murom

Вы имеете в виду колебания той же природы, что и биения (как при настройке инструмента)? То есть тон, который не существует в спектре гармоник обоих сигналов, а воспринимается уже только мозгом?
А почему именно частота этого тона имеет значение, а не отношение частот, как обычно пишут?

Да, именно этот тон, который не существует в природе, а только в нашем мозгу.
Что же касается численных отношений частот, то они вообще ничего не объясняют. Они являются только числами - мы их не слышим и не воспринимаем. Поэтому сами числа ничего нам не объясняют.
Если бы проблему октавы можно было бы объяснить только с позиции его числового отношения между двумя звуками, то все, что мы измеряем подпадало бы под этот несуществующий закон 1/2.
А раз такого нет повсеместно, значит и объяснять октаву через численные отношения не имеет смысла - ничего это не объясняет.
Холопов заговорил о маскировке, полумаскировке и отсутствии маскировки. Это очень интересно с точки зрения слитности и раздельности звучания, но не объясняет нам феномен октавы, когда мы два абсолютно разных звука воспринимаем, как бы один и тот же.
Если уж в проблему октавы закрался разностный тон, то почему бы и не применить его при объяснении консонансов и диссонансов?

Спасибо за объяснение! Да, верно, похоже...
Но почему во всех учебниках (я, правда, видел их не очень много) приводится таблица интервалов и соотношений частот в них, а вот о разностных тонах ничего не встречал.
И вот ещё тогда проблема какая. Когда учатся узнавать интервалы, то (насколько я знаю) или раскладывают гармонический интервал по горизонтали и пропевают, или запоминают "особое звучание" каждого интервала, которое действительно есть. Но если пытаться объяснить звучание интервала через разностный тон и предположить, что только он влияет на характер этого звучания, то получится, что человек при узнавании интервала решает задачу определения высоты тона, а это могут только абсолютники. А с другой стороны, если звучание интервала определяется не только разностным тоном (там же ещё есть составляющие звуки!), то мы опять приходим к исходной задаче с несколькими звуками. Как быть? Или я где-то ошибся в рассуждении?

Соотношение частот - это нужно знать как факт. Хотя сами по себе эти числа нам ничего не говорят ни о характере звучания, ни о природе нашего отношения к ним. Просто соотношение частот и всё.
Разговор о разностном тоне помогает нам понять те акустические эффекты, которые мы слышим, но прибором не улавливаются.
Вы правильно говорите, что каждый интервал, аккорд имеют свой неповторимый тембр, характер звучания. В этот аккорд входят не только сыгранные ноты, но и разностные тоны, и суммарные тоны даже - все это и составляет тембр интервала или аккорда. И тут даже не нужно вычленять все звуки по отдельности - и так все понятно по общему звучанию.
Например, я знаю как факт, что при игре на скрипке открытой струны соль реально струна соль почти не звучит - звучат более высокие гармоники, А вот разностные тоны между ними и будут тем основным тоном, т.е. Соль. Тоже самое происходит и в валторне.
Мне, как акустику, это важно знать. А музыканту не обязательно. Звучит основная нота - значит она и есть А вот как это происходит на самом деле, нужно знать только акустикам.

Гипотеза о связи феномена консонанса/диссонанса с явлением разностного тона (и, шире, комбинационных тонов вообще) известна. Известно и возражение: относительная интенсивность комбинационных тонов быстро падает с уменьшением интенсивности звука, тогда как ощущение диссонанса/консонанса для тихих звуков вовсе не пропадает. Понятно, что и возражение это может быть подвергнуто критике, но и гипотеза остается все же гипотезой, а не надежно обоснованной теорией.
Что же касается октавы, то объяснение ее специфики, на мой взгляд, не требует привлечения столь тонких сущностей как комбинационные тоны. Как мне представляется, ее (октавы) особенность всего лишь в том, что это: а) гармонический обертон б) низший по частоте из всех гармонических обертонов. То что гармонические обертона более "слитно" звучат в сочетании с основным тоном, чем прочие звуки - это ясно, и причина этого всем известна. Но чем больше номер обертона, тем дальше он отстоит по частоте от основного тона и все менее "сливается" с ним в звучании, а ощущается как другой, отдельный звук, просто в силу большого разнесения по частоте. Вот поэтому-то консонанс октавы и оказывается более "совершенным", чем прочие.

==========
Но почему во всех учебниках (я, правда, видел их не очень много) приводится таблица интервалов и соотношений частот в них, а вот о разностных тонах ничего не встречал.
===========

Потому что Вы не читаете по-немецки. Всё это давно изложено у Хиндемита в Unterweisung im Tonsatz.

Да и не обязательно даже именно по-немецки читать.

Что же касается октавы, то объяснение ее специфики, на мой взгляд, не требует привлечения столь тонких сущностей как комбинационные тоны.

Дмитрий, то что вы описали - это объясняет только консонанс, а не феномен октавы, где каждая из двух нот воспринимается как одна и таже нота (даже название тоже самое). Маскировка звука тоже объясняет консонанс, а не сам феномен октавы. Вот только разностный тон это и объясняет. У Хиндемита есть еще разностный тон второго порядка, когда он получается от вычитания основного тона из первого разностного тона. Так вот у октавы нет этого второго разностного тона. Октава, по Хиндемиту, это единственный интервал, у которого нет второго разностного тона. Можно сделать вывод, что это и есть причина октавного феномена.

Соотношение частот - это нужно знать как факт. Хотя сами по себе эти числа нам ничего не говорят ни о характере звучания, ни о природе нашего отношения к ним. Просто соотношение частот и всё.
Разговор о разностном тоне помогает нам понять те акустические эффекты, которые мы слышим, но прибором не улавливаются.

Ну как же не говорят? Еще как говорят!

Но сначала о разностных частотах. В спектре сигнала гармоники с разностной частотой, вообще говоря, может не быть. Но запишите осциллограмму наложения двух тонов (только не октаву, пожалуйста -- см. ниже). Вы увидите колебания, частота которых равна полусумме частот исходных тонов, но которые промодулированы этой самой разностной частотой (точнее, полуразностной, но при амплитудной модуляции положительные и отрицательные полупериоды неразличимы, и пульсации амплитуды будут происходить именно с разностной частотой).

В простейшей математической записи это выглядит так:

sin(f1 t) + sin (f2 t) = 2 sin((f1 + f2)t/2) cos ((f1 - f2)t/2)

(можно заменять любой синус на косинус, можно давать фазовые сдвиги -- формула видоизменится, но сохранит свою структуру).

Конечно, кривая будет обладать должной наглядностью -- выглядеть, как я описал, только если разностная частота много ниже, чем полусуммарная частота. Если они так сильно не разнесены (т.е. если исходные частоты различаются сильно), картина не будет на глаз восприниматься именно так (хотя формально все сказанное останется в силе).

Для октавы разностная частота, как и было сказано, совпадает с частотой нижнего из двух тонов. Но это как раз тот случай, когда через упомянутый наглядный образ объяснить результат трудно. Здесь лучше просто нарисовать один период нижнего тона, наложить на него два периода верхнего тона и увидеть, что основная волна будет в большей или меньшей степени деформирована, но -- важно! -- следующая, вторая волна будет по форме точно такой же, равно как и третья. четвертая и т.д. Сохранится основная периодичность, а второй обертон. в зависимости от своей амплитуды, будет влиять на окраску звука.

Теперь об отношениях частот. Они нам определяют то, что, пользуясь музыкальной терминологией, мы называем интервалом. Как выглядят "хорошие", консонирующие интервалы? Возьмем идеальную (нетемперированную) квинту. Это отношение 3 : 2, т.е. мы имеем дело с некими частотами 3f и 2f. Здесь с наглядным образом еще не очень хорошо, но все-таки видно, что разностная частота f является унтертоном нижнего тона квинты. Понятно, что сильно портить звучание она не должна. Дальше. Кварта -- это 4f и 3f. Разностная частота f уже не находится в таком "хорошем" отношении к основному тону. Затем терция -- 5f и 4f. Здесь частоты уже можно считать достаточно близкими, чтобы удобно было применить схему "полусумма, промодулированная разностью". Получается, что частота 4.5f промодулирована частотой f -- здесь уже понятно, что возникают биения с частотой f, которая уже будет давать ощущение не столь совершенного консонанса.

У диссонирующих интервалов разностная частота больше относительно частоты той самой полусуммы, поэтому и биения более ощутимы.

Ну и понятно, что темперация вносит довольно заметные биения в звучания консонирующих интервалов. Например, темперированная кварта -- это уже не 4 : 3, а 1.335 и т.д.

Мне трудно представить себе, чтобы все эти вещи не были основательно проработаны, поэтому дальше углубляться я не хочу (да и нет у меня такой возможности). Просто надеюсь, что смог экспромтом кое-что прояснить в данном вопросе -- особенно насчет роли отношений и разностей частот.

*******************
Позднейшее примечание: Я случайно пропустил временнЫе множители t в формуле. Сейчас все исправлено.

Но запишите осциллограмму наложения двух тонов (только не октаву, пожалуйста -- см. ниже).

Я рисовал осцилограмму вручную вот здесь:
http://www.forumklassika.ru/blog.php?b=1902

Можно и дальше рисовать, и даже октаву убрать (т.е. убрать основной тон - первую гармонику). С суммой амплитуд знаком и согласен с тем, что Вы сказали. Мне кажется, что "разностный тон" + "сумма амплитуд" и дадут полный ответ.

Существует множество теорий консонанса/диссонанса, тут есть штук 10-15:
http://dactyl.som.ohio-state.edu/Mus....theories.html
По поводу феномена октавы:
разностный тон слышен при неслабой интенсивности звука, при слабой - не слышен совсем.
Одна из соотв. теорий говорит что октавные звуки имеют наибольшее количество совпадающих обертонов, поэтому они наиболее похожи из всех прочих (кроме унисона, разумеется).