“Формулы Римана” и комбинаторная теория групп

[Математик]

“Формулы Римана” пишем условно. Может, и не Риман их придумал. Впервые дискуссия по этому поводу возникла здесь:

... Этот процесс не обязательно обставляьть неудобными вычислениями рациональных дробей.
Естественное расширение множества тональных функций позволяет заменить вычисления несложными операциями над буквенными формулами, после которых становится возможной автоматическая комматизация. Вчера узнал, что Риман-то к подобному и призывал.




Самая трудная фаза работы - приписать каждой ноте формулу. Решить какую несложно, но довести работу до конца большой партитуры не каждый сможет. Ведь это десятки и сотни тысяч нотных головок.
Как эту работу поручить компьютеру, пока не ясно.

Потом неоднократно возобновлялась; последний раз, кажется, тут:

Статья ещё не закончена. О связи сонантометрии с ТКГ, на которую Вы указываете, я пока в других местах не упомянул и не упоминаю. Можете спокойно развивать этот предмет своей интеллектуальной собственности.

-------------------------------------------------------------------

Во всяком случае, соответствующая методология позволяет определять “музыкальные группы” без использования чисел, которые многих раздражают. Некоторые моменты здесь, однако, хотелось бы уточнить. В качестве справочника по комбинаторной теории групп можно использовать классическую книгу:
Магнус В., Каррас А., Солитэр Д.
Комбинаторная теория групп.
Представление групп в терминах образующих
и определяющих соотношений.
М.: Наука, 1974.
http://www.px-pict.com/9/5/2/6/5/1.html

[commator]

... определять “музыкальные группы” без использования чисел, которые многих раздражают ...

Насколько я прочувствовал своей шкурой, как раз числа раздражают меньше, чем формулы. Вспомните, как Оголевец издевался над формулами акустиков. Тем не менее, помалкивая про числа, АСО на практике и сам от них формулами отгородился, но своими:


В самом деле, ну что можно быстро сказать о музыкальном смысле числа ²¹⁸⁷/₂₀₄₈, например? Только то, что 2187-й обертон 2048-го унтертона чересчур трудно заподозрить в гармоничности к тонике, т. е. ни тональной близости, ни консонанса с (²/₁)^zєZ скорее всего не будет.

Если же показать, что это число привязано к седьмой доминанте (7D ↔ 3⁷= 2187), многим станет полегче догадаться о ноте, на апотому (хроматический полутон) выше тоники. Своим способом я число ²¹⁸⁷/₂₀₄₈ запишу :7D11t, произнесу 7дэ 11та и буду знать, что передо мной 7-й доминант 11-го субтонанта. При нужде легко переведу тональный смысл ноты в число:

:7D11t ↔ 3⁷*2^-11 = ²¹⁸⁷/₂₀₄₈

Каноническая форма представления числа в этом выражении с полной очевидностью свидетельствует о принадлежности ноты к системе Чистой Интонации Предела 3 (коротко ЧИП3, англоязычно 3-limit Just Intonation, 3-limit JI, 3LJI), более известной под именем квинтовой спирали, или бесконечной в обе стороны пифагорейской цепи квинт.

Эта нота по формулам Римана ^7Q/_4O ↔ (³/₂)⁷/(²/₁)⁴, или 7-я квинта, уменьшенная на 4 октавы.

Формулами Оголевца рассматриваемую ноту невозможно записать вполне определённо. Можно лишь обозначить её принадлежность к октавному классу нот 7α.

[Математик]

В своих теориях Риман везде стремится выделить присущий музыкальным явлениям дуализм.

Возможно, Риман интуитивно чувствовал дуализм математической системы, которую он пытался использовать для описания упомянутого музыкального дуализма.
А именно, дуализм (или “двойственность”) внутри системы положительных рациональных чисел, которая обсуждалась здесь:
Частным случаем проявления этого дуализма является дуализм Дерева, который нами тоже уже обсуждался:

“Глубинно” Дерево происходит от совокупности идей, связанных с “алгоритмом Евклида” или с его разновидностями типа “антанаиресиса”:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/1.html

Алгоритм Евклида составляет сердцевину VII книги “Начал” Евклида, материал которой в античной теории музыки широко использовался:
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/0.html

А ведь мог Риман и немножко по-другому помыслить.
По сравнению с тем, как он помыслил на самом деле.
Приводя свои таблицы “музыкальных величин”, постепенно совершенствуя и расширяя их, он написал на одном из этапов:
“…Эти 36 величин размещены в таком порядке, что всякий последующий звук выше предыдущего. Это не всегда можно заметить по дробям, иногда очень сложным; гораздо нагляднее будет заменить обыкновенные дроби десятичными, для чего, как известно, нужно числителя делить на знаменателя...:”
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/1/4.html

Но можно было бы вместо перехода от обыкновенных дробей к дробям десятичным перейти от обыкновенных дробей к строкам в алфавите {V, H}. При таком представлении музыкальных интервалов тоже можно легко определить, какой из них шире или уже другого. Например, по методу, который предлагался для рациональных чисел:
http://www.px-pict.com/copies/dxdy/duality/3/3.html
(внизу указанной страницы)

И дуализм Дерева оказался бы при этом задействован:
http://www.px-pict.com/10/4/4/6.html