Обличай блудню еретическую

О построимости темпераций :)

Оценить эту запись

Zub01

03.05.2009 в 21:02 (14080 Просмотров)

Вот нечто пришло в голову, постараюсь изложить это "общедоступным языком". Это всё "просто так", на уровне исключительно математических замечаний, не имеющих какого-то отношения к "перцептивно-акустическим" вещам.

Напомню, что число называется (классически) построимым, если оно может быть построено с помощью циркуля и линейки, т.е. существует геометрическое построение к произвольному заданному отрезку (с помощью циркуля и линейки) отрезка, отношение (длины) которого к данному равно заданному числу.

На математическом языке построимые числа (с точностью до знака) совпадают с квадратично-рациональными (поле квадратично-рациональных чисел - минимальное подполе вещ. чисел, замкнутое относительно операции извлечения квадратного корня). Краткая идея доказательства (схема Ванцеля): построение циркулем и линейкой на языке координат не выводят за пределы систем квадратных и линейных уравнений; и наоборот, для любой цепочки элементов квадратичных расширений поля рациональных чисел существует соответствующее построение циркулем и линейкой. См. http://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_number

"Интуитивно" построимые числа - это те, которые могут быть записаны как выражения над целыми числами, полученные с помощью четырех арифметических операций и знака квадратного корня. Например, вот это:

- построимое число.

Кубический корень из двух - число, не являющееся построимым (теорема Ванцеля). Этот результат означает, что знаменитая задача древности ("Делосская задача" об удвоении куба) - неразрешима, т.е. невозможно только циркулем и линейкой построить куб, объём которого в два раза превосходит объём заданного куба, т.к. отношение длин ребер таких кубов должно быть равно . (см. напр. http://ru.wikipedia.org/wiki/Удвоение_куба )

Между тем, как легко видеть, на делосскую задачу можно смотреть как на задачу о построении равномерно-темперированной большой терции. Именно, "интервальный коэффициент" равн.-темп. (РТ-) большой терции равен , иными словами - отношение частот звуков РТ-большой терции равно отношению ребер двух кубов, объёмы которых находятся в отношении 2:1. Отсюда следует геометрическая непостроимость (с помощью циркуля и линейки) равномерной темперации, т.е. невозможность нахождения двух (а тем более 11-ти) средних пропорциональных между 2:1.

Для геометрического построения РТ-большой терции (и, в конечном счете, РТ-полутона) нельзя обойтись циркулем и линейкой: необходимы особые инструменты типа мезолябии Эратосфена или инструмента для вычерчивания конхоиды Никомеда, т.е. нужны инструменты для кривых 3-го порядка. Построение с помощью мезолябии описывал Царлино в Институциях (http://tonalsoft.com/monzo/zarlino/1...ino1558-2.aspx ; в строгом смысле, по ссылке речь идет о делении коммы на нужное количество частей, но мезолябия годня "для всех случаев"), в Сопплиментах он дал картинку для 12-тоновой РТ (деление струн лютни).

В тырнете есть труд одного ферматиста: http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/Delian.shtml , в котором якобы произведено построение равномерной темперации циркулем и линейкой, и тем самым, в частности, якобы решена задача удвоения куба. Мне было лениво искать там ошибку, кто хочет - может поупражняться .

Интересно следующее: в противоположность РТ, классическая среднетоновая ("аронова") темперация на 1/4 синтонической коммы оказывается построимой. Действительно, она основана на уменьшении чистой квинты на четверть синтонической коммы. Интервальный коэффициент такой квинты -

- построимое число .
Так что среднетоновая темперация - построима (циркулем и линейкой). В частности, "средний тон" получается как построимое геометрическое среднее 5 и 4 (середина чистой большой терции).

Метки: мезолябия, темперация

Категории: Miscellanea , Музыкальная наука , История музыки , Интересные факты

Отправить другу ссылку на эту запись

« Беслан. Память. Имена. Главная страница Abstract music theory by T. Noll »

lerit - 03.05.2009 22:34
Ужасно любопытно, каким будет первый комментарий... (мой прошу не считать...)
Брунгильда - 03.05.2009 22:43
Сообщение от lerit

Ужасно любопытно, каким будет первый комментарий... (мой прошу не считать...)

Мне тоже очень любопытно....( мой комментарий тоже не считайте, пожалуйста!)
Zub01 - 03.05.2009 23:40
Сообщение от lerit

Ужасно любопытно, каким будет первый комментарий... (мой прошу не считать...)

Ох-хо, уважаемые Lerit и Брунгильда, мне и самому интересно . Подозреваю, что не будет .
Впрочем, вопрос - действительно ли понятно - в целом, на описательном уровне? Побочно и кратко вот о чем речь. Дадим (вспомним школьную геометрию с её задачами на построение) следующие задачи. С помощью только циркуля и линейки:
1) разметить данную струну по равномерной темперации
2) то же самое - по среднетоновой темперации

Фишка в том, что задача 1) неразрешима (т.е. с помощью циркуля и линейки разметить невозможно), задача 2) - разрешима (с помощью циркуля и линейки разметить можно).

Ну и для полноты, если кому по нраву больше ЖЖ - я и там продублировал (как бы и обсуждение даже есть поманеньку ) :
http://zouboff.livejournal.com/161545.html
lerit - 03.05.2009 23:50
В голову нахально лезет только одна дурацкая мысль в подтверждение неразрешимости первой задачи на чисто эмпирическом уровне: все рояли фальшивят...
ALEXY - 04.05.2009 01:38
Знаити, я тот, кто с РТ много лет чаще встречается,чем с родственниками. Но воспринимать ее в числах... Увольте , моя голова, наверное этого не выдержит.Хотя недавно подвергся химии- настраивал два рояля с четвертьтоновой разницей. В концерте голова минут пять болела, потом прошла, когда слушал.
Вот такие мы выносливые млекопитающиеся.А ведь можно и умом подвинуться.
avg - 04.05.2009 08:53
Сообщение от lerit

В голову нахально лезет только одна дурацкая мысль в подтверждение неразрешимости первой задачи на чисто эмпирическом уровне: все рояли фальшивят...

Дурацкий комментарий к дурацкой мысли: наверное, их с циркулем и линейкой настраивают!

А если серьезно -- занятный математический этюд. Кстати сказать, хоть я такой теоремы и не доказывал, ведь наверняка к любому непостроимому числу можно сколько угодно близко подойти в последовательности построимых (я это говорю с лету, допускаю, что это даже прямое следствие известных теорем).

Обновлено 04.05.2009 в 10:15 avg
Walter Boot Legge - 04.05.2009 12:39
Кстати сказать, хоть я такой теоремы и не доказывал, ведь наверняка к любому непостроимому числу можно сколько угодно близко подойти в последовательности построимых (я это говорю с лету, допускаю, что это даже прямое следствие известных теорем).

Ну это более чем тривиально, учитывая что множество рациональных чисел включается во множество рационально-квадратичных.

Тут дело не в топологии а алгоритмах
Zub01 - 05.05.2009 23:13
2avg:

Сообщение от avg

А если серьезно -- занятный математический этюд. Кстати сказать, хоть я такой теоремы и не доказывал, ведь наверняка к любому непостроимому числу можно сколько угодно близко подойти в последовательности построимых (я это говорю с лету, допускаю, что это даже прямое следствие известных теорем).

Да, тут дела обстоят примерно так, как сказал Вальтер. Собственно, любое вещественное число может быть сколь угодно точно приближено двоично-рациональным (т.е. вида m/n, где n - некоторая степень двойки), и для такого приближения можно обойтись весьма ограниченным набором операций с циркулем и линейкой, например:

1) данный отрезок разделить пополам
2) по двум заданным отрезкам (возможно, совпадающим ) построить их сумму (т.е. отрезок, длина которого равна сумме длин данных отрезков).

Комбинируя операции 1) и 2), можно к данному отрезку построить отрезок, относящийся к нему как любое наперед заданное двоично-рациональное число. И наоборот, начиная от какого-то отрезка, комбинированием операций 1), 2) можно получить лишь отрезки, относящиеся к заданному только как-двоично рациональное число (напр., корень из двух так не построить). Ну и, обходясь лишь операциями 1), 2) можно приблизиться к любому (непостроимому) отрезку со сколь угодно большой наперед заданной точностью.