Алексей Степанович Оголевец

[Математик]

С двумя предыдущими постами определенным образом согласуются следующие рассуждения Римана:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/3.html

[commator]

С двумя предыдущими постами определенным образом согласуются следующие рассуждения Римана:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/3.html

Риман удовлетворился рациональными числами в виде простых дробей, а мне этого оказалось мало и я добрался до канонического вида. Как сообщалось выше, первым поклонником такого подхода к музыкальным числам был скорее всего Эйлер. Он выбрался на просторы ЧИП7. Мне и этого мало, т. к. вижу перспективы выхода в ЧИП17. Это пространство семимерное. Простые дроби недостаточно информативны для такого путешествия. На векторах и геометрических интерпретациях не доберусь (возраст не юношеский), а функции и буквенные формулы доставят с гарантией. Седьмой год на них путешествую по разным пределам ЧИ. Пока не подводят.

[Математик]

... Мне и этого мало, т. к. вижу перспективы выхода в ЧИП17. Это пространство семимерное. Простые дроби недостаточно информативны для такого путешествия. На векторах и геометрических интерпретациях не доберусь (возраст не юношеский), а функции и буквенные формулы доставят с гарантией. Седьмой год на них путешествую по разным пределам ЧИ. Пока не подводят.

Векторы универсальны: они и к 17-мерному пространству применимы, и к 21-мерному. Для классических случаев ЧИП3 и ЧИП5 следующие наглядные представления П. С. Александрова для векторов могут быть полезными:
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/3/2.html

[commator]

Векторы универсальны: они и к 17-мерному пространству применимы, и к 21-мерному. Для классических случаев ЧИП3 и ЧИП5 следующие наглядные представления П. С. Александрова для векторов могут быть полезными:
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/3/2.html

Про универсальность векторов понятно, но про музыку Александров не пишет. Я продолжаю надеяться, что вскоре Вы покажете на векторах диатонику чистого строя (ДЧС). С диатоникой пифагорейского строя (ДПС) пока всё ясно. До ковекторов, разумеется.

[Математик]

Про универсальность векторов понятно, но про музыку Александров не пишет.

Ну, так, значит, мы о ней будем писать. Внося тем самым новый, возможно, бесценный вклад в мировое музыкознание…

Я продолжаю надеяться, что вскоре Вы покажете на векторах диатонику чистого строя (ДЧС).

Заказанная Вами диатоника чистого строя “на векторах” приведена здесь:
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1/2.html

Я в общем следую обозначениям и соглашениям Александрова о трехмерном аффинном пространстве:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/1/2.html

Для того, чтобы естественно соотнести принятое у Александрова расположение координатных осей (на рис. 36) с устройством таблицы Римана:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/2/2/2/5.html

я принял следующую интерпретацию для базисных векторов:
вектору e1 соответствует ход на квинту вверх (от точки-звука, к которой приложен этот вектор);
вектору e2 соответствует ход на терцию вниз (от точки-звука, к которой приложен этот вектор);
вектору e3 соответствует ход на октаву вверх (от точки-звука, к которой приложен этот вектор).
--------------------------------------

Таким образом, координаты x, y, z вектор столбцов, представляющих звуки диатоники чистого строя:
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1/2.html

должны интерпретироваться следующим образом:
x -- число ходов на квинту вверх;
y -- число ходов на терцию вниз;
z -- число ходов на октаву вверх.
--------------------------------------

Например, смысл координат вектор-столбца, отвечающего чистостроевскому “ля”, заключается в том, что для того, чтобы достичь этот звук из звука “до” (из нашего “начала координат” ), необходимо сделать от “до” ход на квинту вниз, затем – на терцию вверх и, наконец, сделать еще ход на октаву вверх.

Стандартное описание диатоники чистого строя можно посмотреть, например, здесь:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/8/2.html

[commator]

... Заказанная Вами диатоника чистого строя “на векторах” приведена здесь:
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1/2.html ...

Ну вот... Получились столбики чисел, по сравнению с которыми даже малоинформативные простые дроби гораздо компактнее и удобнее для практического использования.

Где же картинки со стрелочками?

Вот моя интерпретация ДЧС в пифагорейской нотации с коммами, формулами сонантов и числовыми соотношениями частот (m, n - натуральные числа):

До м. октавы: тонант любого сонантв своего субсонанта ~~~ c:TSs ~~ p^(+m)·p^(-m}·2^(+1) = 2n/n
Подси б. октавы: медиант доминанта третьего субтонанта ~ <H:MD3t ~ 5^(+1)·3^(+1)·2^(-3) = 15/8
Подля б. октавы: медиант субдоминанта ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ <A:Md ~~~ 5^(+1)·3^(-1)·2^(±0) = 5/3
Ре б. октавы: доминант субтонанта ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ G:Dt ~~~ 5^(±0)·3^(+1)·2^(-1) = 3/2
Фа б. октавы: второй тонант субдоминанта ~~~~~~~~~~~~~~~~ F:2Td ~~ 5^(±0)·3^(-1)·2^(+2) = 4/3
Подми б. октавы: медиант второго субтонанта ~~~~~~~~~~~~ <E:M2t ~~ 5^(+1)·3^(±0)·2^(-2) = 5/4
Ре б. октавы: второй доминант третьего субтонанта ~~~~~~~ D:2D3t ~ 5^(±0)·3^(+2)·2^(-3) = 9/8
Подре б. октавы: медиант тонанта второго субдоминанта ~~ <D:MT2d ~ 5^(+1)·3^(-2)·2^(+1) = 10/9
До б. октавы: любой сонант своего субсонанта ~~~~~~~~~~~~ C:Ss ~~~~~~~~~~ p^(+m)·p^(-m} = n/n

В практике беру партитуру, расписываю по голосам и в каждои голосе, каждой ноте приписываю формулу сонанта (тональную функцию) в зависимости от окружающего контекста. Чем больше приписано формул вокруг, тем яснее, какой сонант приписать ешё не осмысленной ноте. Для живого исполнителя по приписанным сонантам выставляю значки управления коммами и отклонения в центах от нот 12РДО. Для автоматического моделирования звучания по сонантам же добавляются MIDI команды управления Pitch Bend.

[Математик]

Ну вот... Получились столбики чисел, по сравнению с которыми даже малоинформативные простые дроби гораздо компактнее и удобнее для практического использования.

Где же картинки со стрелочками?

“Столбики чисел” получились потому, что мы представили векторы наборами их координат в выбранном квинто-терцово-октавном базисе e1, e2, e3. Столбики не малоинформативны… И, вместе с тем, очень компактны. В них содержится абсолютно вся необходимая информация о диатонике чистого строя.

Удобство и практичность векторного исчисления (в указанном координатном представлении) подтверждается неисчислимымм примерами его практического применения в самых разных областях… Вряд ли ЧИПы составят здесь исключение.

[commator]

“Столбики чисел” получились потому, что мы представили векторы наборами их координат в выбранном квинто-терцово-октавном базисе e1, e2, e3. Столбики не малоинформативны… И, вместе с тем, очень компактны. В них содержится абсолютно вся необходимая информация о диатонике чистого строя ...

Просто попробуйте написать столбиками сообщение этого Форума, в котором будет ДЧС в виде горизонтальной гаммы. Формулами я легко это делаю в одной строке:

C:Ss - <D:MT2d - D:2D3t - <E:M2t - F:2Td - G:Dt - <A:Md - <H:MD3t - c:TSs

Уверяю, что в партитурах под и над нотными станами гораздо удобнее и компактнее писать в строку, а не столбиками. Я не против векторов, но сколько потребуется усилий, чтобы практически с нуля привить их концепцию к музыкальной теории? Тут даже попытки развить существующие тональные функции принимаются скорее в штыки, чем с хлебом-солью. Я где-то упоминал, что микрохроматические знаки альтерации, придуманные Тартини для колонизации ЧИП7 (!), почти триста лет стояли в очереди на жилплощадь в системе музыкальной нотации. Ещё продолжают выпрашивать жильё в музтеории им же замеченные фантомные комбинационные тоны. ЧИП7 всё ещё не признаётся жизненно важным пространством тональной музыки.

[Математик]

Где же картинки со стрелочками?

Да вот они!
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1/1.html#4

На примере пифагорейской диатоники. Мы здесь воочию видим, что векторы правильно отражают ее интервальное строение. Относительно диатоники чистого строя -- лень рисовать соответствующие трехмерные картинки. Но сама идея понятна.

[commator]

,,,
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1/1.html#4

На примере пифагорейской диатоники. Мы здесь воочию видим, что векторы правильно отражают ее интервальное строение. Относительно диатоники чистого строя -- лень рисовать соответствующие трехмерные картинки. Но сама идея понятна.

Смущает то, что длина вектора обратно пропорциональна ширине интервала. Напрашивается желание базисными величинами делать соотношения для комм, как мельчайших интервалов.

Но даже и в этом случае прикладное значение векторов к музыкальной теории для меня остаётся неопределённым из-за практических неудобств как с геометрической, так и с числовой формами их отображения. Если рисовать даже ЧИП5 векторы не представляется достаточно лёгкой задачей, можно склониться к сомнениям в смысле их существования и стать на позицию отрицания ценности для музыки ЧИ любого предела более 3-х. Для моих представлений выразительная тональная музыка это ЧИП5 и выше. Поэтому в очередной раз делаю вывод о том, что в математике есть не только векторы, которые для музтеории пока неудобны.