Натуральный звукоряд

[Математик]

Вот о дружественности ДШБ к Музыке мне открылось понимание в полной мере. Нет сомнений, что вся естественная музыкальная гармония, как вертикальная, так и горизонтальная в нём упакована. Любая приятная музыка всегда обязана оказаться некоторым поддеревом ДШБ.

Есть еще одно архиважное понятие, связанное с Деревом Штерна-Броко (ДШБ), которое мы никоем образом не должны упускать из виду. Это – эпиморные отношения:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/2.html
http://www.ex-tempore.org/means/means.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Superparticular_number
https://home.comcast.net/~dcanright/super/

Я уже писал об этом ранее:

“Музыкальную” сущность Дерева можно начать разгадывать с того факта, что на любом его уровне любая пара соседних чисел находится между собой в эпиморном отношении (“вырожденные” числа 0/1 и 1/0 не принимаем в рассмотрение).

Эпиморные отношения, как известно, играли большую роль в античной теории музыки:
Б. Л. ван дер Варден. “Пифагорейское учение о гармонии.”
В кн.: Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.
Гос. издательство физико-математической литературы, М.:, 1959, сс. 398 — 402.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/2.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html
(На последней странице – пункт (iii): “созвучным интервалам должны соответствовать кратные или эпиморные отношения”).

Например, для чисел 3-го уровня Дерева:
http://www.px-pict.com/10/4/4/2.html
Берем самую левую пару соседних чисел, это будут числа 1/4 и 1/3. Делим 1/3 на 1/4 , получаем в результате эпиморное отношение 4/3. Аналогично для любых двух соседних чисел 3-го уровня Дерева (и любого другого уровня Дерева).


Если Дерево – тоже из античности (как уже отмечалось), то это может свидетельствовать о связи его устройства с какими-либо античными музыкальными конструкциями.

Некоторое графическое изображение ситуации возникновения эпиморного отношения 16 / 15 на 4-ом уровне правого поддерева Дерева Штерна-Броко (ДШБ) я привел здесь:
http://www.px-pict.com/3.html

Каждый составляющий эту композицию интервал, представленный прямоугольником определенного цвета, проанализирован с помощью антифарейсиса:

Будем считать “antanairesis”:
http://www.px-pict.com/7/3/1/8/1.html

синонимом “антифайресиса”. Не могли бы Вы тогда что-либо сказать по поводу следующего места из работы Щетникова:
"…соизмерение интервалов на слух", о котором говорит Платон, вполне допустимо интерпретировать как их последовательное вычитание путем антифайресиса.
http://www.px-pict.com/preprints/schetnikov/1.html


Т. е. здесь Щетников фактически утверждает, что алгоритм антифайресис мог определенным образом применятся в музыке (или в теории музыки).

[commator]

Есть еще одно архиважное понятие, связанное с Деревом Штерна-Броко (ДШБ), которое мы никоем образом не должны упускать из виду. Это – эпиморные отношения:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/2.html
http://www.ex-tempore.org/means/means.htm
http://en.wikipedia.org/wiki/Superparticular_number
https://home.comcast.net/~dcanright/super/

Я уже писал об этом ранее:


Некоторое графическое изображение ситуации возникновения эпиморного отношения 16 / 15 на 4-ом уровне правого поддерева Дерева Штерна-Броко (ДШБ) я привел здесь:
http://www.px-pict.com/3.html

Каждый составляющий эту композицию интервал, представленный прямоугольником определенного цвета, проанализирован с помощью антифарейсиса:

“Музыкальную” сущность Дерева можно начать разгадывать с того факта, что на любом его уровне любая пара соседних чисел находится между собой в эпиморном отношении (“вырожденные” числа 0/1 и 1/0 не принимаем в рассмотрение).

Музыкальное ДШБ (дерево Штерна-Броко) представляет собой постепенный во времени переход от одного звука определённой высоты и полного спектра к особой разновидности шума или УС (унтеральной скале), которая формируется таким поочерёдным добавлением бесконечного количества звуков определённой высоты и полного спектра, что их основы пробегают по ряду унтертонов.

Каждый очередной звук, участвующий в построении музыкального ДШБ представляет собой полную НС (натуральную скалу) вертикального вида, где все ЭНС (элементы НС) начинают звучать бесконечно в один и тот же момент времени. Все ЭНС всех НС-участниц построения оказываются в каждый момент какими-то соседними ЭНС какой-то НС.

НС, в свою очередь, это всегда цепь интервалов, границы которых, или соседние ЭНС ощущаются как высоты с эпиморным соотношением частот стимулов.

Каждая НС, начиная своё участие в построении оказывается очередным уровнем ветвлений музыкального ДШБ. Каждый ЭНС становится либо медиантой некоторой пары соседних звуков предыдущего уровня, либо совпадает с одним из них.

Так как медианта двух высот с эпиморным соотношением стимулирующих частот порождает две пары высот с такими же свойствами стимулирующих частот, то эпиморное происхождение любой пары соседних высот музыкального ДШБ никогда не может быть утрачено.

Эпиморные отношения, как известно, играли большую роль в античной теории музыки:
Б. Л. ван дер Варден. “Пифагорейское учение о гармонии.”
В кн.: Б. Л. ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции.
Гос. издательство физико-математической литературы, М.:, 1959, сс. 398 — 402.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/2.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html
(На последней странице – пункт (iii): “созвучным интервалам должны соответствовать кратные или эпиморные отношения”).

Например, для чисел 3-го уровня Дерева:
http://www.px-pict.com/10/4/4/2.html
Берем самую левую пару соседних чисел, это будут числа 1/4 и 1/3. Делим 1/3 на 1/4 , получаем в результате эпиморное отношение 4/3. Аналогично для любых двух соседних чисел 3-го уровня Дерева (и любого другого уровня Дерева).

Если Дерево – тоже из античности (как уже отмечалось), то это может свидетельствовать о связи его устройства с какими-либо античными музыкальными конструкциями.

Интересно достоверно узнать как настраивали античный гидравлос. Это был орган с гидравлической стабилизацией громкости каждой трубы. Этим гарантировалась независимость громкости каждой активной трубы от состояния активности других труб. Факт существования такой стабилизации доказывает что у древних была необходимость исполнения многоголосной музыки.

Вертикальные терции они не могли не использовать на гидравлосе и архитовы - дидимовы вычисления в пользу обертоново-гармонической, а не пифагорейской природы диатоники, были известны во времена игры на гидравлосе.

[Математик]

НС, в свою очередь, это всегда цепь интервалов, границы которых, или соседние ЭНС ощущаются как высоты с эпиморным соотношением частот стимулов.

Каждая НС, начиная своё участие в построении оказывается очередным уровнем ветвлений музыкального ДШБ. Каждый ЭНС становится либо медиантой некоторой пары соседних звуков предыдущего уровня, либо совпадает с одним из них.

Так как медианта двух высот с эпиморным соотношением стимулирующих частот порождает две пары высот с такими же свойствами стимулирующих частот, то эпиморное происхождение любой пары соседних высот музыкального ДШБ никогда не может быть утрачено.

Давая различные интерпретации музыкального смысла эпиморных отношений, мы, как мне кажется, не должны упускать из виду их фундаментального характеристического свойства: это есть отношения в определенном смысле “наименее уклоняющиеся” от отношения равенства.

Это характеристическое свойство эпиморных отношений очень хорошо заметно при сравнении двух композиций: “композиции Руссо” и приведенной ниже ее композиции с эпиморным отношением:
http://www.px-pict.com/3.html#1

[commator]

Давая различные интерпретации музыкального смысла эпиморных отношений, мы, как мне кажется, не должны упускать из виду их фундаментального характеристического свойства: это есть отношения в определенном смысле “наименее уклоняющиеся” от отношения равенства.

Это характеристическое свойство эпиморных отношений очень хорошо заметно при сравнении двух композиций: “композиции Руссо” и приведенной ниже ее композиции с эпиморным отношением:
http://www.px-pict.com/3.html#1

Я бы не это подчеркнул в интервале между парой высот эпиморной стимуляции. Трудно поверить, что чистая октава, или даже чистая квинта/кварта наименее отклоняются от равенства двух высот.

С точки зрения музыкальных свойств важно отметить, что внутри интервала между парой высот эпиморной стимуляции не может появиться комбинационного тона (КТ). Он может появиться там только в результате добавления снаружи интервала третьей высоты.

Например, если взять вертикальную чистую квинту, она всегда будет воспринята как интервал между От.3 (обертоном 3) и От.2 некоторого Ут.1 (унтертона 1). В западной мажоро-минорной логике восприятия это будет неопределённый, или пустой интервал.

Если сверху добавить От.7 Ут.4, то исходный интервал обязательно будет вопринят как промежуток между От.6 Ут.4 и От.4 Ут.4. На месте отсутствующего От.5 Ут.4 обязан возникнуть его фантом или КТ. Пустая квинта заполнится и созвучие должно восприниматься с мажорным наклонением.

[Математик]

Давая различные интерпретации музыкального смысла эпиморных отношений, мы, как мне кажется, не должны упускать из виду их фундаментального характеристического свойства: это есть отношения в определенном смысле “наименее уклоняющиеся” от отношения равенства.

Я бы не это подчеркнул в интервале между парой высот эпиморной стимуляции. Трудно поверить, что чистая октава, или даже чистая квинта/кварта наименее отклоняются от равенства двух высот.

Для дерева Штерна-Броко (ДШБ) очень важны свойства, “привязанные” к его данному конкретному уровню, а не “абсолютные”. Указанное мною “фундаментальное характеристическое свойство” Дерева является именно таким “привязанным” к его данному конкретному уровню свойством. Достаточно бросить взгляд на Дерево:
http://www.px-pict.com/10/4/4.html

чтобы понять, что на каждом его уровне между соответствующим эпиморным отношением и отношением равенства не существует никаких других промежуточных отношений.

[commator]

Для дерева Штерна-Броко (ДШБ) ... между соответствующим эпиморным отношением и отношением равенства не существует никаких других промежуточных отношений.

Да. Именно поэтому внутри двухголосного интервала эпиморной стимуляции нет и не может быть никаких фантомных призвуков.

Именно поэтому НС (натуральная скала) оказывается в области человеческого звукового восприятия цепью постепенно уменьшающихся интервалов, которые бесконечно стремятся от октавы до унисона, не имеют и не могут иметь никаких промежуточных призвуков и происходят от наиболее добродетельных эпиморных соотношений порождающих частот.

Следует обратить внимание на то, что в рамках достаточно точных приближений идеальной НС, даже малые интервалы смежных ЭНС (элементов НС), которые в многоголосии напрягают биениями критические полосы слуховой системы, делают свою вредную работу максимально тактично. Любые биения между смежными ЭНС оказываются кратными частоте стимуляции основной высоты НС.

Сама идеальная НС, таким образом оказывается уникальным набором различных высот, которые образцово сосуществуют на внутренних принципах удивительной взаимоподдержки, безусловного соблюдения и невозможности нарушения всеобщей кратности.

Мельчайшие отступления от этих принципов способны отторгнуть нарушающую высоту, которая будет воспринята как чуждый негармоничный элемент.

Из этого вытекает, что в обсуждениях проблематики музыкальных консонансов/диссонансов не имеет никакого смысла и даже вредно опираться на грубые o них представления по моделям интервалов НС, которые может давать современное пианино в стандартной настройке. Намного конструктивнее использовать возможности уточнённого и общедоступного компьютерного MIDI моделирование с командой Pitch Bend.

В результате будет не только возможность слушать практически точные высоты и интервалы НС, но и возможность понимать, как правильно записывать всё это средствами широко распространённой западной пятилинейной нотации.

[Математик]

Давая различные интерпретации музыкального смысла эпиморных отношений, мы, как мне кажется, не должны упускать из виду их фундаментального характеристического свойства: это есть отношения в определенном смысле “наименее уклоняющиеся” от отношения равенства.

В плане дальнейшего постижения сути эпиморных отношений будет полезно следующее замечание:
Каждое рациональное отношение на Дереве может быть представлено в виде произведения эпиморных отношений.

Получить это представление легко, стартуя с корня дерева Штерна-Броко (ДШБ) (т. е. с отношения 1 / 1 ) и продвигаясь далее к выбранному рациональному отношению по синим и красным дугам Дерева:
http://www.px-pict.com/10/4/4.html#1

Движение по дуге (красной или синей) может быть ассоциировано с элементарной эпиморной трансформацией, т. е. с умножением (или делением) отношения, из которого исходит дуга на вполне определенное эпиморное отношение. Это следует из более раннего замечания:

“Музыкальную” сущность Дерева можно начать разгадывать с того факта, что на любом его уровне любая пара соседних чисел находится между собой в эпиморном отношении (“вырожденные” числа 0/1 и 1/0 не принимаем в рассмотрение).

Например, для чисел 3-го уровня Дерева:
http://www.px-pict.com/10/4/4/2.html
Берем самую левую пару соседних чисел, это будут числа 1/4 и 1/3. Делим 1/3 на 1/4 , получаем в результате эпиморное отношение 4/3. Аналогично для любых двух соседних чисел 3-го уровня Дерева (и любого другого уровня Дерева).

Например, для отношения 5 / 7 имеем следующее представление в виде произведения эпиморных отношений:
( 1 / 1 ) * ( 1 / 2 ) * ( 4 / 3 ) * ( 9 / 8 ) * ( 20 / 21 ) = ( 5 / 7 )

Логарифмируя обе части равенств, подобных приведенному, приходим к выводу, что центовое значение любого интервала равно сумме центовых значений составляющих его эпиморных интервалов.
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/6.html
--------------------------------------

Мы также получаем следующее утверждение: любое рациональное отношение может быть развернуто из отношения равенства при помощи некоторой последовательности элементарных эпиморных трансформаций.

[commator]

... Каждое рациональное отношение на Дереве может быть представлено в виде произведения эпиморных отношений. ...

Если я всё правильно понял, то не может быть рациональных отношений, которые не на Дереве. Или я ошибаюсь?

[Математик]

Если я всё правильно понял, то не может быть рациональных отношений, которые не на Дереве. Или я ошибаюсь?

Разумеется, Вы не ошибаетесь. Я употребил термин “рациональное отношение” вместо термина “рациональное число” для того, чтобы держаться ближе к античной традиции. В те времена, как известно, не существовало понятий рационального или иррационального числа, но существовало понятие рационального или иррационального отношения:
http://www.px-pict.com/7/3/1/13.html

Музыкальные интервалы связывались с рациональными отношениями. Б. Л. ван дер Варден:
Исходя из упомянутых ... повседневных наблюдений о влиянии на высоту тона натяжения, длины струны или звучащего столба воздуха, а может быть также и под влиянием вавилонских теорий, Пифагор пришел к мысли о сопоставлении тонов с числами, а консонансов — с числовыми отношениями.
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/9.html

[commator]

... любое рациональное отношение может быть развернуто из отношения равенства при помощи некоторой последовательности элементарных эпиморных трансформаций.

Если такая композиция уникальна для каждого рац. отношения, то она напоминает уникальность канонической композиции простых чисел для каждого натурального числа.