Музыкальная гармония: новый путь развития

[commator]

Там это не выделено отдельным пунктом, но написано вполне ясно. Кунин ведёт счёт по узлам пересечения графиков колебаний обертонов/унтертонов, а в первом обертоне число таких узлов, естественно, равно 0...

А вот и неясно.

1. Во всей статье я не заметил, где Кунин ведёт какой-то счёт, относящийся к нумерации.
2. Речь идёт об узловых точках а не об узлах пересечения, а начальные точки пересекающихся лучей разве не узловые?

   ... Если частота основного тона (0) равна f, то частота обертонов равна 2f, 3f и т.д., а частота унтертонов -2f, -3f и т.д. По-моему, написано именно это.

3. Не понял, что означает частота основного тона (0), и как нулевая частота может быть тоном? Для слуха это просто постоянное давление на барабанную перепонку ощущения высоты не вызывающее.
4. Если идёт речь о 2f, 3f и т.д., и о -2f, -3f и т.д., то куда девать 1f и -1f?

Будьте снисходительны к моей въедливости и поясните всё как можно детальнее. Мне очень хочется понять почему столь необходимо 3-ю гармонику называть 2-м обертоном, а 3-ю субгармонику 2-м унтертоном и как может способствовать осознанию этой необходимости замечательная статья Кунина?

[Filin]

А вот и неясно.

1. Во всей статье я не заметил, где Кунин ведёт какой-то счёт, относящийся к нумерации.
2. Речь идёт об узловых точках а не об узлах пересечения, а начальные точки пересекающихся лучей разве не узловые?
3. Не понял, что означает частота основного тона (0), и как нулевая частота может быть тоном? Для слуха это просто постоянное давление на барабанную перепонку ощущения высоты не вызывающее.
4. Если идёт речь о 2f, 3f и т.д., и о -2f, -3f и т.д., то куда девать 1f и -1f?

Будьте снисходительны к моей въедливости и поясните всё как можно детальнее. Мне очень хочется понять почему столь необходимо 3-ю гармонику называть 2-м обертоном, а третью субгармонику 2-м унтертоном и как может способствовать осознанию этой необходимости замечательная статья Кунина?

Начну с конца. Гармоники у Кунина - объективное явление, образующее тембр звука. Обертоны/унтертоны - явление, возникающее в ухе и зависящее от нелинейности среды. Поэтому величина интервалов между обертонами может изменяться. В данном конкретном случае величина частот 2-го обертона и 3-й гармоники - это просто совпадение, т.к. Кунин взял нелинейность равной 15, т.е. ограничился 4-мя октавами. Если бы она была большей, величина частот бы не совпадала.
Остальное - неточности моей записи. Разумеется, надо было написать "узловые точки", что и означает по Кунину точки совпадения гармоник (и их графиков).
0 - точка условная, и цифра 0 в скобках просто значило обозначение Куниным основного тона, а не величину частоты. Частота его равна f (=1f), а где -f, я не нашёл. Возможно, Кунину следовало бы написать, по логике вещей, (f).

[commator]

...0 - точка условная, и цифра 0 в скобках просто значило обозначение Куниным основного тона, а не величину частоты. Частота его равна f (=1f), а где -f, я не нашёл. Возможно, Кунину следовало бы написать, по логике вещей, (f).

Ни на графике ни в тексте не вижу и намёка на нулевой обертон/унтертон.
Зато если частоту f - основной тон считать первым обертоном/унтертоном, то всё становится на свои места:
...
3f....3-я гармоника и 3-й обертон
2f....2-я гармоника и 2-й обертон
f.....1-я гармоника/субгармоника и 1-й обертон/унтертон
-2f..2-я субгармоника и 2-й унтертон
-3f..3-я субгармоника и 3-й унтертон
...
Кунин и говорит, что гармоники/субгармоники уместно называть обертонами/унтертонами. При этом он подчёркивает, что имеются ввиду те фантомные гармоники, которые возникают в слуховой системе из-за её нелинейности вместе с основной частотой f одиночного тона или вместе с основными частотами f1 f2 двухтонового сигнала.
Он также подчёркивает, что физические обертоны, сопровождающие реальный основной тон нельзя путать с фантомными гармониками, которые он предлагает называть интервальными обертонами/унтертонами.
Как их нумеровать явно не указано.
Вы в статье находите подтверждение своим предпочтениям, а я своим.
Статья не может служить надёжным подтверждением чьей-либо правоты.

[Filin]

Статья не может служить надёжным подтверждением чьей-либо правоты.

Безусловно. Как и всё написанное. (Гарбузов в том числе, хаха )

[commator]

Безусловно. Как и всё написанное. (Гарбузов в том числе, хаха)

А вот и не ха-ха.
Гарбузов недвусмысленно отождествляет нумерацию гармоник и обертонов.
Вот что написано в 5-й главе Музыкальной акустики под его общей редакцией.

...§ 4. При одновременном звучании двух звуков, например, с и g, образующих интервал квинты - 3/2, 3-й обертон от с и 2-й обертон от g совпадают по высоте. Тон g1 называется тоном совпадения звуков с и g.
У звуков с и а, образующих интервал большой сексты - 5/3, совпадают 5-й обертон от с и 3-й обертон от а. Тон е2 называется тоном совпадения звуков с и а.
Звуки с и es, образующие интервал малой терции - 6/5, имеют тон совпадения g2 - 6-й обертон от с и 5-й от es.
Тон совпадения любых звуков, образующих какой-либо интервал, можно определять построением от них натуральных звукорядов.
При этом тон совпадения образуется обертоном верхнего звука, номер которого равен знаменателю интервального коэффициента, и обертоном нижнего звука, номер которого равен числителю того же интервального коэффициента. Например, частоты звуков, образующих интервал большой терции, находятся в отношении 5/4 (в натуральном звукоряде). Таким образом, тон совпадения этого интервала образуется от слияния 5-го обертона от нижнего звука и 4-го - от верхнего звука...

Становится предельно ясным смысл этого отождествления - установить простую связь номеров обертонов с относительными частотами соответствующих гармоник.
Всем, кто настаивает на том, что к примеру 8-я гармоника это 7-й обертон, рекомендую этот параграф исправить и попытаться его объяснить в исправленном виде другому человеку.

[jevlampij]

Письмена Крита непрочтённые кругом а они тут... тоже мне загадка...

[Filin]

А вот и не ха-ха.
Гарбузов недвусмысленно отождествляет нумерацию гармоник и обертонов.<...>

Кажется, Вы не обратили внимания, что Гарбузов работает в линейных системах координат, а Кунин в нелинейных. Потому значение любого интервала у Кунина меняется в зависимости от степени линейности среды, и каждый интервал может иметь множество значений, причём все будут правильными. А поскольку наш воспринимающий аппарат - среда нелинейная, то прав Кунин, а теория Гарбузова - это вроде физики Ньютона: всё логично и даже красиво, жаль только в природе не встречается.

[commator]

Кажется, Вы не обратили внимания, что Гарбузов работает в линейных системах координат, а Кунин в нелинейных...

Давайте внимательно Гарбузова почитаем. В главе 3

...Громкость, которая является нашим ощущением, изменяется непропорционально силе звука. Увеличивая силу какого-либо звука в 2, 3, 4 раза, мы замечаем, что наше звуковое ощущение (громкость звука) не растет в указанных отношениях. Если, например, увеличить силу звука в миллион раз, то его громкость не возрастет также в миллион раз.
B 1846 г. физиолог Вебер установил количественную связь между ощущением и раздражением, вызывающим это ощущение. В дальнейшем (1860 г.) Фехнер подверг закон Вебера математической обработке, в результате которой был сформулирован общий психофизический закон Вебера - Фехнера, согласно которому ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения. Согласно этому закону, при увеличении силы звука в 100, 1 000 и т. д. раз ощущение увеличивается соответственно в 2,3 и т. д. раза.
Новые исследования зависимости громкости от силы звука показали большие расхождения с законом Вебера - Фехнера. Но для сравнения звуков по их силе, оказалось, очень удобно пользоваться этим законом...

Кунин в своей статье опирается именно на это

...Известно (см. например, учебник "Музыкальная акустика" профессора Гарбузова), что передаточная характеристика слухового аппарата человека описывается...

В главе 4

...При сильных звуках в самом органе слуха - ухе возникают так называемые «субъективные» обертоны. Поэтому восприятие синусоидального колебания возможно лишь при малых громкостях. Сильные синусоидальные колебания воспринимаются как сложные колебания, имеющие некоторый тембр, обусловленный «субъективными» обертонами...

У Кунина

...при воздействии на вход чистого тона – синусоиды – на выходе возникает целый ряд, спектр, слабых тонов, которые называют гармониками. Частоты гармоник имеют целочисленные соотношения к основному тону с частотой f, т.е. 2f, 3f, 4f и т.д. Количество гармоник зависит от степени нелинейности передаточной характеристики – чем они выше, тем больше гармоник

В главе 5

...§ 6. При одновременном звучании двух достаточно сильных и близких по высоте звуков, часто появляется третий, ясно слышимый тон.
Этот тон называется разностным комбинационным тоном.
Частота разностного тона равна разности частот образующих его звуков...

О том же и Кунин

...Более сложный результат получается при воздействии на вход слухового аппарата двух чистых тонов (синусоид) с частотами f1 и f2. В этом случае на выходе появляется очень плотный спектр слабых по интенсивности частот, расположенных как выше, так и ниже основных тонов. В этот спектр входят как гармоники основных тонов – 2f; 3f; 4f; 5f и т.д., 2f2; 3f2; 4f2 и т.д., так и всевозможные их комбинации, например 2f1-f2; 3f1-f2; 4f1-f2; 3f1-2f2; 4f1-2f2; 4f1-3f2 и т.д...

Мне остаётся лишь уточнить, что факт нелинейности передаточной характеристики слуха подтверждает действенность закона Вебера-Фехнера и означает лишь то, что восприятие тоновых сигналов практически всегда будет связано с генерацией субъективных обертонов/унтертонов. Они в отличие от объективных будут всегда гармоничными по отношению к основным тонам, их возбуждающим.
От степени нелинейности может меняться лишь количество субъективных призвуков.

Никак не могу понять как можно Гарбузова обвинять в линейности рассуждений?
Как нелинейность слуха, описывая которую Кунин ссылается на Гарбузова, можно связывать с необходимостью называть первую гармонику нулевым обертоном/унтертоном?

[commator]

... тоже мне загадка...

Это похуже загадки.
Надуманная проблема, порождающая диалоги непонимания, а порой и грубые оскорбления.
Очень похоже на конфликт остроконечников и тупоконечников в Лилипутии.

[Filin]

От степени нелинейности может меняться лишь количество субъективных призвуков.

Никак не могу понять как можно Гарбузова обвинять в линейности рассуждений?
Как нелинейность слуха, описывая которую Кунин ссылается на Гарбузова, можно связывать с необходимостью называть первую гармонику нулевым обертоном/унтертоном?

Это только по закону Вебера-Фехнера от степени нелинейности меняется только количество субъективных призвуков. Там эта величина однозначна и всегда ощущение изменяется пропорционально логарифму раздражения, а ширина интервалов во всех случаях одинакова (в этом и выражается линейность его математического мышления). У Кунина эта величина изменяется, и соответственно меняется ширина интервалов, точно так же, как это происходит во всех неевклидовых системах. На графике это особенно хорошо видно: линии, идущие от каждого (субъективного) обертона/унтертона по краям сходятся в точки. Если количество гармоник (объективно используемых в данном произведении) увеличить или уменьшить, увеличится или уменьшится не только количество субъективных признаков; углы пересечения линий тоже изменятся и соответственно изменится и величина интервалов. Откровенно говоря, я не видел, чтобы точку измеряли какой угодно величиной, даже единицей, обязательно нужно нулём, т.к. количество узлов там равно нулю. (Вообще-то можно поставить вопрос и так: почему основной тон нужно обозначать единицей, раз это не обертон? Первый обертон - это октава от основного тона и т.д.)
Но вообще-то наш спор в достаточной мере беспредметен: Гарбузов ведёт речь о физиологии восприятия, а Кунин о гармонии. Поэтому статья Кунина не противоречит Гарбузову, но занимается он совсем другими вещами.