным расстоянием от исходного темперированного иррационала.

В некоторой окрестности вокруг каждого нотированного иррационала приходится выбирать из всех возможных рационалов такой, который лучше сочетается с другими элементами всей интерпретируемой композиции.

[commator]

Мы можем назвать указанное выше разложение произвольного рационального отношения в произведение эпиморных отношений каноническим. Оно уникально в том смысле, что на Дереве существует ровно один путь, ведущий от его корня (помеченного отношением равенства) к его узлу, помеченному данным рациональным отношением.

Среди рациональных чисел, таким образом, эпиморные оказываются очень похожи на простые среди натуральных.

Это важно для музыки, т.к. по всеобщему мнению музыка опирается не столько на ноты, сколько на интервалы, а интервалу соответствует рациональное число, не натуральное.

Любой интервал может быть единственным образом представлен как композиция эпиморных. Если пренебречь перестановочными различиями внутри композиции, разумеется.

Цепи почти точных эпиморных интервалов природа раздаёт направо и налево в виде более или менее точных натуральных скал.

[Математик]

Эпиморность крепчает.

С некоторым недоумением и даже ужасом мы замечаем, что и константа Эйлера e – эта святыня математического анализа -- опустилась на колени перед древней эпиморностью (хотя бы по той причине, что она через нее определяется).

Действительно, возьмем ли мы более классический стиль определения константы e, как он изложен, например, у Шеня:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/2/1/1.html

или же более утонченный способ определения этой константы через дерево Штерна-Броко (ДШБ):
http://www.px-pict.com/10/4/4/13/6.html

в обоих случаях мы видим, что для своего определения иррациональное отношение e заключается в неумолимо стягивающуюся к нулю “вилку”, границы которой представляют собой некоторые произведения эпиморных отношений. В случае у Шеня это будут степени некоторого эпиморного отношения, а в случае с Деревом – произведения эпиморных отношений, однозначно связанные с используемыми там последовательностями в бинарном алфавите {L, R}:

Стартуем с корня Дерева и далее, читая буквы приведенной последовательности, движемся по его красным или синим дугам. На каждом элементарном шаге движения, если читаемая буква есть R (от слова Right), то движемся по синей дуге вправо; если же читаемая буква есть L (от слова Left), то движемся по красной дуге влево.

http://www.px-pict.com/10/4/4/2.html

Каждый такой путь на Дереве, как отмечалось выше, однозначно связан с некоторым произведением эпиморных отношений:

Мы можем назвать указанное выше разложение произвольного рационального отношения в произведение эпиморных отношений каноническим. Оно уникально в том смысле, что на Дереве существует ровно один путь, ведущий от его корня (помеченного отношением равенства) к его узлу, помеченному данным рациональным отношением.

Быть может, именно на обстоятельстве, что константа Эйлера e так дружит с эпиморностью, и основан факт использования логарифмов в музыкознании?
----------------------------------

С целью лучшей ориентации в Дереве привел выдержки о нем из известной книги:
Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О.
Конкретная математика.
М.: Мир, 1998, сc. 139 — 141.
http://www.px-pict.com/10/4/4/13.html

Авторы считают, что Дерево было открыто в 1858 – 1860 гг. немецким математиком Морицем Штерном и французским часовщиком Ахиллом Броко.

[commator]

...

Любой интервал может быть единственным образом представлен как композиция эпиморных. Если пренебречь перестановочными различиями внутри композиции, разумеется.

Цепи почти точных эпиморных интервалов природа раздаёт направо и налево в виде более или менее точных натуральных скал.

Если перестановочными различиями не пренебрегать, получим большое количество ладов и мелодий из одного и того же небольшого количества выданных природой элементарных делений одного и того же интервала.

[Математик]

Среди рациональных чисел, таким образом, эпиморные оказываются очень похожи на простые среди натуральных.

Это важно для музыки, т.к. по всеобщему мнению музыка опирается не столько на ноты, сколько на интервалы, а интервалу соответствует рациональное число, не натуральное.

В принципе, эта мысль созвучна рассуждениям у Птолемея (в изложении Б. Л. ван дер Вардена):

Далее они говорят: подобно тому как существуют два основных различия тонов разного напряжения — симфонные и диафонные тона, из которых прекраснейшими являются симфонные, то и среди неравных чисел существуют два рода отношений, во-первых, так называемые сверхмерные, или как число к числу, а во-вторых, эпиморные, или же кратные (две величины находятся в кратном отношении (например, 2:1 или 3:1, если большая является кратной меньшей, а меньшая, таким образом, делителем большей; две величины находятся в эпиморном отношении (например, 3:2 или 4:3), если они имеют вид (n + 1):n для некоторого натурального числа n — прим. редактора).

Более предпочтительными являются последние, вследствии простоты сравнения, так как для эпиморных отношений избыток является как раз некоторой дробной частью целого, в то время как в кратных отношениях меньшее число содержится в большем.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/2.html#2

Если смысл интервала -- в сравнении входящих в него звуков, то эпиморные интервалы по указанным рассуждениям и будут “простейшими” (если отвлечься от существования еще и кратных интервалов).