Про обертоны и Хиндемита

[Olorulus]

Отмечу, что у всех, кто узнавал и узнаёт о музыке из советской литературы, обертон не только верхний тон обозначает, но и любой элемент натурального звукоряда, начиная с первого. Этот звукоряд нередко даже и называют по-русски обертоновым. Не знаю, кто в этом виноват, но так сложилось, а как дальше пойдёт, зависит не столько от страстного желания германофилов, столько от степени удобства того или иного способа нумерации.

Да почему "советской"-то? Вот далась Вам советская власть... Вместо того чтобы громить "порочное советское музыкознание", потратьте время на изучение справочной литературы, ведь столько раз уж не просил даже, а умолял!

Уйдите в затвор, наконец,... хотя бы на месяц и для начала просто ознакомьтесь с тем положением, которое сложилось в науке и получило отражение в крупнейших отраслевых энциклопедиях и справочниках (RML, MGG, NGD и им подобных) -- вместо того, чтобы порождать пустые лишние сущности и гоняться за "призраком коммунизма".

Народ Вам будет благодарен.

[-Бу-]

Прошу прощения, что давно не появлялся - времени не было.
Спасибо всем участникам дискуссии за прояснения в этой области, которых я, собственно, и искал, особенно уважаемому Dmitrii, который гораздо точнее изложил то, что пытался сказать я. Конечно, без всяких споров я согласен именовать гармоники гармониками, раз это точнее - я просто именовал их в точности так, как меня учили (совсем, надо сказать, недавно). Подытоживая:

1) Тритон - диссонанс, поскольку от нижнего звука совпадает лишь в 7-й гармонике, не входя в первые 6.
2) Вопросы малой терции и малой сексты решаются путём обращения интервалов - согласен, это действительно имеет смысл и всё упрощает.
3) Вопрос кварты - действительно очень интересный. Кварту через октаву я слышу как диссонанс, а через 2-3 октавы ещё больше, что меня удивляло ещё в детстве. Насколько я понимаю, проблема в том, что 3-я гармоника достаточно слышна для того, чтобы с этой квартой вступать в секундовые соотношения.
4) Возможна ли иерархия диссонансов по той же логике? Думаю, да, и тогда получается, что тритон и малая септима наиболее консонантые среди диссонансов, далее большая секунда, большая септима и малая секунда. Так? И, стало быть, Хиндемит всё же заблуждался насчёт тритона?
5) Меня не оставляет беспокойство по поводу того, что разностный тон большой терции в равномерной темперации даёт большую септиму. Возможно, это не единственный такой случай? Не значит ли это, что действительно пора массово менять строй на более приемлемый? И почему при этом мы продолжаем слышать большую терцию как консонанс?

[commator]

... потратьте время на изучение справочной литературы ...

Как хорошо, что судьба не Вас дала мне в педагоги-наставники. Если у Вас есть студенты, мне искренне их жаль.

[commator]

... Вопрос кварты - действительно очень интересный. Кварту через октаву я слышу как диссонанс, а через 2-3 октавы ещё больше, что меня удивляло ещё в детстве. Насколько я понимаю, проблема в том, что 3-я гармоника достаточно слышна для того, чтобы с этой квартой вступать в секундовые соотношения ...

!
Спасибо за ценные сведения, вынесенные Вами из собственного опыта и особенно за достойную внимания попытку объяснить их публично.

[Zub01]

... потратьте время на изучение справочной литературы, ведь столько раз уж не просил даже, а умолял!
....
Уйдите в затвор, наконец,... хотя бы на месяц
.....
Народ Вам будет благодарен.

Народ был бы безмерно благодарен, безусловно... Но, боюсь, эти воззвания, некоторым образом, направлены в пустоту : когда полуобразованные агрессивные невежды, мнящие себя чуть ли не "учёными исследователями", получают - совершенно неконтролируемо со стороны специалистов - общественный канал для извержения потока словоблудия - сколь интенсивного, столь же и бессмысленного - заткнуть сей поток очень сложно. A propos, никакого "неуважения" тут нет, если что.

Для тех, кто был вдруг смущён, еще раз повторю: нумерация обертонов и нумерация гармоник НЕ совпадают: "номер обертона" на единицу меньше номера гармоники; при этом, для общего единства, основной тон (1-я гармоника) считается "нулевым обертоном". Также чётные гармоники соответствуют нечётным обертонам, и наоборот.

В частности, в русской википедии написана безграмотная чушь (про то, что 1-й обертон = основной тон). Возможно, это было списано с иностранных источников, где слово Naturton или harmonics было переведено произвольно как "обертон".

Это замечание (о различии нумераций гармоник и гармонических обертонов) в явном виде присутствует не только в советской справочно-научной литературе, но даже и в каких-то здравых интернет-ресурсах (русских), посвященных полулюбительской "компьютерной композиции" (ссылки легко найти, я этого делать не буду). Это же замечание мне много лет назад, например, сделал доцент кафедры акустики (одной из ) физфака МГУ, когда я пришёл туда, начитавшись популярных книжек для юношества, и сказал об октавном "втором обертоне". Это же замечание мне буквально на днях пришлось увидеть, когда я перечитывал старое (первое) издание книги В. Порвенкова о настройке музыкальных инструментов. (Понятно, что это лишь первые пришедшие в голову примеры.)

Теперь собственно о деле. Терминология "1-я гармоника = 1-й обертон, 2-я гармоника = 2-й обертон" и так далее плоха не только из-за дефиниций (что "обер", "over" - "над"). Дело в том, что в строгом смысле утверждение "обертоны совпадают с гармониками" (здесь пока БЕЗ вопроса о нумерации) неверно. Именно, "обертон" - "над-тон", "дополнительный призвук с самостоятельной частотой" - не обязан быть гармоническим. Это значит, что его частота необязательно кратна основной частоте. Обертоны, частоты которых кратны основной частоте (т.е. которые совпадают с гармониками, начиная от 2-й) называются гармоническими, иначе - негармоническими.

Негармоничность обертонов (особо ярко проявляемая, например, в нижних струнах фортепиано из-за большой жёсткости) есть причина хитростей слуховой (субъективной) настройки, когда реально струны оказываются настроены НЕ в "математически верной" равномерной темперации - из-за того, что биения негармонических обертонов не соответствуют формально-математической модели биений гармонических обертонов. Следует также помнить, что математическое доказательство существования гармонических обертонов (кратных основному тону) основывается на предположении "идеальности" источника колебаний, например "идеальности" струны (без жёсткости и др.) Реальность гораздо хуже, обертоны негармоничны относительно часто, особенно в источниках звука "крайних регистров". Хотя, конечно, в очень многих случаях (напр. в некоторых органных трубах, тонких необмотанных струнах) обертоны - гармонические (или очень-очень несущественно отличаются от них).

Короче говоря, это я к тому, что в строгом смысле надо говорить о совпадении гармоник и гармонических обертонов, а не "вообще обертонов". У некого источника звука может быть "октавная гармоника" (т.е. формально-математический источник с частотой в два раза больше основного тона), но 1-й обертон (негармонический) может быть НИЖЕ частоты 2-й гармоники, и при этом в спектре НЕТ никакого обертона, который звучит "октавно".

Далее, например, в муз. энц. словаре (МЭС - это "советское" издание!) 1990 (или 1991, что ли) года нигде не говорится о "нумерации обертонов", начиная от основного тона как первого. Говорится о гармониках и гармонических обертонах. Имеется понятие "натурального звукоряда", ступени которого занумерованы соответственно номерам гармоник (т.е. 1-я осн. частота, 2-я - октава и т.п.). При этом отдельно на схеме отрисовано, что натуральный звукоряд состоит а) из основного тона (первая ступень нат. звукоряда) и б) обертонов (вторая (!) ступень и далее). При этом говорится о "номерах ступеней натурального звукоряда", а не "номерах обертонов" (которые вообще не при делах) - именно так, что логично.

Еще раз далее, в немецкой литературе есть понятие Naturton (их нумерация начинается от 1-цы, первый Naturton - это основной тон, 2-й - октавный и т.п.). Это собственно, ровно то, что соответствует "ступени/тону натурального звукоряда" в упомянутом выше МЭСе (с соответствующим номером). Естественно, Naturton отличается от Harm. Oberton'а именно номером.

В таблице интервалов Римана (см. частичное воспроизведение на русском языке в "серой гармонии" Холопова - http://www.kholopov.ru/harmony/harm-app3.pdf , 200КБ) - как раз упоминаются Naturton'ы (переведенные как "тоны натурального звукоряда") *) Это корректная терминология.

Для общих рассуждений с "натуральным звукорядом" **), если нужна нумерация 1,2,3..., начиная от основного тона и далее по кратным частотам - нужно использовать термин "гармоника". Повторюсь, в том числе и потому, что "гармоника" не зависит от "обертона", который может быть негармоническим. В английских книжках это называется "harmonics", что должно переводиться как "гармоника" либо "гармонический обертон", но если контекст не увязан на нумерацию.

Что касается "обертонов" с неверной нумерацией, к сожалению, встречающихся в русскоязычных книгах, что делать, это от некоторой безграмотности, "жаргонно-бытового употребления", которому не нужно следовать. (Наконец, даже в русской википедии отмечено, что определенные биения некоторые настройщики называют "обертонами", ну и что с того, что это всего лишь "жаргонизм").

А, кстати, сейчас просмотрел статью в ру-википедии (http://ru.wikipedia.org/wiki/Обертон ). Но вот интересно, что спёртая откуда-то КАРТИНКА имеет в принципе ПРАВИЛЬНУЮ подпись: "Колебания идеальной струны. Реальные колебания составляются из указанных. 1 — основной тон, 2—5 — обертоны". Именно так. Здесь "номера" - это номера на картинке, и нумерация этих колебаний соответствует именно тому, что написано. "Внутренняя нумерация" обертонов будет от единицы.

Сноски:
*) При пользовании этой таблицей интервалов следует помнить, что "натуральный интервал" там сводится к интервалу в пределах октавы (т.е. подъёмом основного тона на нужное количество октав). Например, "17-му тону натур. звукоряда" соответствует интервал 17/16 (в знаменателе берётся наибольшая степень двойки так, чтобы получаемое отношение не превосходило 2).

**) Удивительна (и распространяемая некоторыми лицами) безграмотность существует и в отношении "натурального звукоряда", который путается с "чистым" (квинто-терцовым, звукорядом Дидима-Птолемея-Царлино-Салинаса). Но это отдельная тема .

[commator]

... Уйдите в затвор ... Народ Вам будет благодарен.

Народ был бы безмерно благодарен, безусловно...

Не торопитесь свои чаяния народными величать. Однако пара недель моего отсутсвия у вас будет. Но я не в затвор ухожу, а в непосредственное международное общение.

Холопов, оказывается, не по-немецки нумерует:

<<... квинта (g) образует с 3-м обертоном совершеннейший консо­нанс ...>>

Это из его учебника Гармония. Теоретический курс. Глава 2, раздел 3.

Я вот не знаю, упоребляет ли Холопов словосочетание

...Обертоны, частоты которых ...

но для меня обертон может иметь лишь высоту. Иметь частоту - привилегия гармоник.

[Zub01]

К сожалению, БСЭ: ...

Я знаю, да, это к сожалению (так же и в некоторых других словарях, но именно некоторых). Действительно, основной тон условно относят к обертонам (чтобы каждый раз не таскать выражение "основной тон и обертоны", имея нумерацию), но не попишешь ничего - его "условность" выражается в том, что он становится "нулевым".

Ну и потом там путано насчёт "соотношений простых чисел" . Человек может заглянуть в статью "простое число" и уже случится полный когнитивный диссонанс .

Собсно, Риман/Гельмгольц имеют концепцию "частичных тонов" (парциальтон), что тоже употребляется по-русски. (Более точно было бы "частных" от слова "часть" - тут имеется в виду не "часть струны" 1,2,3, а именно "часть колебательного процесса"). Соответственно, основной тон является 1-м частичным тоном ("главной" частью колебательного процесса), а 2-й частичный тон есть 1-й обертон, что явно пишет, скажем, Риман. Таким образом, гармонические частичные тоны - то же самое, что гармоники (с точностью до нумерации ).


(Собсно, у Гельмгольца обертон - это именно сокращение от оберпарциальтон - имелось в виду, что частичные тоны - это "всё вместе", а оберпарциали - для отделения от основного). В результате это выросло в самостоятельное определение, и вызвало при заимствованиях музыкантами в Россию путаницу (возможно, так). Эллис (переводчик Гельмгольца и изобретатель центовой шкалы) предупреждал вообще о том, чтобы не использовать термин "обертон" . Попозже найду точное место (см. On the sensation of Tone - англ. перевод Гельмгольца Эллисом).

Возможно (я посмотрю точно попозже) слово harmonics было изобретено тоже Эллисом, а немцы импортировали его взад под названием die (!) harmonische.

P.S. Интересно, что почти во всех википедиях (разных языков) приведено различие, например:

f 440 Hz tom fundamental primeiro harm&#244;nico
2f 880 Hz primeiro sobretom segundo harm&#244;nico
3f 1320 Hz segundo sobretom terceiro harm&#244;nico
4f 1760 Hz terceiro sobretom quarto harm&#244;nico

Только русская википедия отличилась . (в украинской специально это не оговаривается, но ошибок вроде нет).

P.P.S. ВНИМАНИЕ! ЭТО ВООБЩЕ К НАЧАЛЬНОМУ ПОСТУ ПОТОКА. Прошу обратить внимание, что по ссылке, приведённой в 1-м посте написано "Теория рядов Хиндемита". Это какая-то терминологическая путаница. "Теория рядов" не связана никак с Хиндемитом. "Теория рядов" - это совсем, совсем другое. (Это крайне, крайне неудачный перевод термина (Musical) Set Theory, см. напр. кратко http://en.wikipedia.org/wiki/Set_theory_(music)).

[Dmitrii]

А я все о своем. Добавлю еще несколько слов по поводу иерархии интервалов, представленной в сообщении #17.
Сочинил вот простую формулу для определения уровня консонантности интервала, представляемого несократимой дробью m/n (*).
Прежде чем дать саму эту формулу, надо сначала ввести одну вспомогательную величину - наибольший нечетный делитель числа n. Это самое большое натуральное число, на которое число n делится без остатка. Будем обозначать его n'.
(Если число n - нечетное, то оно само и является своим наибольшим нечетным делителем, т.е. n'=n. Если же n - четное, то надо поделить его на 2, и если получится нечетное число, то оно и есть наибольший нечетный делитель, а если четное - то опять поделить на 2, и так до тех пор, пока не получится нечетное.
Например: n=7, n'=7; n=6, n'=3; n=8, n'=1.)
Аналогично, наибольший нечетный делитель числа m будем обозначать m'.
Так вот, уровень консонантности интервала, представляемого несократимой дробью n/m, равен

k=(max(n',m')+1)/2.

Здесь max(n',m') обозначает большее из чисел n' и m'.

Например: n/m=68/11, n'=17, m'=11, k=(17+1)/2=9.

(*) Это в общем-то и не формула даже, а так, формулка. Да и наверняка сочинена она была уже давным давно. Так что, это я просто велосипед изобретаю, в порядке культурного досуга .

[Zub01]

Сочинил вот простую формулу для определения уровня консонантности интервала, представляемого несократимой дробью m/n (*).

Про формулу для Gradus Suavitatis Эйлера (мера "благозвучия"/"приятности" интервала) знаете? (Это на самом деле сильно отличается от Вашей формулы, но "идеология" меры, хотя основанная на другом принципе, отчасти сходна)

[Dmitrii]

Ну да, я понимаю, что какую науку не возьми, в ней непременно обнаружатся какие-нибудь формулы Эйлера! Про его изыскания в области музыкальной акустики я немного знал, про его слова, что музыка уже научилась, или должна научиться считать до семи и т.п., но про Gradus suavitatis не знал. Спасибо. Сейчас вот посмотрел. Забавно! Правда, конечно, у него там всякие противоречия с традиционными взглядами возникают, типа что малая терция оказывается менее благозвучной, чем целый тон. Понятное дело, малую терцию всегда третировали, но не до такой же степени, это ж просто открытый призыв к бунту. А у меня все тихо, мирно, математика низведена до роли служанки элементарной теории музыки.

Про Эйлера вот я забыл, но зато наткнулся на другой замечательный сюжет. Джованни Баттиста Бенедетти (1530-1590) - интереснейший тип, о котором я раньше ничего не знал. Математик и философ герцогов Пармы и Савойи, среди многого прочего чем он занимался, он задолго до Галилея, еще до его рождения, исследовал падение тел и пришел к выводу о независимости скорости падения от массы. Опять-таки еще до рождения Галилея, в 1563г. он написал два письма Чиприано де Роре, где впервые в истории науки высказал соображение, что высота звука определяется частотой колебаний струн, а ощущение консонанса связано с периодическим совпадением этих колебаний. Но, увы, письма оставались неопубликованными до 1585г., и только после этой запоздалой публикации о них узнал, среди прочих, например, Мерсенн и стал обсуждать и развивать эти идеи в переписке со своими многочисленными учеными друзьями (*)...

Так вот, Бенедетти там предложил и "меру благозвучия" интервала, представляемого несократимой дробью n/m. Просто произведение n*m.

(*) А еще он рассчитал дату своей смерти в 1592г., но умер на самом деле в 1590, и когда понял, что умирает, то тщательно проверил свои вычисления и пришел к выводу, что ошибся потому, что использовал в расчетах неверное время рождения - с ошибкой в четыре минуты .