Музыкальные системы

[Математик]

Против этого я ничего не имею. Видимо, там речь шла о более широком применении термина. Ведь, если мыслить термин в функциональном смысле, высота звука может варьироваться. Это меня и смутило. Итак, в моем понимании питч - акустическое измерение высоты.

Цель рассмотрения предложенной “решетчатой” модели была в том, чтобы найти среду, в рамках которой можно было очень просто объяснить определенные конструкции, связанные с квинтовой спиралью.
----------------------------

Базисные вектора e1 и e2 порождают абелеву группу.
Читаешь в учебнике Кострикина о группах:
Удивительно, что одна из старейших и богатейших по результатам областей алгебры, играющая фундаментальную роль в геометрии и в приложениях математики к вопросам естествознания, основываетя на столь простых аксиомах...
Группа с коммутативной операцией называется, естественно, коммутативной, а еще чаще -- абелевой (в честь норвежского математика Абеля). Самый термин "группа" принадлежит французскому математику Галуа -- подлинному создателю теории групп. Идеи теории групп "носились в воздухе" (как это часто бывает с основополагающими математическими идеями) задолго до Галуа...
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/3/2.html
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/3/1.html

и не можешь отделаться от мысли, что идеи теории абелевых групп "носились в воздухе" все же уже где-то в V веке до н. э.(и именно в теории музыки), о чем у нас была дискуссия:

Во всяком случае, та “свободная абелева группа G с бесконечным базисом”:
о которой пишет в своей книге “Лекции по теории алгебраических чисел” Э. Гекке,
была построена именно тогда (в своеобразном представлении):
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html

И, как мы видим, ее построение было мотивировано именно конструкциями теории музыки.
И не с тех ли пор пошла мода называть групповую операцию (в данном случае, это будет “операция составления отношений") "законом или правилом композиции"?
Так делает, например, тот же Э. Гекке при определении понятия группы:
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/2/5.html

[Математик]

Базисные вектора e1 и e2 порождают абелеву группу.

А вот почему множество интервалов (в данном случае, ассоциированных с квинтовой спиралью) связывается в некоторую цельность, некоторую систему, а именно – в некоторую абелеву группу, можно узнать, наверное, из теории Жана Пиаже о структурах интеллекта:
В дальнейшем П. пересмотрел этот взгляд, разработав особую логическую систему, позволяющую описать развитие психики ребенка. как трансформацию совершаемых, им действий (операций). Из системы реальных внешних действий (сенсомоторный интеллект), которые координируются в целостные системы и, превращаются в действия внутренние (Интериоризация). возникает логико-математический строй человеческого познания. Для этого действия должны приобрести особые признаки и превратиться в операции. Сенсомоторная и дооперациональная стадии сменяются операциональной. Взаимозависимость операций, их обратимость (для каждой операции имеется противоположная либо обратная ей операция) создают устойчивые и вместе с тем подвижные целостные структуры.
http://www.psychology.ru/whoswho/Jean_Piaget.stm

В группах каждый элемент именно обратим:
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/3/1.html
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/3/2.html

[vcirkov]

Цель рассмотрения предложенной “решетчатой” модели была в том, чтобы найти среду, в рамках которой можно было очень просто объяснить определенные конструкции, связанные с квинтовой спиралью.

Квинтовая спираль - образ тональной системы. Ее нельзя рассматривать как модель ПС. Об этом уже было сказано достаточно. Мы миримся со случайной терцией ПС так же, как с подобной же терцией ТС. Ну, хотя бы давайте рассматривать спираль, как систему строя и тональную систему отдельно.

[Математик]

Квинтовая спираль - образ тональной системы. Ее нельзя рассматривать как модель ПС. Об этом уже было сказано достаточно. Мы миримся со случайной терцией ПС так же, как с подобной же терцией ТС. Ну, хотя бы давайте рассматривать спираль, как систему строя и тональную систему отдельно.

Пусть квинтовая спираль будет просто квинтовой спиралью.
Но для того, чтобы мыслить ее как некоторую систему (что только единственно имеет смысл), мы должны переключить свое внимание с объектов квинтовой спирали (звуки, интервалы) на операции, которые можно с ними производить.

Точно так же, как и при рассмотрении арифметики:
http://dxdy.ru/topic23869.html

Боюсь, что Вы тоже ничего не слыхали о столах, стульях и пивных кружках:
http://ega-math.narod.ru/Reid/p2.htm#08

[vcirkov]

Пусть квинтовая спираль будет просто квинтовой спиралью.
Но для того, чтобы мыслить ее как некоторую систему (что только единственно имеет смысл), мы должны переключить свое внимание с объектов квинтовой спирали (звуки, интервалы) на операции, которые можно с ними производить.

А что, - разве нельзя определиться в каком спектре мы работаем? Что значит просто спираль? Если речь идет о названиях нот, это одно, а если о строе (величина квинты), - другое. Если же речь идет о чем-то третьем, тогда подскажите о чем? О каких операциях идет речь?

[vcirkov]

Вы извините, но тут — некоторая путаница.

Кажется, Вы еще больше все запутали. Вы говорите о том, что Pitch "одна из характеристик восприятия звука (в отличие от частоты — собственного физического параметра звука), имеющая наибольшую корреляцию с частотой звука". И здесь же: "В музыке измеряется в музыкальных интервалах (октавах, полутонах, центах)". Как может измеряться высота физического параметра по функциональному значению интервала? Опять отождествление материального и идеального.

[DJ Хруст]

Кажется, Вы еще больше все запутали. Вы говорите о том, что Pitch "одна из характеристик восприятия звука (в отличие от частоты — собственного физического параметра звука), имеющая наибольшую корреляцию с частотой звука". И здесь же: "В музыке измеряется в музыкальных интервалах (октавах, полутонах, центах)". Как может измеряться высота физического параметра по функциональному значению интервала? Опять отождествление материального и идеального.

Извините, vcirkov, сформулируйте пожалуйста яснее Ваш вопрос. Я не понял, что такое «высота физического параметра». Какая у физического параметра может быть «высота»?
Интервал здесь имелся в виду исключительно как «расстояние» между звуками по высоте безотносительно какой-либо функции.

[vcirkov]

Я не понял, что такое «высота физического параметра». Какая у физического параметра может быть «высота»?

Я только процитировал Ваше же сообщение:

Pitch — высота. Одна из характеристик восприятия звука (в отличие от частоты — собственного физического параметра звука), имеющая наибольшую корреляцию с частотой звука. В музыке измеряется в музыкальных интервалах (октавах, полутонах, центах), в некоторых писхоакустических исследованиях, применяется специальная единица — мел.

Интервал здесь имелся в виду исключительно как «расстояние» между звуками по высоте безотносительно какой-либо функции

Хорошо, но интервал, даже если мыслить его созвучием (без названия нот), может строится с большими отклонениями по высоте в разных системах строя. Если это не имеет особого значения, следовательно Pitch по-Вашему - величина примерная.

[DJ Хруст]

Я только процитировал Ваше же сообщение:

Извините, но в цитате нет словосочетания «высота физического параметра». Это словосочетание — нонсенс. Пожалуйста цитируйте внимательнее.

Хорошо, но интервал, даже если мыслить его созвучием (без названия нот), может строится с большими отклонениями по высоте в разных системах строя. Если это не имеет особого значения, следовательно Pitch по-Вашему - величина примерная.

Хорошо, формально Вы правы, тем не менее, я детализировал, что именно здесь имею в виду под интервалами — октавы, полутоны, центы.
Уточню, чтобы не было разночтений.

Октава — та, которая соответствует отношению частот тонов 2/1.
Полутон — исключительно РТ, соответствующий отношению частот 2 ^ (1/12)
Цент — 2 ^ (1/1200).

То есть имеются в виду абсолютно точные интервалы, с учётом строя,
а не относительные интервалы как часть ладовой системы, «конкретное воплощение» которой меняется от переноса в другой строй.

Теоретически высота может измеряться не только в этих трёх, но и в других («абсолютных») интервалах. Главное, чтобы эти величины отражали логарифмическую структуру нашего восприятия, т. е. чтобы одинаковые отношения частот при прочих равных условиях соответствовали одинаковой величине. Тогда она может служить для представления высоты.


Для примера приведу формулу цента:

f₂ / f₁ = 2^c/1200

или

c = 1200 log₂ (f₂/f₁)

где f₁, f₂ — соответственно частоты нижнего и верхнего звуков интервала, c — расстояние между ними в центах.

[DJ Хруст]

Кстати, насчёт «физического параметра». Я так всё ещё и не понял, что Вы имели в виду, но на всякий случай напомню, что высота (в отличие от частоты) — не физический, а психоакустический параметр, т. е. вид ощущения звука.

Ощущение высоты звука больше всего коррелирует с частотой звука (физический параметр — это именно частота, а не высота) по вышеописанному закону. Тем не менее, есть и другие факторы, которые, путь и незначительно, влияют на высоту тона, например, уровень звукового давления, форма волны. Поэтому в психоакустике для точного значения высоты применяются специальные единицы — мелы. Они вычисляются с помощью тестовых групп слушателей (немузыкантов), которым даются разные близкие по частоте тоны, и они пытаются отличить, который из них выше.

Думаю, здесь Вы найдёте полную информацию о природе высоты: И. А. Алдошина. Основы психоакустики. Часть 1 // Звукорежиссёр. 1999 № 6.