Математическое описание модели внутреннего объема корпуса смычкового инструмента скрипичного семейства

[Искатель]

покопался в интернете и нашел вот это: Лекало переменной кривизны — это обычно стальная полоса (линейка) с устройством, изменяющим её кривизну.

А форму какой кривой принимает эта полоса (линейка) или же струна? Клотоида ли это?

[murom]

А форму какой кривой принимает эта полоса (линейка) или же струна? Клотоида ли это?

Картинок не нашел, но думаю, что все зависит от способа крепления концов этой линейки на держателе. Можно по-разному крепить, чтобы получать разные результаты. Кривые же чертежнику любые нужны.

[Искатель]

а еще знать как гнуть.

Именно. Точки надо установить. Надо проверить на шаблонах, установить - где всё-таки эти точки

все формы инструментов чертили через гнутье струны или линейки... А ведь эти картинки могли бы убедить скрипичных мастеров в правоте моей догадки.

Сергей Витальевич, у Вас есть аргумент куда более убедительный - trace method! Вы объяснили откуда полукруглые впадинки на формах - это следы от установочных "колков" для струн. Это супераргумент!

Ещё вот вопрос по эсам, правда, в книге завис. Там ручкой надо струнку прижать, а то не входит в линию эса. А где опять же? А в той точке, где на деке ямка от ножки циркуля. Да, я знаю, это для эфов. Но может быть и не только. Когда рамка снималась с формы на клёцах ее можно было закрепить за шпеньки, а в талии? А в талии были то ли иглы, то ли что - некие удерживатели эсов. Этим фактором можно объяснить широкоталиевые скрипки, построенные по форме G 1708 (c шириной талии 114). Метод исследования следов - он очень значим. это сильнее аналогий

Картинок не нашел, но думаю, что все зависит от способа крепления концов этой линейки на держателе. Можно по-разному крепить, чтобы получать разные результаты. Кривые же чертежнику любые нужны.

да, это понятно. Просто я к чему клоню: если линия, которая вверху эфа как одна клотоида, а внизу - как другая, то это вовсе не клотоида. А какая-то другая кривая.
Это как про катены: считалось, что парабола, пригляделись - нет, другая кривая. Так и тут. Гнутая струна занимает разные положения, одно из них - клотоида. Но не единственное выходит. Значит, есть класс линий, определяющих форму изогнутой струны, к нему относится клотоида. Но для эфов нужна другая кривая из той группы, совмещающая кусочки двух клотоид - диклотоида что-ли назвать ее. Как-то так, правда ведь?

[murom]

да, это понятно. Просто я к чему клоню: если линия, которая вверху эфа как одна клотоида, а внизу - как другая, то это вовсе не клотоида. А какая-то другая кривая.
Это как про катены: считалось, что парабола, пригляделись - нет, другая кривая. Так и тут. Гнутая струна занимает разные положения, одно из них - клотоида. Но не единственное выходит. Значит, есть класс линий, определяющих форму изогнутой струны, к нему относится клотоида. Но для эфов нужна другая кривая из той группы, совмещающая кусочки двух клотоид - диклотоида что-ли назвать ее. Как-то так, правда ведь?

Все дело в том, что теоретически я подошел двумя путями к этой проблеме: чертить через клотоиды и через гнутье струны. И при названии кривых одного или другого метода не нужно перекрестных названий. Если математика и геометрия - то это клотоиды, т.к. они не плохо описывают кривизну форм скрипки и эфов. Если проволока, то не стоит говорить про клотоиду, хоть многое похоже. Просто: согнутая проволока.
Все дело в том, что и другие мастера чертили при помощи проволоки, но их формы были другими, не совсем клотоидными. все зависит от метода держания этой проволоки. Вот от этого метода и получаются разные кривые.

[Искатель]

Все дело в том, что теоретически я подошел двумя путями к этой проблеме: чертить через клотоиды и через гнутье струны. И при названии кривых одного или другого метода не нужно перекрестных названий. Если математика и геометрия - то это клотоиды, т.к. они не плохо описывают кривизну форм скрипки и эфов. Если проволока, то не стоит говорить про клотоиду, хоть многое похоже. Просто: согнутая проволока.
Все дело в том, что и другие мастера чертили при помощи проволоки, но их формы были другими, не совсем клотоидными. все зависит от метода держания этой проволоки. Вот от этого метода и получаются разные кривые.

Ну вот - подтвердили мои догадки. Разные линии. А какая геометрия этих линий? кто они? Какие кривые образует согнутая проволока? Что такое согнутая проволока с точки зрения геометрии?

[murom]

Ну вот - подтвердили мои догадки. Разные линии. А какая геометрия этих линий? кто они? Какие кривые образует согнутая проволока? Что такое согнутая проволока с точки зрения геометрии?

Если проволоку закрепить горизонтально и она провиснет свободно, то такое решается уравнениями прогиба балки по теории упругости.
Если проволоку закрепить вертикально, то она провиснет вниз уже по другой форме. И при изменении угла наклона проволоки будет меняться и ее форма.
Если проволоку закрепить горизонтально, а другой конец по горизонтальной же поверхности закручивать вокруг точки крепления, то получится клотоида.
Если закручивать не по окружности, а с оттягиванием в сторону, то кривая хоть и будет похожа на клотоиду, но будет немного другая.
Цитата из моей книги:
В отверстие, просверленное в доске для будущего шаблона на вертикальной линии симметрии, вставляется скрипичный колок так, чтобы маленькая дырочка для струны была точно на поверхности доски (рис. 6). В эту дырочку вдевается любая очень упругая струна, которая удерживается колком в заданном положении. Одной рукой мы изгибаем струну в нужном направлении, а другой очерчиваем кривизну струны карандашом. Как видно на фотографии, струна полностью повторяет контур клотоиды.

Рис. 6. Моделирование верхнего овала скрипичного шаблона от центрального отверстия. Нелишне будет заметить, что в этом деле очень важен правильный угол разворота колка, удерживающего струну. Поворачивая колок в ту или иную сторону, мы тем самым изменяем конфигурацию струны, а вместе с ней и форму будущего шаблона. В нашем случая струна проходит сквозь колок под углом 54 градуса к вертикальной линии.

Мне кажется, что положение этих отверстий определялось по опыту и не имело строго определенного места. На страдивариевских шаблонах мы видим остатки от этих отверстий самого разного размера: от глубоких вырезов (модель В-3/6/1692 года) до маленьких лунок (модель SL), и их полного отсутствия. Это объясняется различным расстоянием между отверстием и краем патрона.

На следующей фотографии (рис. 7) я проверяю возможность моделирования верхнего овала, вставляя колок в отверстие, расположенное не на оси симметрии. Как видно, здесь это происходит с большим успехом, так как в этом случая струна захватывает область верхнего клеца, чего не делала клотоида и предыдущий опыт со струной. В обоих случаях струна очень точно повторяет контур шаблона, только сейчас она проходит сквозь колок под углом 60 градусов к вертикальной линии.


Рис. 7. Моделирование верхнего овала скрипичного шаблона от крайнего отверстия.

[Искатель]

murom
> Если проволоку закрепить горизонтально и она провиснет свободно...
То это будет катенария

> Если проволоку закрепить вертикально
То это тоже будет кривая, но другая, а именно - ...

> Если проволоку закрепить горизонтально, а другой конец по горизонтальной же поверхности закручивать вокруг точки крепления, то получится клотоида
... или диклотоида (в случае двойной закрутки)

> Если закручивать не по окружности, а с оттягиванием в сторону, то кривая хоть и будет похожа на клотоиду, но будет немного другая
..., сходная с дугой эллипса

> в этом деле очень важен правильный угол разворота колка, удерживающего струну... под углом 54 градуса
Сказано, что угол закрепления струны очень важен, названо точное значение
но в то же время - соседняя фраза:

> положение этих отверстий определялось по опыту и не имело строго определенного места
Как так-то? Странно ведь. Углы - значит, точные, а от каких точек эти углы - это типа наугад.
Страдивари - наугад? не верю

> Это объясняется различным расстоянием между отверстием и краем патрона.
А какое это расстояние? Как оно отмечалось для каждой формы? Как найти эти точки? Какое построение для этого нужно?
Эти вопросы обойдены оказались. А они ведь очень важные.

[Искатель]

Там целый класс кривых, которые, думаю, можно описать математически

Вот-вот-вот. В этот класс входят катенария (если физ. модель - это нитка или цепочка, то есть гибкий объект) и клотоида (если струна - то есть жесткий объект). Но если струну изогнуть по букве S, то она повторит в нижнем изгибе кусочек одной клотоиды, а в верхнем плавно перейдет в клотоиду другого масштаба. Что это за кривая такая? Я бы назвал ее диклотоида, но вдруг у нее другое название есть?

[murom]

То есть, это описание как на практике удобнее начертить кривую. К клотоиде результат имеет весьма косвенное отношение: если она и получалась, то случайно. Там целый класс кривых, которые, думаю, можно описать математически, но это не будет формула клотоиды.

Аматор, чтобы было более понятна моя мысль, опишу ее очень кратко, не размазывая по нескольким страницам главную идею:
1 - контуры кривых скрипок разных мастеров отличны друг от друга.
2 - все эти контуры можно начертить, используя изгиб струны.
3 - контуры скрипок Страдивари ближе всех остальных мастеров описываются клотоидой.
Как я это определял:
1 - сначала анализировал контуры скрипок при помощи клотоиды. Это я начал делать еще в 1980 году. И обнаружил, что только инструменты Страдивари легко прочерчиваются клотоидами. У остальные мастеров эти кривые не совсем похожи на клотоиды (у кого-то ближе, у кого-то дальше).
2 - потом делал это же, но с гибкой струной. Гибкую струну, как анализ геометрии скрипок, я начал использовать в 2002 году. И обнаружил, что со струной я могу повторить любую скрипку любого мастера - нужно только найти способ удержания струны руками.
Так как скрипки Страдивари легко очерчиваются клотоидой, то сделал вывод, что он нашел более естественный способ изгибания струны, который естественным образом повторял контур клотоиды. А случайно это или закономерно, меня не интересует. Гении по своему подходят к идеальным формам того, что они делают. Если мир признал, что геометрия Страдивари наилучшая, а она еще и похожа на клотоиду, то вывод только один - гений пришел к идеальной форме правильным путём!
Во всяком случае, тот бред, который пишут мастера, начиная от Багателлы и кончая Саккони, о подборах радиусов циркуля для вычерчивания контурных кривых скрипки, не имеет под собой ни практического, ни теоретического смысла. Бред - одним словом.

[Искатель]

нужно только найти способ удержания струны

Конечно, надо найти этот способ. Точнее даже не способ (способ-то в книге есть), а точное положение точек удержания струны применительно к разным формам Страдивари

2 - все эти контуры можно начертить, используя изгиб струны.
3 - контуры скрипок Страдивари… описываются клотоидой

Но из этого не следует, что все клотоидообразные формы, которые принимает изогнутая струна – это клотоиды. Для моделирования с помощью одного колка - это клотоида. Для моделирования с двух колков (эсы) – это дуга эллипсоида, похоже. А для эфов струна изгибается в противоположных направлениях как S – двойная клотоида (диклотоида)

бред, который пишут мастера, начиная от Багателлы и кончая Саккони

Оказывается, были у того метода последователи. Дэвид Вудроу, например. Как по Саккони, но ещё более циркульный, квадратно-гнездовой метод. Я выбросил его книжку, невозможно читать. Самые дурные схемы этого ложного метода, крайняя степень развития. Получается так: Багателла – Саккони – Вудроу.

о подборах радиусов циркуля для вычерчивания контурных кривых скрипки

А теперь крамольную мысль скажу: а клотоида – это тоже ведь подбор радиусов.
Одно различие: у тех трех товарищей это всё искусственно делалось – козьей ножкой черчено, а у Страдивари (и вообще в итальянской традиции фигурных линий) естественным путем сформировано. Так что важен не сам факт дуг окружности (любая кривая линия – это набор таких дуг, это доказательство гипотезы Пуанкаре в двухмерном многообразии), значим способ их получения – искусственный подбор-подгадывание или поиск естественных очертаний натуральным способом