Алексей Степанович Оголевец

[Математик]

В музыкальном пространстве обязательно присутствие времени...
Как с этим в геометрическом пространстве?

Наверное, речь идет о “дискретном времени”? Тогда мы без труда сможем промоделировать его работой “автомата” (или “распознавателя” по терминологии Ахо – Ульмана) :
Ахо А., Ульман Дж.
Теория синтаксического анализа, перевода и компиляции.
Том 1. М.: Мир 1978, сc. 112 — 113, 134.
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/1/1.html

В контексте нашего “музыкально-геометрического пространства” граф автомата:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/1.html

будет состоять из векторов-стрелочек (а состояниями автомата, отвечающими вершинам “графа”, будут отдельные точки-звуки). Переход от одного звука по стрелочке к другому звуку будет означать, что автомат станет петь звук, отличающийся от первоначального звука на интервал, ассоциированный с данной стрелочкой-вектором.

Например, если первоначально “музыкально-геометрический автомат” находится в исходном состоянии, отвечающем точке-звуку “до” и его читающая головка смотрит на первую клетку входной ленты с последовательностью символов 1121112 (где символ 1 условно обозначает ход на целый тон 9/8 вверх, а символ 2 условно обозначает ход на пифагорейский диатонический полутон (лимму) 256/243 вверх), то автомат пропоет диатоническую пифагорейскую гамму. Работа автомата в этом случае может рассматриваться как движение в дискретном времени по красным и зеленым стрелочкам с уже обсуждавшихся рисунков (которые нужно объединить в один рисунок) :
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1/1.html#4

[Математик]

Например, если первоначально “музыкально-геометрический автомат” находится в исходном состоянии, отвечающем точке-звуку “до” и его читающая головка смотрит на первую клетку входной ленты с последовательностью символов 1121112 (где символ 1 условно обозначает ход на целый тон 9/8 вверх, а символ 2 условно обозначает ход на пифагорейский диатонический полутон (лимму) 256/243 вверх), то автомат пропоет диатоническую пифагорейскую гамму.

Если автомат станет читать цепочки “языка Дика” :

Рассмотрения по комбинаторной теории групп естественно производить в рамках некоторого алфавита Дика:
http://www.px-pict.com/preprints/Ogolevetz/3.html

Алфавит Дика в нашем случае будет состоять из 6 символов: O, O’, Q, Q’, T, T’, где:
O – ход на октаву вверх;
O’-- ход на октаву вниз;
Q – ход на квинту вверх;
Q’-- ход на квинту вниз;
T – ход на терцию вверх;
T’-- ход на терцию вниз.

О языке Дика см. также здесь:

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AF%...B8%D0%BA%D0%B0

то звуковая последовательность, которую он пропоет во время работы, будет всегда начинаться и заканчиваться одним и тем же звуком. Быть может, это будет способствовать выработке у автомата “чувства тоники”, как это было уже (по мнению Немировского) в истории музыки:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/1/7/8.html

P. S. Конечно, мы можем расширить указанный выше алфавит языка Дика символами, обозначающими любые другие пифагорейские интервалы, которые мы хотели бы видеть в своих “мелодиях”.

[Математик]

P. S. Конечно, мы можем расширить указанный выше алфавит языка Дика символами, обозначающими любые другие пифагорейские интервалы, которые мы хотели бы видеть в своих “мелодиях”.

Для начала можно научить автомат петь упражнения по сольфеджио Ладухина:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/3/3.html

тем более, что Н. Д. Баева настоятельно рекомендует петь эти упражнения именно в пифагорейском строе:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/3/2.html

[commator]

Для начала можно научить автомат петь упражнения по сольфеджио Ладухина:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/3/3.html

тем более, что Н. Д. Баева настоятельно рекомендует петь эти упражнения именно в пифагорейском строе:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/3/2.html

Хорошо бы для начала заиметь настоящий наделённый способностью учиться автомат вместо представления о нём. Если дать такому автомату почитать Баеву он вряд ли сможет привести в соответствие с сутью пифагорейского строя (ПС) её ляпы.


Дело в том, что:

1. Владение интонацией 1/8 и 1/4 пифагорейского тона (ПТ) не требуется. Для ПТ = 9/8 это числа (9/8)^(1/8) и (9/8)^(1/4). Таких чисел в ЧИП3, порождающей ПС быть не может. Так же не может быть энгармонически совпадающих звуков, которые бывают в ПС энгармонически близкими, но никогда не совпадают, т. к. нотация у них всегда разная, а в ПС у разных нот всегда разная высота. Темперация деформирует ПС и высота звуков разной нотации может совпасть. Это называется энгармонизмом, но не энгармоническим совпадением, которого не бывает.
2. Если речь идёт о приблизительных величинах, то для ПС 1/8 тона и в особенности 1/4 тона никак не подходят. Гораздо уместнее было бы говорить об 1/9 тона, как о близком к пифагорейской комме (ПК) интервале и о 4ПК или 4/9 тона, как о близком к диатоническому 1/2 тону интервале. Для интервалов ПС вблизи 2/9 или 3/9 тона тона, которые окружают недоступную для ПС 1/4 тона в диатонической составляющей ПС места нет.
3. В диатонической гамме ПС можно ещё как-то говорить об узости интонирования 1/2 тонов, которых строго говоря в ПС нет. Т. н. диатонический 1/2 тон в ПС на 10 центов заужен по сравнению с полутоном 12РДО. Но говорить о ширине интонирования целого тона ПС, который всего на 4 цента шире такового в 12РДО – это уж слишком.
4. Хроматика с острым интонированием 1/4 и 1/8 тона в ПС полная несуразица. Можно говорить об обострении интонирования диатонического 1/2 тона на ПК или примерно на 1/9 тона, чтобы достичь ширины хроматического 1/2 тона в ПС. Снова не ясно к чему упоминается острое интонирование 1/4 тона в хроматической составляющей ПС. Ну нет ничего похожего на 1/4 тона ни в хроматической ни в диатонической составляющих ПС.
5. Интервалы, похожие на 1/4 тона, в рамках соотношений разумно отдалённых тональностей, возникают в системах ЧИ предела выше 3. Наиболее заметна их выразительность становится в ЧИП7 и выше. Если Баева имеет ввиду такое чистое интонирование, то при чём здесь ПС, в котором интервал величиной в 2ПК появляется в соотношении тональностей на расстоянии аж 24-й доминанты/субдоминанты?

Когда появится автомат, который можно будет научить пению в ПС, его следует ограждать от чтения набора нелепостей, составленного Н. Д. Баевой.

[Математик]

Хорошо бы для начала заиметь настоящий наделённый способностью учиться автомат вместо представления о нём. Если дать такому автомату почитать Баеву он вряд ли сможет привести в соответствие с сутью пифагорейского строя (ПС) её ляпы...


Дело в том, что:...

Ляпы в приведенном отрывке имеются. Мы ведь их уже где-то выше в этой теме обсуждали. Непонятно, зачем обсуждать их снова. Действительно, уважаемая Н. Д. Баева напутала с числами. С другой стороны (и, я думаю, здесь Вы со мной согласитесь полностью) ничто не сможет помешать нам проиграть упражнения Ладухина в пифагорейском строе.

Целью трех моих приведенных выше на этой странице постов было дать ответ на Ваш вопрос:

В музыкальном пространстве обязательно присутствие времени...

Как с этим в геометрическом пространстве?

Причем сделать это на примере наиболее простой системы ЧИП3 (пифагорейского строя).

[commator]

... ничто не сможет помешать нам проиграть упражнения Ладухина в пифагорейском строе ...

Отсутствие времени для практических занятий с проблемами перестроек всё таки может нам мешать. Тем более, что без проигрывающего автомата требуется приложение существенных усилий для аналитической работы с партитурами.

К счастью у меня конец недели был посвящён освоению Sibelius 6 и я сделал это на базе предложенных Вами 5-ти номеров Ладухина. Теперь есть модели звучания в 53РДО. Они аппроксимируют ЧИП3, ЧИП5 и ЧИП13. Для сравнения сделана также модель упрощённой бескоммовой аппроксимации ЧИП13 в системе 31РДО.

[Математик]

В диатонической гамме ПС можно ещё как-то говорить об узости интонирования 1/2 тонов, которых строго говоря в ПС нет. Т. н. диатонический 1/2 тон в ПС на 10 центов заужен по сравнению с полутоном 12РДО...

Пифагорейские “диатонический полутон” (лимма, леймма) 256/243 и “хроматический полутон” (апотома) 2187/2048 сейчас являются устоявшимися общепринятыми терминами. См., например, у Немировского:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/1/4.html

Любопытно отметить, однако, что кифарэды попервоначалу считали, что полутон диатонической пифагорейской гаммы является полутоном в буквальном смысле этого слова, как сообщает Птолемей:
Б. Л. ван дер Варден. “Пифагорейское учение о гармонии”.
В кн.: Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.
Гос. издательство физико-математической литературы,М.:, 1959, сс. 421 — 426.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/7.html

[commator]

Пифагорейские “диатонический полутон” (лимма, леймма) 256/243 и “хроматический полутон” (апотома) 2187/2048 сейчас являются устоявшимися общепринятыми терминами ...

Эта общепринятость терпима в условиях игнорирования микрохроматики и крайне нежелательна, если микрохроматику необходимо исследовать. Я выше приводил цитату из другой темы.

Профессор Ватиканского университета Патрицио Барбьери в своей книге 2008 года «Enharmonic Instruments and Music 1470-1900» пишет на странице 7:

...

<<... шкала была названа 'диатоническая', потому что теперь она состоит из последовательности тонов. Интервалы E-F и B-C были также рассмотрены как тоны, потому что, в соответствии с Gaffurio и другими теоретиками, термин 'semitone' исходно означал 'неполный тон' (а не 'половина тона'), вытекая из semus, что означает 'несовершенный' или 'уменьшённый' ...>>

Количество высотных зон не указано, а вот то, что между ними всегда должен быть полный либо неполный тон заказано в названии шкалы.

В статье, что у меня сейчас в работе я высказался по этому поводу подробнее:

<<...
Любой интервал между смежными нотами ПДС (пифагорейского диатонического строя) следует называть тоном [i]. Однако среди семи тонов в ПДС имеется пять одинаковых крупных тонов, называемых целыми тонами или просто тонами (T). Остальные два одинаковых мелких тона могут именоваться псевдотон или пситон (ψT). В англоязычной литературе для псевдотона существует происходящее от латинского semus (ненастоящий) имя «semitome». В русском языке оно неприемлемо т. к. слово «семитон» ассоциируется с именем интервала из семи тонов. Вероятно поэтому для псевдотона укоренилось не очень удачное имя диатонический полутон. В англоязычной литературе «halftone» (полутоном) обычно называется минимальный интервал системы 12РДО и только он. Это соответствует действительности, т. к. в случае 12РДО полутон в точности равен половине тона, что для соотношений тона и псевдотона в контексте этой статьи принципиально неверно. Об этих соотношениях будет сказано далее в связи с ПХС (пифагорейским хроматическим строем)

[i]. P. Barbieri, Enharmonic Instruments and Music 1470 – 1900, p. 7, Latina: Il Levante Libreria Editrice, 2008. ISBN: 978-88-95203-14-0. http://www.patriziobarbieri.it/1.htm
...>>

[Математик]

Эта общепринятость терпима в условиях игнорирования микрохроматики и крайне нежелательна, если микрохроматику необходимо исследовать. ..
Любой интервал между смежными нотами ПДС (пифагорейского диатонического строя) следует называть тоном [i]. Однако среди семи тонов в ПДС имеется пять одинаковых крупных тонов, называемых целыми тонами или просто тонами (T). Остальные два одинаковых мелких тона могут именоваться псевдотон или пситон (ψT).

Мне кажется, лучше все же использовать устоявшуюся терминологию. Хороши или плохи термины “пифагорейский диатонический полутон” и “пифагорейский хроматический полутон”, всем хорошо известно, какие конкретно интервалы они обозначают. Поэтому всем понятно, о чем речь идет в статье, в которой фигурируют эти общепринятые термины. И не надо тратить дополнительное время на изучение абсолютно новой (хотя в чем-то, быть может, и более удачной терминологии). И на статьи с результатами других авторов удобнее ссылаться, где фигурируют именно термины “пифагорейский диатонический полутон” и “пифагорейский хроматический полутон” (не нужно заниматься дополнительной процедурой перевода их результатов на новую терминологию).

... Темперация деформирует ПС и высота звуков разной нотации может совпасть. Это называется энгармонизмом, но не энгармоническим совпадением, которого не бывает.

Кстати говоря, и термин “энгармоническое равенство звуков” также является общепринятым и устоявшимся:
Способин И. В. "Элементарная теория музыки".
М.: Гос. музыкальное изд-во, 1963, сc. 20 — 21.
http://www.px-pict.com/7/3/2/7/2/14.html

[commator]

... на статьи с результатами других авторов удобнее ссылаться, где фигурируют именно термины “пифагорейский диатонический полутон” и “пифагорейский хроматический полутон” (не нужно заниматься дополнительной процедурой перевода их результатов на новую терминологию)...

Буду очень признателен, если укажете список авторов, пишущих на русском о результатах своих исследований микрохроматики.

Там где пишут по-русски общепринятыми устоявшимися терминами, микрохроматика, как правило, не считается серьёзной областью музыкальной теории, а система 12РДО с её полутонами оказывается единственной достойной тщательного внимания.

Я пытаюсь описать то, что в системе 12РДО невозможно. Отсюда вытекает необходимость отмежёвываться от некоторых общепринятых искажений в терминологии, особенно русскоязычной. В итоге на русском это описание вряд ли кому-то будет интересно, а на английском статью, как минимум отрецензируют. Так что пишу чтобы англоязычный рецензент понял, о чём речь. На английском о микрохроматике многие пишут, но с терминологией своя песня.