Алексей Степанович Оголевец

[Математик]

Про ковекторы ничего не понял. Да и векторы мне всегда было не по себе пережёвывать. Расскажите на примере ЧИП3 хотя бы что к чему. Может быть и появится на склоне лет хоть такая же ясность, как с натуральными числами.

Для первоначального различения векторов и ковекторов, первые можно мыслить как столбцы, а вторые – как строки. Столбцы можно складывать между собой (покомпонентно) и умножать на число (для нас это будет всегда некоторое целое число). И строки можно складывать между собой (покомпонентно) и умножать на число. Таким образом получаются два двойственных пространства “столбцов” и “строк”.

Для иллюстрации я представил семь пифагорейских звуков F, C, G, D, A, E, B в виде вектор-столбцов:
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1/1.html
-----------------------------

P. S. Могли бы мы сделать “озвучку” нашей “тетрадки в клеточку”? Типа, кликнул по какой-либо ее точке, отвечающей определенному звуку, например, A, и звучит пифагорейское A и т. д.

[Математик]

Про ковекторы ничего не понял. Да и векторы мне всегда было не по себе пережёвывать. Расскажите на примере ЧИП3 хотя бы что к чему. Может быть и появится на склоне лет хоть такая же ясность, как с натуральными числами.

К музыкальной сути ковекторов будем подходить постепенно. Для начала можно ознакомиться с классическим определением Б. Л. ван дер Вардена
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/3/1/4.html

Если векторы имеют музыкальный смысл в контексте (расширенной) квинтовой спирали, то и ковекторы обязаны его иметь. В плане важности постижения векторно-ковекторной двойственности будем вдохновляться следующим высказыванием Кострикина – Манина:
“Теория двойственности получила свое название благодаря тому, что она выявляет ряд свойств "двусторонней симметрии" линейных (векторных) пространств, довольно трудных для наглядного воображения, но совершенно фундаментальных.”
“Достаточно сказать, что дуализм "волна — частица" в квантовой механике адекватно выражается именно на языке линейной двойственности бесконечномерных линейных пространств (точнее соединения линейной и групповой двойственности в технике анализа Фурье).”
http://www.px-pict.com/10/5/3.html

[Математик]

К музыкальной сути ковекторов будем подходить постепенно. Для начала можно ознакомиться с классическим определением Б. Л. ван дер Вардена
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/3/1/4.html


Если векторы имеют музыкальный смысл в контексте (расширенной) квинтовой спирали, то и ковекторы обязаны его иметь...

Вообще же, как представляется, наиболее фундаментальную теорию двойственности для системы Чистой Интонации Предела 3 (3-limit Just Intonation, Pythagoras Intonation) можно построить, погрузив нашу аффинную плоскость с целочисленной решеткой на ней:
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1.html

в проективную плоскость, дополнив исходную аффинную плоскость “бесконечно удаленными” элементами по известной методологии:
http://www.px-pict.com/10/3/1.html#15

В пополненной системе мы будем иметь фундаментальную двойственность между точками и прямыми:
http://www.px-pict.com/10/3/4/1/5.html

Точки у нас – это звуки (расширенной квинтовой спирали плюс еще некоторое множество “бесконечно удаленных” звуков), а прямые – это “интервальные классы” – т. е. множества точек-звуков, образованных ходами на какой-либо выделенный пифагорейский интервал (плюс еще “бесконечно-удаленная прямая”, состоящая из всех бесконечно-удаленных звуков). И вся эта совокупность точек-звуков и прямых-интервальных классов связывается в систему, поразившую воображение Мебиуса (с подачи его служанки):
http://www.px-pict.com/10/3/4/2.html
http://www.px-pict.com/10/3/2/1.html

[commator]

... Могли бы мы сделать “озвучку” нашей “тетрадки в клеточку”? Типа, кликнул по какой-либо ее точке, отвечающей определенному звуку, например, A, и звучит пифагорейское A и т. д.

Я мог бы такое попробовать сделать в рамках ПО Sibelius, но уверенности, что из этого что-то получится нет. Совмещать произвольную графику с MIDI протоколом ещё не научился.

Может быть в ПО Scala есть что-нибудь подходящее? Посмотрю.

Всё что Вами далее предложено для осмысления заставляет убедиться в недостаточности ресурсов моего воображения. Скорее всего именно поэтому мне оказалась ближе алгебраическая форма интерпретации многомерного пространства ЧИ в сочетании с привычной и легко понятной графикой нотного стана.

[Математик]

Всё что Вами далее предложено для осмысления заставляет убедиться в недостаточности ресурсов моего воображения. Скорее всего именно поэтому мне оказалась ближе алгебраическая форма интерпретации многомерного пространства ЧИ в сочетании с привычной и легко понятной графикой нотного стана.

Тем не менее, “интервальные классы звуков” Вами вполне воображаемы. Например, как уже отмечалось ранее, октавным классам звуков в обсуждаемой модели:
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1.html

отвечают прямые, параллельные оси ординат.
Всевозможные ходы (от какого-либо звука) на какой-либо другой пифагорейский интервал также порождают некоторую прямую. Думаю, что для Вас это тоже является вполне очевидным.

Думаю также, что Вы согласитесь и с тем, что каждая такая прямая может быть задана своим уравнением по известным правилам аналитической геометрии:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/1/1/1/2.html

С естественными поправками на то обстоятельство, что, конечно, нас интересуют только точки с целочисленными координатами, лежащие на этих прямых:
http://www.px-pict.com/7/4/4/7.html

[commator]

... октавным классам звуков в обсуждаемой модели:
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1.html

отвечают прямые, параллельные оси ординат.
Всевозможные ходы (от какого-либо звука) на какой-либо другой пифагорейский интервал также порождают некоторую прямую ...

Да я заметил это в своих попытках искать удобную геометрическую интерпретацию для множества тональных функций. На этом пути я не увидел ещё хорошего решения, но пока дело не доходит до ковекторов мне всё понятно. Векторы я ещё понимаю, но они всегда были для меня трудны и я не привык ими пользоваться. К тому же традиционная музыкальныя теория к ним не склонилась, тогда как к функциям у неё сформировалась прочная привязанность.

Из Научного музея Лондона мне прислали ксерокопию рукописи: Т. Дж. Флетчер. Аппроксимация векторами. До её изучения пока не добрался.

[Математик]

Векторы я ещё понимаю, но они всегда были для меня трудны и я не привык ими пользоваться. К тому же традиционная музыкальныя теория к ним не склонилась...

Векторы – это просто ходы на некоторый интервал, например, на квинту или терцию. И для Вашего понимания они просты, и традиционная музыкальная теория к ним склонилась.
Это просто вопрос терминологии: называть “ходы -- “векторами”.

[commator]

Векторы – это просто ходы на некоторый интервал, например, на квинту или терцию. И для Вашего понимания они просты, и традиционная музыкальная теория к ним склонилась.
Это просто вопрос терминологии: называть “ходы -- “векторами”.

Может быть Вы и правы, но когда я узнал из книжек по программированию, что вектор это одномерный массив чисел, то мои представления об этом предмете потеряли устойчивость.

В музыкальной литературе не могу вспомнить, кто употреблял бы векторы, но раз Вы считаете, что мне их под силу представить, могу лишь уточнить то, что высказал в другой теме.

Кроме унисона, любой интервал

... для вертикального применения есть величина скалярная, а для горизонтального векторная. Первый векторными свойствами как будто никогда не обладает.

[Математик]

Векторы я ещё понимаю, но они всегда были для меня трудны и я не привык ими пользоваться. К тому же традиционная музыкальныя теория к ним не склонилась, тогда как к функциям у неё сформировалась прочная привязанность.

Для первоначальной работы с векторами мы можем воспользоваться неформальными определениями Александрова:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/1/0/2.html

В музыкальной литературе не могу вспомнить, кто употреблял бы векторы...

По сути дела “векторы” употреблялись с самого начала становления и развития музыкальной теории (насколько мы вообще в состоянии проследить начало ее возникновения). Сопоставьте, пожалуйста, между собой две вещи. Определение сложения векторов по Александрову:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/1/0/4.html

И, с другой стороны, определение античной операции составления отношений из работы:
История математики с древнейших времен до начала XIX столетия.
Под редакцией А.П. Юшкевича.
Том 1: С древнейших времен до начала Нового времени.
М.: Наука, 1970, сс. 71 — 72.
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html#2

Не усматриваете никакого сходства?

[Математик]

И, с другой стороны, определение античной операции составления отношений из работы:
История математики с древнейших времен до начала XIX столетия.
Под редакцией А.П. Юшкевича.
Том 1: С древнейших времен до начала Нового времени.
М.: Наука, 1970, сс. 71 — 72.
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html#2

Еще одно полезное дополнение от Мордухай-Болтовского по поводу античной операции “составления отношений” и ее связи с теорией музыки:
Комментарии Мордухай-Болтовского к 8-ой книге Начал на с. 308.
(Начала Евклида. Книги VII -X. 1949).
http://www.px-pict.com/7/4/2/2/1.html