53-ступенная равномерная темперация

[Математик]

В частности, Шилов использует этот алгоритм для обоснования равномерной 12-ступенной темперации:http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/444.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/4/6.html

Надо полагать, что и другие равномерно-темперированные системы, такие, например, как равномерная 53-ступенная темперация:
http://en.wikipedia.org/wiki/53_equal_temperament

или равномерная 31-ступенная темперация:
http://en.wikipedia.org/wiki/31_equal_temperament


могут быть обоснованы примерно по тому же самому шаблону, что и у Шилова.

Г. Воль пишет:

<<...
Заметим, что числа 12 и 53 имеют более глубокий математический смысл: это знаменатели подходящих дробей при разложении в цепную дробь числа log23; действительно, log23=[1;1,1,2,2,3,1,5, …]; легко проверить, что 5-ой и 7-ой подходящей дробью соответственно являются 19/12 и 84/53.
...>>

53-ступенная равномерная темперация заслуживает отдельной темы. Она довольно подробно проанализирована в книге Римана “Акустика с точки зрения музыкальной науки”. Здесь некоторые начальные выдержки оттуда:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/6/2.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/6/2/1.html

[Математик]

Рагс сообщает об исследованиях П. Н. Зимина:
Теоретические анализы различных систем выбора (один их таких анализов провел П. Н. Зимин; он был научным сотрудником Лаборатории музыкальной акустики МГК) показали, что наилучшей из них могла бы быть 53-ступенная равномерная темперация, предложенная в начале XVIII в. Меркатором и воплощенная в реальные инструменты в конце XIX в. Бозанкетом и Танакой; эта система позволяет очень точно воспроизводить в различных тональностях интервалы чистого, пифагорова и равномерно-темперированного строев. (см.: Ю.Н. Рагс Концепция зонной природы музыкального слуха. Пути становления, разработка проблемы и дальнейшее ее развитие // Н. А. Гарбузов — музыкант, исследователь, педагог. 1980, с. 15-16).
http://harmony.musigi-dunya.az/RUS/a...8535&txtid=122

[commator]

53-ступенная равномерная темперация заслуживает отдельной темы ...

Благодарю за открытие этой темы.

Имею 7-летний опыт практических занятий в области переноса музыки из обычной равномерной темперации системы 12 равных делений октавы (12РДО) в 53РДО. Буду стараться поделиться своими наработками в этой теме.

[commator]

Рагс сообщает об исследованиях П. Н. Зимина:
Теоретические анализы различных систем выбора (один их таких анализов провел П. Н. Зимин; он был научным сотрудником Лаборатории музыкальной акустики МГК) показали, что наилучшей из них могла бы быть 53-ступенная равномерная темперация, предложенная в начале XVIII в. Меркатором и воплощенная в реальные инструменты в конце XIX в. Бозанкетом и Танакой; эта система позволяет очень точно воспроизводить в различных тональностях интервалы чистого, пифагорова и равномерно-темперированного строев. (см.: Ю.Н. Рагс Концепция зонной природы музыкального слуха. Пути становления, разработка проблемы и дальнейшее ее развитие // Н. А. Гарбузов — музыкант, исследователь, педагог. 1980, с. 15-16).
http://harmony.musigi-dunya.az/RUS/a...8535&txtid=122

Ещё и Эттинген воплотил систему 53РДО:

... из Лейпцигского музея музыкальных инструментов ... Кто-нибудь знает, как на этом играть?

... Orthotonophonium из музея музыкальных инструментов Берлина



Играть как на обычной фисгармонии, но значительно проще. Аппликатура во всех тональностях одинакова. Повышенная разрешающая способность клавиатуры даёт повышенную гармоничность созвучий в любой тональности.

С ортотонофониумами Эттингена мог соприкасаться Риман, который

... с 1895 г. окончательно обосновался в Лейпциге, став в 1901 г. экстраординарным, в 1905 г. ординарным профессором университета, а в 1908 г. возглавил Collegium musicum, в 1914 г. преобразованный в Саксонский государственный научно-исследовательский институт музыковедения (нем. Staatlich sachsischen Forschungsinstituts fur Musikwissenschaft) ...

Ортотонофониумы появились в 1914. За 5 лет до смерти Римана, а он с работами Эттингена был знаком. Экземпляр лейпцигского музея мог быть изготовлен по заказу Римана для института музыковедения, которым Риман тогда руководил, похоже.

[commator]

... эта система позволяет очень точно воспроизводить в различных тональностях интервалы чистого, пифагорова и равномерно-темперированного строев. (см.: Ю.Н. Рагс Концепция зонной природы музыкального слуха. Пути становления, разработка проблемы и дальнейшее ее развитие // Н. А. Гарбузов — музыкант, исследователь, педагог. 1980, с. 15-16). [/I]
http://harmony.musigi-dunya.az/RUS/a...8535&txtid=122

Неясно о точности воспроизведения интервалов какого равномерно-темперированного строя упоминает Рагс. Если имеется ввиду обычная система 12РДО (12-ти равных делений октавы), то он жестоко ошибается. Её полутоны/б.септимы и терции/сексты не поддаются очень точному (погрешность в единицы центов, надо полагать) воспроизведению в системе 53РДО.

Ни Риман ни Рагс и, похоже, никто на русском не связывает с системой 53РДО античные вычисления Цзин Фана. Англоязычные упоминают Ching Fang практически везде, где идёт речь об истории 53EDO.

Есть ещё и умиляющие каракули самого Ньютона:

[commator]

Из темы о теории восточной музыки:

... в англоязычной Википедии есть интересное место:

<<... Арабская музыка, которая по большей части основывает свою теорию на четвертинатонах, также сделала некоторые использования её (системы 53РДО); сирийский скрипач и музыкальный теоретик Twfiq Al-Sabagh предложил, вместо равномерного деления октавы на 24 части, 24-нотную шкалу в 53-рт, которая должна использоваться как основная шкала для арабской музыки ...>>

Есть и среди арабов люди, понимающие вредность для музыкального мышления кратных 12-ти систем равномерной темперации. Один из них предлагает выложить шкалу системы 24-х неравных делений октавы из мозаики боле мелких 53-х равных делений октавы.

[Математик]

Вот в это хотелось бы проникнуть поподробнее:
The 53-et tuning equates to the unison, or tempers out, the intervals 32805/32768, known as the schisma, and 15625/15552, known as the kleisma. These are both 5-limit intervals, involving only the primes 2, 3 and 5 in their factorization, and the fact that 53-et tempers out both characterizes it completely as a 5-limit temperament: it is the only regular temperament tempering out both of these intervals, or commas, a fact which seems to have first been recognized by Japanese music theorist Shohe Tanaka. Because it tempers these out, 53-et can be used for both schismatic temperament, tempering out the schisma, and Hanson temperament (also called kleismic), tempering out the kleisma.
http://en.wikipedia.org/wiki/53_equal_temperament
(подраздел “Theoretical properties” на указанной странице)

в связи с тем изложением системы 53-ступенной темперации, которое мы находим у Римана. Здесь Риман пишет о его преимуществах:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/6/2/4.html

А здесь приведено само изложение:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/6/2/2.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/6/2/3.html

[Математик]

Вот в это хотелось бы проникнуть поподробнее:
в связи с тем изложением системы 53-ступенной темперации, которое мы находим у Римана.

Понятно, что все это теснейшим образом связано с уже не раз обсуждавшейся таблицей Римана:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/2/4.html

в которой приведены интервалы системы 5-limit just intonation (системы чистой интонации предела 5), или, по русски, системы ЧИП5.
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of...ust_intonation

[commator]

... в связи с тем изложением системы 53-ступенной темперации, которое мы находим у Римана. Здесь Риман пишет о его преимуществах:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/6/2/4.html

...

Довольно сумбурные мысли относительно трудностей системы 53РДО, которые хочется привести в порядок:



Неудобство игры на инструменте, позволяющем пользоваться одинаковыми аппликатурами игры в любых тональностях скорее спорно, чем существует в действительности. Это Риман написал до знакомства с ортотонофониумом Эттингена, чья клавиатура смотрится эргономически продвинутым вариантом обобщённого дизайна Бозанкета.



Первый в мире системы 53РДО инструмент Бозанкета не может претендовать на оптимальный вариант эргономичесого дизайна обобщённой клавиатуры. Тем не менее играть на его клавиатуре не труднее, чем на обычной. Сам пробовал.



С учётом исчезания аппликатурных проблем игры в разных тональностях, играть несомненно легче, чем на клавиатуре обычной.

Теоретическое образование исполнителя может быть не обязательно высокого уровня. Главное чтобы нотные тексты для разучивания пьес готовили квалифицированные специалисты по гармоническому анализу. Это касается как интерпретирования музыки, созданной в среде систем 12/24РДО или других систем темперации, так и создания новой музыки в системе 53РДО.

Много музыки для системы 53РДО станут писать не в следующем году, разумется. Поэтому первый этап внедрения системы 53РДО будет проходить в условиях преимущественного интерпретирования музыки из среды существующих и предыдущих систем темперации.

Если исполнитель желает осуществлять собственное интерпретирование в системе 53РДО известной и новой музыки, он может готовить себе ноты самостоятельно: методом проб и ошибок, или аналитическим способом. В последнем случае ему без хорошей теоретической подготовки не обойтись. В любом случае верное исполнение в системе 53РДО немыслимо без серьёзной предварительной подготовки нотного текста.

[commator]

Вот в это хотелось бы проникнуть поподробнее:
The 53-et tuning equates to the unison, or tempers out, the intervals 32805/32768, known as the schisma, and 15625/15552, known as the kleisma. These are both 5-limit intervals, involving only the primes 2, 3 and 5 in their factorization, and the fact that 53-et tempers out both characterizes it completely as a 5-limit temperament: it is the only regular temperament tempering out both of these intervals, or commas, a fact which seems to have first been recognized by Japanese music theorist Shohe Tanaka. Because it tempers these out, 53-et can be used for both schismatic temperament, tempering out the schisma, and Hanson temperament (also called kleismic), tempering out the kleisma.
http://en.wikipedia.org/wiki/53_equal_temperament
(подраздел “Theoretical properties” на указанной странице)

в связи с тем изложением системы 53-ступенной темперации, которое мы находим у Римана. Здесь Риман пишет о его преимуществах:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/6/2/4.html

А здесь приведено само изложение:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/6/2/2.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/6/2/3.html

<<... 53-рт настройка приравнивает к унисону, или вытемперирует, интервалы 32805/32768 (5^1*3^8*2^(-15)), известный как схизма, и 15625/15552 (5^6*3^(-5)*2^(-6)), известный как клейзма. Они оба являются интервалами предела 5, с участием только простых чисел 2, 3 и 5 в их факторизации, и факт, что 53-рт оба вытемперирует характеризует её полностью, как темперацию предела 5: она единственная регулярная темперация, что вытемперирует оба из этих интервалов, или коммы, факт, который, кажется, впервые был выявлен японским музыкальным теоретиком Шохе Танакой. Потому что она их вытемперирует, 53-рт может быть использована как для схизматической темперации, вытемперирующей схизму, так и и для темперации Хэнсона (также называемый клейзматической), вытемперирующей клейзму ...>>

О схизме известно, что это разница между пифагорейской и дидимовой коммами. В системе 53РДО и пифагорейская комма (3^12*2^(-19)) и дидимова комма (5^(-1)*3^4*2^(-4)) неплохо аппроксимируются одним и тем же интервалом, а именно наименьшим интервалом этой системы (2^(1/53)), который по сути является темперированной коммой. Схизму в системе 53РДО так же невозможно найти, как комму в системе 12РДО. Как в системе 12РДО отпадает нужда нотирования комматических различий интервалов, так в системе 53РДО при необходимости введения комматической нотации нет нужды отображать в ней мелкие (около 2-х центов) схизматические различия интервалов.

В интервал клейзмы моя практика ещё не упиралась. Поэтому о ней мне сказать нечего.