вопрос теоретикам (консонанс и диссонанс)

[ocelot]

Я искал-искал, да так и не нашел, куда пойти с этой темой... Темперации вроде бы когда-то обсуждали в "Филисофии и музыке", но тут вопрос слишком конкретный... Если модераторы перенесут, возражать не буду...

Как известно, пифагорейцы открыли, что консонансы образуются частотами, которые соотносятся между собой как небольшие целые числа. Самый совершенный консонанс - унисон, соотношение 1:1, следующий - октава, 2:1, потом квинта и кварта - 3:2 и 4:3... пока все чудесно... Большая терция - 5:4, малая - 6:5, отношение для секст получается как деление двойки на эти числа (терция + секста = октава) Малая секста - 8:5, большая - 5:3... Все прекрасно и укладывается в теорию... Отношение больше 2 (интервалы шире октавы не рассматриваем). Но что насчет отношения 7:5?
Почему оно не образует консонанса? Я не пробовал получить такое соотношение частот экспериментально, но по расчетам оно ближе всего к тритону, который, как известно, являет собой сильный диссонанс. 8:5 и 5:3 значит - консонансы, а 7:5?
Кто что знает про теоретическое объяснение данного феномена?..

[Selega]

Консонанс и дисонанс - слуховое восприятие интервалов - психоакустика.
Из книги "Музыкальная Акустика" И.Алдошина, Р.Приттс 2006 г.:

Слуховой анализ консонансов и диссонансов
Способность слуховой системы к спектральному анализу и определению частотных интервалов между гармониками, которая является базой для определения высоты, лежит в основе ощущения «консонантности» или «диссонантности» звучания различных музыкальных интервалов и аккордов.
Консонанс (от французского слова consonance) означает согласие (согласное звучание), соответственно диссонанс — несогласное, нестройное звучание. Эти понятия можно рассматривать как с позиций музыкально-психологических, так и с позиций психоакустических, т. е. рассмотреть, как влияют на их восприятие частотные соотношения между гармоническими составлющими сложных музыкальных звуков. Ощущение диссонантности или консонантности созвучий также связано с наличием критических полос, т. е. с конечной разрешающей способностью слуховой системы.
Как было показано в главе 2, при наличии двух тонов с близкими частотами (менее 15 Гц) возникает эффект биений (амплитудной модуляции), который воспринимается как крайне неприятное звучание.
Эксперименты, проделанные известными учеными Пломпом (Plomp) и Левельтом (Levelt) с большой группой слушателей (среди которых не было профессиональных музыкантов, поскольку их слух натренирован на заученные образцы консонантных и диссонантных созвучий), позволили установить, при какой разнице по частоте два чистых синусоидальных звука воспринимаются как «приятные» (консонантные) и «резкие, неприятные» (диссонантные). Результаты экспертиз были количественно обработаны и представлены на графике. Максимальная приятность звучания соответствует значению консонанса, равному 1, диссонанса — соответственно равному 0 и наоборот. Если разница частот равна нулю, т. е. два тона звучат в унисон, то это «совершенный» консонанс. Если разница частот больше, чем критическая полоса, то это созвучие также звучит как консонанс. Для частот, разница между которыми составляет от 5% до 50 % ширины критической полосы, созвучие воспринимается как диссонанс. Максимальный диссонанс прослушивается, когда разница составляет одну четверть от ширины критической полосы (ширина эта меняется с частотой). Поэтому два тона могут звучать как кон-сонатный интервал в одной октаве и как значительно менее консонантный (или даже диссонантный) в другой. Эти результаты полезно иметь в виду при составлении различных электронных музыкальных композиций и компьютерной обработке звука.
Полученные результаты могут служить базой для определения степени консонансности различных интервалов и музыкальных аккордов сложных музыкальных тонов, содержащих в спектре большое количество гармоник. В этом случае биения могут возникать как между фундаментальными частотами различных тонов, так и между их гармониками. Используя полученные выше результаты для простых тонов, можно количественно оценить степень консонантности (диссонантности) отдельных музыкальных интервалов. Например, рассмотрены два тона, отношение фундаментальных частот которых равно 3 : 2 (т. е. квинте), нижняя частота 220 Гц.
Методика оценки степени консонанса (диссонанса) интервала основана на сравнении разницы частот двух соседних гармоникс шириной критической полосы, соответствующей средней частоте между ними:
—если две гармоники имеют равные частоты (или различие между ними меньше 5% от ширины критической полосы), то они обозначаются как «совершенный консонанс» — С;
—если разница между двумя гармониками по частоте больше ширины критической полосы (столбец 3 и 5), то это тоже консонанс — с;
—если разница между частотами ближайших гармоник меньше ширины критической полосы, то это диссонанс — d;
—если эта разница меньше половины ширины критической полосы, то это «совершенный диссонанс» — D.
Если частотная разница между большинством гармоник двух тонов больше ширины критической полосы (или ее половины), то такое созвучие будет восприниматься как консонанс, поэтому, например, квинта относится к консонантным интервалам.
Как следует из практики и подтверждается вышеприведенной методикой, уменьшающиеся интервалы между высокими гармониками (7 : 8, 8 : 9 и др.) звучат более диссонантно.чем интервалы между первыми гармониками (1 : 2, 2 : 3, 3 : 4 и др.). Решающую роль в слуховом ощущении степени консонантности (диссонантно-сти) интервала играют развернутые первые 6-7 гармоник, как и при определении высоты тона.
Таким образом, способность слуховой системы воспринимать определенные сочетания звуков как благозвучные (консонантные) или раздражающие (диссонантные) связана с конечной разрешающей способностью слуховой системы и является ее фундаментальным свойством.

[ocelot]

...позволили установить, при какой разнице по частоте два чистых синусоидальных звука воспринимаются как «приятные» (консонантные) и «резкие, неприятные» (диссонантные). Результаты экспертиз были количественно обработаны и представлены на графике...

График в студию!

[Lara]

Ю.Н.Холопов в статье о консонансе БСЭ отвечает на ваш вопрос:
"С математико-акустической точки зрения различие между К. и диссонансом только количественное (соотношения чисел колебаний диссонирующих интервалов образуют более сложные дроби), а граница между ними условна. В рамках мажоро-минорной системы различие между К. и диссонансом качественное, оно достигает степени острой противоположности, контраста и обладает самостоятельной эстетической ценностью."

От себя хотелось бы добавить, что пифагорейская теория не может удовлетворять современным требованиям теории диссонанса и консонанса, поскольку история музыки богата на примеры различного восприятия одних и тех же музыкальных явлений. Так квинта и секста, считающиеся консонансами в классико-романтический период, в некоторых видах контрапункта строгого стиля считаются диссонансами. Тритон, запрещенный в теории строгого стиля, к концу 19 века появляется без разрешения и перестаётся быть "экстра-ординарным" диссонансом.

[ocelot]

различие между К. и диссонансом только количественное (соотношения чисел колебаний диссонирующих интервалов образуют более сложные дроби

Во-во, я тоже везде встречал именно такое объяснение. Но почему дробь 7/5 сложнее, чем дробь 8/5, - я понять не могу...

[Selega]

От себя хотелось бы добавить, что пифагорейская теория не может удовлетворять современным требованиям теории диссонанса и консонанса.

и от меня добавьте.

Во-во, я тоже везде встречал именно такое объяснение. Но почему дробь 7/5 сложнее, чем дробь 8/5, - я понять не могу...

7/5 или 5/7 ?
8/5 или 5/8 ?

[ocelot]

7/5 или 5/7 ?
8/5 или 5/8 ?

А какая разница?
Подразумевалось, что они звучат одновременно: Нота1 и Нота2, у Ноты1 частота f1 = F*5, у Ноты2 частота f2 = F*8, где F - произвольная частота. Все равно будет звучать малая секста. Если поделить f2 на f1 - будет 8/5, если f1 на f2 - будет 5/8. А звучание от порядка деления не зависит

[ocelot]

Эх, скоро сказка сказывается, да не скоро дело делается... в общем, пошел я в конце концов в Яндекс за помощью, выдал мне Яндекс ссылку интересную:
http://kvinta2.pravdinskiy.ru/archive.php?chapter=3

И не знал я куда эту ссылку и пристроить-то: и сюда годится, и в тему про интонацию (там меня за упоминание квинтовых ходов )
В общем, лично я из этой статьи понял (возможно ошибочно), что никакой такой теории созвучности у пифагорейцев не было, это все миф, про "не слишком сложные дроби". Они (пифагорейцы) вообще "плясали от квинты" и признавали по сути только квинту и октаву, да их падчерицу кварту... Даже чистые терции "ввели в строй" только через полторы тысячи лет после появления пифагорейской теории
Да и то похоже, что их сначала на практике получили, а потом уж соотношение частот померяли...

Всем откликнувшимся - мои извинения за неудачный вопрос

[Фламандский Крестьянин]

Спасибо за статью, давно интересовался математическим описанием равномерной темперации

[ocelot]

Спасибо за статью, давно интересовался математическим описанием равномерной темперации

Пожалуйста
С равномерной как раз все просто, там все интервалы составлены из кирпичиков-малых секунд, в октаве 12 полутонов, значит исходная частота, 12 раз умноженная на Х (соотношение частот для малой секунды), должна дать 2. Составляем уравнение Х в 12 степени = 2, откуда Х и равен корню 12-й степени из 2-х
Все отношения частот внутри октавы соответственно получаются иррациональными (ну еще бы, на такую "страхулятину" умножать ) И там уж в ход идут проценты близости к дроби...
А вот интересно было как раз с дробями... Если посмотреть в той статье отношение частот для диатонической гаммы в "чистом" строе, то для тритона (частота седьмой ступени делится на частоту четвертой) получим 45/32. О ужас, какая сложная дробь Конечно сразу при взгляде на нее каждому ясно, что это диссонанс. Но вот всего на 1/225 меньше этой дроби будет красивая такая дробь 7/5. А неподалеку от "чистого" тритона (ну то есть в "чистом" строе, я знаю, что про тритон так не говорят, потому и в кавычках ) никаких консонансов что-то не находится... Про то исходный вопрос и был...