Алексей Степанович Оголевец

[vcirkov]

Значит все же пол десятка центов. Вы не пробовали преподавать?

Выходит, что 696.8 округленно. Это на 3.2 цента уже чистой

Это не чудовищная путаница, а просто невнимательность. Конечно - уже темперированной, а не чистой. Дальше умножаем остаток 3.2 от темперированной квинты на 4 и отнимаем его от терции 12РДО:
400 - 12.8 = 387.2 - терция 31РДО. Теперь правильно?

[commator]

Всё началось с Вашего утверждения:

... Не уверен, что чистая квинта звучит похоже с квинтой 31РДО, у которой пол десятка биений ...

Из длительной дискуссии по поводу этой чепухи имеем Ваш вывод:

Значит все же пол десятка центов. Вы не пробовали преподавать? ...

Да какой же из меня преподаватель? Я пятый день убеждаю Вас, что путать центы с биениями не стоит. Вы продолжаете путать. Это уж слишком. Тема, в конце концов, об Оголевце, а не об особенностях Вашего способа размышлений.

[Математик]

Почему бы в рамках геометрической модели для ЧИПов (для систем Чистой Интонации соответствующего Предела):
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1.html
не осуществить классификацию возможных мелодий (которые в геометрической модели будут представлены в виде некоторых множеств точек и векторов):
по аналогии с тем, как в тех же самых геометрических пространствах осуществляется классификация возможных узоров:

http://www.px-pict.com/7/4/4/2/4/1.html

При помощи параллельных переносов мы можем построить одну и ту же мелодию-узор от разных звуков (а не только от c); такие построения одной и той же мелодии от разных звуков можно ассоциировать с замощениями плоскости. Обычно эту идею иллюстрируют на узорах Эшера:

http://www.px-pict.com/7/4/4/2/4/3.html

Мне было бы важно узнать, что получится из этой идеи хотя бы на уровне ЧИП5. Примитивные начинания в ЧИП3 не отражают всего, чем пользуется тональная музыка в рамках традиционного для западной музыкой гармонического многоголосия.


Если станет понятно, что происходит в ЧИП5, можно будет осознать, как в это вписывается ЧИП3. Тогда могут возникнуть хорошие идеи о правильном вписывании ЧИП5 в ЧИП7 и выше. Сверяя их с явлениями фольклора и восточной классической музыки можно будет правильно развивать глобальную теорию тональной музыки.

Я не против ЧИП5, ЧИП7 и выше. Иллюстрация на примере ЧИП3 приводилась в качестве объяснения существа идеи. На самом деле эта идея не зависит от размерности ЧИПа. Однако прежде, чем эту идею можно будет четко сформулировать, придется все же понять кое-что из аналитической геометрии. А именно – методологию операции “преобразования координат” в наших “музыкальных пространствах”. У П.С. Александрова, например, эта методология изложена для случая трехмерного пространства, что позволяет держаться ближе к ЧИП5:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/1/2/1.html
-----------------------------------------

Поясню эту методологию, все же, на примере ЧИП3 (т. е. двумерного пространства), чтобы не заниматься длинной писаниной. В качестве “старого” репера (“старой” аффинной системы координат) берем описанную здесь:
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1.html

Напомню, что базисные вектора e1 и e2 “старого” репера имеют следующий смысл:
вектору e1 соответствует ход на дуодециму вверх (от точки-звука, к которой приложен этот вектор);
вектору e2 соответствует ход на октаву вниз (от точки-звука, к которой приложен этот вектор).

В качестве базисных векторов “нового” репера выберем два вектора e1’ и e2’, имеющие следующий смысл:
вектору e1’ соответствует ход на пифагорейскую большую секунду (“целый тон”) вверх (от точки-звука, к которой приложен этот вектор);
вектору e2’ соответствует ход на пифагорейскую малую секунду (“диатонический полутон”, “леймму”) вверх (от точки-звука, к которой приложен этот вектор).

Разложение векторов “нового” базиса по векторам “старого” базиса дает:
e1’ = 2 * e1 + 3 * e2;
e2’ = -5 * e1 - 8 * e2.

Из этих равенств можно извлечь матрицу A* перехода от базиса e1, e2 к базису e1’, e2’, о которой пишет Александров, а также построить на ее основе матрицу A “преобразования координат”.
-------------------------------------------------

Эти матрицы будут существенно использоваться для точной формулировки идеи о классификации мелодий в музыкальных пространствах ЧИПn по аналогии с классификацией узоров в соответствующих геометрических пространствах.

[commator]

...
Эти матрицы будут существенно использоваться для точной формулировки идеи о классификации мелодий в музыкальных пространствах ЧИПn по аналогии с классификацией узоров в соответствующих геометрических пространствах.

Обращаю Ваше внимание на то, что в традиционной музыкальной науке гармоническим нормативом является четырёхголосие. Если классифицировать мелодии, из которых не будет возможности составлять гармонически полноценные четырёхголосные последовательности, то кроме математического удовольствия может не получиться иной пользы.

[Математик]

Обращаю Ваше внимание на то, что в традиционной музыкальной науке гармоническим нормативом является четырёхголосие. Если классифицировать мелодии, из которых не будет возможности составлять гармонически полноценные четырёхголосные последовательности, то кроме математического удовольствия может не получиться иной пользы.

А кто здесь против четырехголосия?

[commator]

А кто здесь против четырехголосия?

... в системе Оголевца нет ни “верных” больших терций, ни “чистых” больших терций. А есть просто большие терции, совпадающие с пифагорейской большой терцией (408 центов, или, точнее, 407.82 цента)
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/4/6.html
...

Если Оголевец не предложил использовать кроме пифагорейских никаких иных терций, то он игнорирует традиционное гармоничное четырёхголосие. Оно строится на созвучиях терцовой структуры, а терции пифагорейские не дадут приемлемой аппроксимации гармоничного звучания.

Выходит, что Алексей Степанович против. Удивительно, что книжку свою толстую при этом назвал не как-нибудь, а "Основы гармонического языка".

[commator]

...базисные вектора e1 и e2 “старого” репера имеют следующий смысл:
вектору e1 соответствует ход на дуодециму вверх (от точки-звука, к которой приложен этот вектор);
вектору e2 соответствует ход на октаву вниз (от точки-звука, к которой приложен этот вектор).

В качестве базисных векторов “нового” репера выберем два вектора e1’ и e2’, имеющие следующий смысл:
вектору e1’ соответствует ход на пифагорейскую большую секунду (“целый тон”) вверх (от точки-звука, к которой приложен этот вектор);
вектору e2’ соответствует ход на пифагорейскую малую секунду (“диатонический полутон”, “леймму”) вверх (от точки-звука, к которой приложен этот вектор).

Разложение векторов “нового” базиса по векторам “старого” базиса дает:
e1’ = 2 * e1 + 3 * e2;
e2’ = -5 * e1 - 8 * e2.

Из этих равенств можно извлечь матрицу A* перехода от базиса e1, e2 к базису e1’, e2’, о которой пишет Александров, а также построить на ее основе матрицу A “преобразования координат”.
...

Попробовал в центах вычертить. Получилась несуразица.

[Математик]

Попробовал в центах вычертить. Получилась несуразица.

Зачем в центах вычерчивать? Смысл изложенной выше идеи:

Поясню эту методологию, все же, на примере ЧИП3 (т. е. двумерного пространства), чтобы не заниматься длинной писаниной. В качестве “старого” репера (“старой” аффинной системы координат) берем описанную здесь:
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1.html

Напомню, что базисные вектора e1 и e2 “старого” репера имеют следующий смысл:
вектору e1 соответствует ход на дуодециму вверх (от точки-звука, к которой приложен этот вектор);
вектору e2 соответствует ход на октаву вниз (от точки-звука, к которой приложен этот вектор).

В качестве базисных векторов “нового” репера выберем два вектора e1’ и e2’, имеющие следующий смысл:
вектору e1’ соответствует ход на пифагорейскую большую секунду (“целый тон”) вверх (от точки-звука, к которой приложен этот вектор);
вектору e2’ соответствует ход на пифагорейскую малую секунду (“диатонический полутон”, “леймму”) вверх (от точки-звука, к которой приложен этот вектор).

заключался в том, что среди всевозможных ходов на всевозможные интервалы в системе ЧИП3 (равно как и в ЧИПах любой размерности) существует базис, т. е. такие (в данном случае ЧИП3 – два) хода e1 и e2, посредством линейных комбинаций которых могут быть получены все другие ходы на все другие интервалы в системе ЧИП3.

Причем таких базисов существует не один, а много и все они определенным образом связаны друг с другом (каким образом – это зашифровано в структуре упомянутой выше матрицы A* перехода от одного базиса к другому).

Каждый ход на какой-либо интервал в системе ЧИП3 может быть идентифицирован набором своих координат (представляющих собой некоторые целые числа) в некотором фиксированном базисе. При смене базиса эти координаты, вообще говоря, изменятся. Каким образом изменятся – зашифровано в структуре упомянутой выше матрицы A “преобразования координат”, однозначно ассоциированной с соответствующей матрицей A* перехода от одного базиса к другому.
-------------------------------------------------------

Поясню вышесказанное на примере определенных выше базисов e1, e2 и e1’, e2’ в системе ЧИП3.

Разложение по базису e1, e2 некоторых ходов на некоторые интервалы в системе ЧИП3 имеет следующий вид:
ход вверх на пиф. большую терцию = 4 * e1 + 6 * e2
ход вверх на пиф. малую терцию = -3 * e1 -5 * e2
ход вверх на пиф. чистую кварту = -1 * e1 -2 * e2
ход вверх на пиф. чистую квинту = 1 * e1 + 1 * e2
ход вверх на пиф. большую сексту = 3 * e1 + 4 * e2
ход вверх на пиф. малую сексту = -4 * e1 -7 * e2
ход вверх на октаву = 0 * e1 -1 * e2

Разложение по базису e1’, e2’ некоторых ходов на некоторые интервалы в системе ЧИП3 имеет следующий вид:
ход вверх на пиф. большую терцию = 2 * e1' + 0 * e2'
ход вверх на пиф. малую терцию = 1 * e1' + 1 * e2'
ход вверх на пиф. чистую кварту = 2 * e1' + 1 * e2'
ход вверх на пиф. чистую квинту = 3 * e1' + 1 * e2'
ход вверх на пиф. большую сексту = 4 * e1' + 1 * e2'
ход вверх на пиф. малую сексту = 4 * e1' + 0 * e2'
ход вверх на октаву = 5 * e1' + 2 * e2'
-------------------------------------------------------

Все это согласуется с учением об интервалах у Способина, при условии, что мы “детемперируем” наше сознание, заменив в нем конструкции 12-ступенного равномерно-темперированного строя на соответствующие конструкции пифагорейского строя:
http://www.px-pict.com/7/3/2/7/4/41.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/7/4/42.html

[commator]

Зачем в центах вычерчивать? ...

Хотел осознать связь музыки с аналитической геометрией через моделирование средствами начертательной геометрии. По аналитической у меня в дипломе 3, а по начертательной 5.

Если через начертательную быстро не прочувствую, то разбираться в аналитической просто времени не найдётся.

Ещё необходимо убедиться, что верность геометрических интерпретаций взаимодействия интервалов можно проверять центовой арифметикой. Может быть пространство ЧИ не афинное?

[Математик]

Зачем в центах вычерчивать?

Хотел осознать связь музыки с аналитической геометрией через моделирование средствами начертательной геометрии. По аналитической у меня в дипломе 3, а по начертательной 5.
Если через начертательную быстро не прочувствую, то разбираться в аналитической просто времени не найдётся.

Все пифагорейские интервалы, ходы на которые были рассмотрены выше в качестве примера, приведены в таблице Римана:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/1/2/1/4.html

Например, для интервала малой пифагорейской терции таблица Римана дает величину 27 / 32 или, что тоже самое, ((3 в степени 3) / (2 в степени 5)). Поскольку в таблице Римана пифагорейские интервалы выражены в терминах отношений длин струн, а в геометрической модели для музыкальной системы ЧИП3:
http://www.px-pict.com/preprints/vectors/1.html

для выражения тех же интервалов используются отношения частот, то нужно поменять местами в дробях числители и знаменатели. Таким образом, мы будем связывать с интервалом малой пифагорейской терции дробь 32 / 27 или, что тоже самое, ((2 в степени 5) / (3 в степени 3)). Но, поскольку, для разложения любого интервала по нашему “исходному” базису e1, e2, мы должны представить этот интервал обязательно в виде ((3 в степени x) / (2 в степени y)), где x и y могут быть произвольными целыми числами, то мы используем в представлении интервала малой пифагорейской терции отрицательные степени. Т. е. мы будем связывать с этим интервалом выражение вида: ((3 в степени -3) / (2 в степени -5)). Это выражение делает абсолютно ясным смысл координат x = -3 и y = -5 в разложении по базису e1, e2 хода вверх на пиф. малую терцию:
ход вверх на пиф. малую терцию = -3 * e1 + -5 * e2.

Содержательно это означает, что ход вверх на пиф. малую терцию может быть реализован путем хода на 3 дуодецимы вниз и последующих 5 ходов на октаву вверх. Этот факт является очень элементарным, но, тем не менее, правильным знанием о нашем музыкальном пространстве ЧИП3. Другим таким же элементарным, но, тем не менее, также правильным знанием о ЧИП3, будет тот факт, что ход вверх на пиф. малую терцию может быть также реализован и путем хода на 1 целый тон вверх и последующего 1 хода на леймму вверх. Это соответствует разложению хода вверх на пиф. малую терцию по “новому” базису e1’, e2’:
ход вверх на пиф. малую терцию = 1 * e1’ + 1 * e2’.
--------------------------------------------

Таким образом, все приведенные выше равенства представляют собой разнообразные знания о музыкальном пространстве ЧИП3, но изложенные более систематическим образом, чем обычно, с использованием аппарата матрично-векторных вычислений.
--------------------------------------------

Два рассмотренных выше равенства:
ход вверх на пиф. малую терцию = -3 * e1 + -5 * e2
ход вверх на пиф. малую терцию = 1 * e1’ + 1 * e2’.

мы можем свести в одно равенство:
-3 * e1 + -5 * e2 = 1 * e1’ + 1 * e2’.

Опуская несущественные подробности, можно сказать, что оно эквивалентно следующему числовому тождеству:
( 1 / 3 ) * ( 1 / 3 ) * ( 1 / 3 ) * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = ( 9 / 8 ) * ( 256 / 243 )

Если Вы переведете величины пифагорейских интервалов, фигурирующих в этом тождестве, в центы, истинность тождества от этого не изменится.