Натуральный звукоряд

[commator]

... эпиморные интервалы по указанным рассуждениям и будут “простейшими” (если отвлечься от существования еще и кратных интервалов).

Кратный интервал оказывается психоакустически самоделимым, т.к. внутри него появляются разностные фантомные тоны помех от нелинейных свойств слуховой системы.

Исключение составляет только кратный интервал октавы. Потому что этот уникальный интервал является также и эпиморным. Притом октава есть самый широкий эпиморный интервал. Внутри октавы фантомов быть не может, как и у всех остальных эпиморных интервалов. Действительно, никакие разностные помехи от нелинейности слуха внутрь октавы не попадают.

Таким образом только эпиморные интервалы, включая двойственную по математической сути октаву, внутренне чисты и самонеделимы в любом виде. Этим они демонстрируют не только теоретико-числовую, но и психоакустическую "простейшесть".

[Математик]

Если перестановочными различиями не пренебрегать, получим большое количество ладов и мелодий из одного и того же небольшого количества выданных природой элементарных делений одного и того же интервала.

David Canright исследует применение эпиморных интервалов для построения “хороших пентатоник”:
https://home.comcast.net/~dcanright/super/

Он называет эпиморные интервалы “superparticular ratios”.
Among all just intervals, superparticular intervals have been preferred by such notables as Ptolemy and Lou Harrison. The reasons for preferring superparticular ratios are not entirely clear, but one special property concerns difference tones. As Dudley Duncan discussed in "Why Superparticular," when two tones related by a superparticular interval sound together, the primary difference tone is the fundamental of the harmonic series to which both tones belong. (For other just intervals, the primary difference tone is another tone in the harmonic series, not the fundamental.) Another special property is that a superparticular interval is the "simplest interval of its size." For example, the major third 5/4 is arguably simpler than 11/9 or 9/7 or 81/64 or any other interval in the same ball park (that is, nearer to 5/4 than to 4/3 or 6/5).

[commator]

David Canright исследует применение эпиморных интервалов для построения “хороших пентатоник”:
https://home.comcast.net/~dcanright/super/

...

Классический белоклавишный чистый диатонический строй (ЧДС) составлен только из эпиморных интервалов:

=C=:Ф/Ф[1/1] _9/8- =D=:2D3t[9/8] _10/9- <E=:M2t[5/4] _16/15- =F=:2Td[4/3] _9/8- =G=:Dt[3/2] _10/9- <A=:Md[5/3] _9/8- <H=:MD3t[15/8] _16/15- =c=:T/Ф[2/1]

Дополненный белоклавишный ЧДС, например на клавиатуре Бана,


Page054.doc

также только из эпиморных интервалов:

=C=:Ф/Ф[1/1] _10/9- <D=:MT2d[10/9] _81/80- =D=:2D3t[9/8] _10/9- <E=:M2t[5/4] _16/15- =F=:2Td[4/3] _9/8- =G=:Dt[3/2] _10/9- <A=:Md[5/3] _9/8- <H=:MD3t[15/8] _16/15- =c=:T/Ф[2/1]

Клавиатура Бана на странице из книги Барбьери демонстрирует чистый энгармонический строй (ЧЭС). В нём только диезисы _128/125- не эпиморны.

=C=:Ф/Ф[1/1] _25/24- (C#:2Md3t[25/24] _128/125- >Db:4Tmd[16/15] _25/24- <D=:MT2d[10/9] _81/80- =D=:2D3t[9/8] _25/24- (D#:2MD6t[75/64] _128/125- >Eb:DTm[6/5] _25/24- <E=:M2t[5/4] _16/15- =F=:2Td[4/3] _25/24- (F#:2M2dt[25/18] _81/80- <F#:M2D5t[45/32] _16/15- =G=:Dt[3/2] _25/24- (G#:2M[25/16] _128/125- >Ab:3Tm[8/5] _25/24- <A=:Md[5/3] _16/15- =Hb:4T2d[16/9] _81/80- >Hb:2Dm[9/5] _25/24- <H=:MD3t[15/8] _16/15- =c=:T/Ф[2/1]

Извлечённый из ЧЭС диезный чистый хроматический строй (ЧХС) составлен только из эпиморных интервалов:

=C=:Ф/Ф[1/1] _25/24- (C#:2Md3t[25/24] _16/15- <D=:MT2d[10/9] _81/80- =D=:2D3t[9/8] _25/24- (D#:2MD6t[75/64] _16/15- <E=:M2t[5/4] _16/15- =F=:2Td[4/3] _25/24- (F#:2M2dt[25/18] _81/80- <F#:M2D5t[45/32] _16/15- =G=:Dt[3/2] _25/24- (G#:2M[25/16] _16/15- <A=:Md[5/3] _9/8- <H=:MD3t[15/8] _16/15- =c=:T/Ф[2/1]

Другая компонента ЧЭС, а именно бемольный ЧХС, также цепь только эпиморных интервалов.

=C=:Ф/Ф[1/1] _16/15- >Db:4Tmd[16/15] _25/24- <D=:MT2d[10/9] _81/80- =D=:2D3t[9/8] _16/15- >Eb:DTm[6/5] _25/24- <E=:M2t[5/4] _16/15- =F=:2Td[4/3] _9/8- =G=:Dt[3/2] _16/15- >Ab:3Tm[8/5] _25/24- <A=:Md[5/3] _16/15- =Hb:4T2d[16/9] _81/80- >Hb:2Dm[9/5] _25/24- <H=:MD3t[15/8] _16/15- =c=:T/Ф[2/1]

А вот пифагорейский диатонический строй (ПДС) только из эпиморных интервалов не составляется. Неполные тоны ПДС _256/243- не эпиморны:

=C=:Ф/Ф[1/1] _9/8- =D=:2D3t[9/8] _9/8- =E=:4D6t[81/64] _256/243- =F=:2Td[4/3] _9/8- =G=:Dt[3/2] _9/8- =A=:3D4t[27/16] _9/8- =H=:5D7t[243/128] _256/243- =c=:T/Ф[2/1]

Из-за порождённых гегемонией системы 12РДО иллюзий, неполные тоны ПДС привыкли необоснованно называть пифагорейскими диатоническими полутонами. Вернее их было бы называть пифагорейскими диатоническими псевдотонами.

Диезный пифагорейский хроматический строй (ПХС) строится чередованием пифагорейских диатонических псевдотонов _256/243- и пифагорейских хроматических псевдотонов _2187/2048-. Последние также не эпиморны и также не полутоны.

=C=:Ф/Ф[1/1] _2187/2048- =C#:7D11t[2187/2048] _256/243- =D=:2D3t[9/8] _2187/2048- =D#:9D14t[19683/16384] _256/243- =E=:4D6t[81/64] _256/243- =F=:2Td[4/3] _2187/2048- =F#:6D9t[729/512] _256/243- =G=:Dt[3/2] _2187/2048- =G#:8D12t[6561/4096] _256/243- =A=:3D/4t[27/16] _2187/2048- =A#:10D15t[59049/32768] _256/243- =H=:5D7t[243/128] _256/243- =c=:T/Ф[2/1]

Очевидно, что в диезном ПХС эпиморных интервалов нет, как их нет и в бемольном ПХС:

=C=:Ф/Ф[1/1] _256/243- =Db:8T5d[256/243] _2187/2048- =D=:2D3t[9/8] _256/243- =Eb:5T3d[32/27] _2187/2048- =E=:4D6t[81/64] _256/243- =F=:2Td[4/3] _256/243- =Gb:10T6d[1024/729] _2187/2048- =G=:Dt[3/2] _256/243- =Ab:7T4d[128/81] _2187/2048- =A=:3D/4t[27/16] _256/243- =Hb:4T2d[16/9] _2187/2048- =H=:5D7t[243/128] _256/243- =c=:T/Ф[2/1]

Наконец пифагорейский энгармонический строй также не радует присутствием эпиморных интервалов:

=C=:Ф/Ф[1/1] _256/243- =Db:8T5d[256/243] _531441/524288- =C#:7D11t[2187/2048] _256/243- =D=:2D3t[9/8] _256/243- =Eb:5T3d[32/27] _531441/524288- =D#:9D14t[19683/16384] _256/243- =E=:4D6t[81/64] _256/243- =F=:2Td[4/3] _256/243- =Gb:10T6d[1024/729] _531441/524288- =F#:6D9t[729/512] _256/243- =G=:Dt[3/2] _256/243- =Ab:7T4d[128/81] _531441/524288- =G#:8D12t[6561/4096] _256/243- =A=:3D/4t[27/16] _256/243- =Hb:4T2d[16/9] _531441/524288- =A#:10D15t[59049/32768] _256/243- =H=:5D7t[243/128] _256/243- =c=:T/Ф[2/1]

[Математик]

David Canright исследует применение эпиморных интервалов для построения “хороших пентатоник”:
https://home.comcast.net/~dcanright/super/

Классический белоклавишный чистый диатонический строй (ЧДС) составлен только из эпиморных интервалов:

Нам важно не запутаться, с одной стороны, в рассмотрении строев, в устройстве которых уже “зашиты” эпиморные интервалы, а, с другой стороны, в использовании рассуждений с эпиморными интервалами при рассмотрении процессов аппроксимации интервалов, имеющихся в том или ином звукоряде, другими, в каком-то смысле “более приемлемыми” интервалами.

Самый жгучий вопрос: можно ли выстроить из объединения “подходящих” и “промежуточных” такой алгоритм, который мог бы окружать произвольную высоту всеми рационалами, которые могут быть найдены в заданной окрестности?

Я вижу главной задачу автоматической детемперации нотного письма. Это по сути выявление удовлетворительных для слуховой системы интерпретаций существующих партитур путём автоматической замены хороших иррациональных частот стимуляции лучшими рациональными.

В последнем случае мы имеем дело с некоторыми “зонными” рассмотрениями. Ю. Н. Рагс (как и Н. А. Гарбузов) различает “точечные” или “математические” строи и “зонные”, или “музыкальные”:
Таким образом, по разным причинам — философским, эстетическим, музыкально-художественным, музыкально-психологическим, музыкально-практическим — связанным с расчетами инструментов, — и многим другим возникли два подхода к решению проблемы музыкального строя — математический или точечный и, с другой стороны, музыкальный или зонный. Они существуют и сейчас, и будут существовать. Тот кризис, который проявился в рамках математических устремлений исследователей и привел к новому пониманию природы музыкального слуха (по Н. А. Гарбузову, — зонной природы), только выявил необычайную сложность проблемы организации музыкальной целостности, невозможность ее решения каким-то одним способом.
http://harmony.musigi-dunya.az/RUS/a...9437&txtid=122
(см. внизу приведенной страницы)

Однако, Ю. Н. Рагс в этом своем высказывании не учел, что математика вполне способна корректно работать с “зоной”. Т. е. “зонный строй” волне может быть математическим.

Для справки. Юрий Николаевич Рагс — доктор искусствоведения, профессор кафедры теории музыки Московской государственной консерватории им. П.И.Чайковского, зав. секцией музыкальной информатики на этой кафедре. Среди его трудов — немало статей по музыкальной акустике, опубликованных в Музыкальной энциклопедии и в других изданиях, а также кандидатская и докторская диссертации на акустические темы. Примерно в течение 40 лет он вел курс музыкальной акустики для музыковедов в Гос. музыкально-педагогическом институте им. Гнесиных (сейчас — Российская академия музыки им. Гнесиных).

[Математик]

Однако, Ю. Н. Рагс в этом своем высказывании не учел, что математика вполне способна корректно работать с “зоной”. Т. е. “зонный строй” волне может быть математическим.

Под математической теорией, способной справиться с “зоной” я подразумеваю теорию Д. Скотта:
http://www.px-pict.com/9/6/4/7/4/1/10.html
http://www.px-pict.com/preprints/Lambda/1.html

определенным образом “скрещенную” с аппроксимационными возможностями Дерева:

Исследование путей на дереве Штерна-Броко (ДШБ):
http://www.px-pict.com/10/4/4.html

поможет прояснению Ваших интуиций. Движение по каждому древесному пути можно интерпретировать как некоторый процесс все более точного приближения к цели. Традиционная теория определенным образом классифицирует числовые отношения, через которые проходит данный путь, и нам для дальнейшего обсуждения будет полезно познакоимиться с этой классификацией. Эти отношения подразделяются на подходяшие и промежуточные; они определенным образом связаны друг с другом, обеспечивая процесс “наилучшего приближения к цели”:
http://www.px-pict.com/7/4/4/10/7/1.html

Подробные пояснения приведу чуть позже.

[Математик]

“Подходящие” отношения подразделяются еще на отношения четного порядка и отношения нечетного порядка. Подходящие отношения четного порядка образуют возрастающую последовательность, а подходящие дроби нечетного порядка – убывающую последовательность, причем эти две последовательности идут друг навстречу другу:
http://www.px-pict.com/7/4/4/10/4.html

Скоробогатько называет это “свойством вилки”:
http://www.px-pict.com/7/4/4/8/2.html

а Хованский иллюстрирует еще и соответствующим рисуночком:
http://www.px-pict.com/7/4/4/9/8.html

Маленькое замечание: о “подходящих” дробях удобно говорить и мыслить в терминах некоторого воображаемого процесса “пристрелки” цели (под которой понимаем рациональное или иррациональное отношение, подлежащее аппроксимации):
http://www.px-pict.com/10/4/4/14/1.html

[commator]

Маленькое замечание: о “подходящих” дробях удобно говорить и мыслить в терминах некоторого воображаемого процесса “пристрелки” цели (под которой понимаем рациональное или иррациональное отношение, подлежащее аппроксимации):
http://www.px-pict.com/10/4/4/14/1.html

Я немного занимался алгоритмом подходящих дробей, но быстро его забросил, т.к. он окружает приближаемое число не всеми близкими к нему рационалами.

Для нужд детемперации далеко не всегда оптимален самый близкий рационал к детемперируемой высоте. По этой причине прежде всего необходим алгоритм, позволяюший выделить внутри каждой зоны Гарбузова все высоты рационального происхождения, имеющие смысл. Затем, опираясь на контекст всей пьесы целиком, выбрать из выделенных рационалов зон Гарбузова только те, которые обеспечат наиболее чистую интонацию без ощутимой деформации музыкального смысла.

Детемперации, которые мне приходилось выполнять вручную, давали хорошие результаты даже тогда, когда отдельные высоты исходных иррационалов подменялись рационалами с уходами вверх или вниз на 3 коммы, т.е. до 70 центов. Это соответствует уходу высоты из одного края зоны Гарбузова в другой.

Оценивая для своих упражнений пригодность Stern-Brocote Tree инкрустации в ПО Scala я нашёл её неудовлетворительной по тем же причинам, что и алгоритм подходящих дробей. Она позволяет экономную пристрелку, но не даёт возможности полноценного обстрела.

[Математик]

... Она позволяет экономную пристрелку, но не даёт возможности полноценного обстрела.

Поясните, пожалуйста, несколько подробнее, что Вы здесь имели в виду.

Давайте также обратим внимание на то обстоятельство, что выражение: “самый близкий рационал к детемперируемой высоте” является само по себе бессмысленным, поскольку в любой сколь угодно малой окрестности каждого рационала (и каждого иррационала) лежит бесконечное множество других рационалов.

Я немного занимался алгоритмом подходящих дробей, но быстро его забросил, т.к. он окружает приближаемое число не всеми близкими к нему рационалами.

Для нужд детемперации далеко не всегда оптимален самый близкий рационал к детемперируемой высоте. По этой причине прежде всего необходим алгоритм, позволяюший выделить внутри каждой зоны Гарбузова все высоты рационального происхождения, имеющие смысл. Затем, опираясь на контекст всей пьесы целиком, выбрать из выделенных рационалов зон Гарбузова только те, которые обеспечат наиболее чистую интонацию без ощутимой деформации музыкального смысла.

Детемперации, которые мне приходилось выполнять вручную, давали хорошие результаты даже тогда, когда отдельные высоты исходных иррационалов подменялись рационалами с уходами вверх или вниз на 3 коммы, т.е. до 70 центов. Это соответствует уходу высоты из одного края зоны Гарбузова в другой.

Алгоритм подходящих и промежуточных дробей окружает каждый рационал (и каждый иррационал) целой иерархией “системных” зон – от предельно широкой до весьма узких. Затем элементы этих зон могут быть использованы различным образом, в зависимости от контекста.
------------------------------

Мне интересны определенные нюансы использования зонной теории Гарбузова у Лефевра. Гляньте, пожалуйста, то место, где Лефевр дает общую характеристику теории Гарбузова:
http://www.px-pict.com/7/3/2/8/1/3.html

С чем бы Вы в приведенном отрывке согласились, а с чем не согласились?

[Математик]

Алгоритм подходящих и промежуточных дробей окружает каждый рационал (и каждый иррационал) целой иерархией “системных” зон – от предельно широкой до весьма узких. Затем элементы этих зон могут быть использованы различным образом, в зависимости от контекста.

В качестве примера можно привести ситуацию с пифагоровой коммой:
http://www.px-pict.com/10/4/4/14/2.html

[commator]

... Мне интересны определенные нюансы использования зонной теории Гарбузова у Лефевра. Гляньте, пожалуйста, то место, где Лефевр дает общую характеристику теории Гарбузова:
http://www.px-pict.com/7/3/2/8/1/3.html

С чем бы Вы в приведенном отрывке согласились, а с чем не согласились?

В целом моё понимание зон Гарбузова совпадает с рассказом о них Лефевра.

Я не согласен с таблицами зон у самого Гарбузова. Ширина зон должна заметно зависеть от характера сонантности высоты.

Например, унисон, как наисовершеннейший консонанс, должен иметь самую узкую зону (единицы центов). Самые широкие зоны (десятки центов) должны иметь самые несовершенные консонансы, которые можно называть совершенными диссонансами.

Степень сонантности можно в первом приближении расчитывать (с оглядкой на Гельмгольца) по проценту совпадающих гармоник в спектрах граничных звуков интервала.

Идеал чистой квинты (3/2), например, может быть извлечён (экстрагирован) из некоторого идеального гармонического спектра, который назовём оригиналом:

h01 h02 h03 h04 h05 h06 h07 h08 h09 h10 h11 h12 h13 h14 h15 h16 ...

Для этого экстрагируем каждую вторую гармонику оригинала и получаем спектр звука нижней границы:

___ h02 ___ h04 ___ h06 ___ h08 ___ h10 ___ h12 ___ h14 ___ h16 ...

Экстракция каждой третьей гармоники оригинала даёт спектр звука верхней границы:

___ ___ h03 ___ ___ h06 ___ ___ h09 ___ ___ h12 ___ ___ h15 ___ ...

Сравнивая экстрагированные из оригинала спектры границ, легко заметить, что каждая вторая гармоника спектра верхней границы будет совпадать с каждой третьей гармоникой спектра нижней границы.

В соотношении со спектром оригинала очевидно, что 100/(3*2) = 16,(6)% гармоник оригинала становятся общими для граничных звуковых спектров у идеала чистой квинты. Можно говорить о 16,(6)% консонантности идеала чистой квинты.

Консонантность идеала чистой октавы (2/1) составит 100/(2*1) = 50,0%.

Идеал чистого унисона (1/1) даст 100/(1*1) = 100,0% консонантности.

Консонантности других идеальных эпиморных интервалов в процентах к унисону:

Чистая кварта (4/3) это 100/(4*3) = 8,(3)%
Подбольшая терция (5/4) это 100/(5*4) = 5,0%
Надмалая терция (6/5) это 100/(6*5) = 3,(3)%
Надгипомалая терция (7/6) это 100/(7*6) = 2,(380952)%
Подгипербольшая секунда (8/7) это 100/(8*7) = 1,7(857142)%
Большая секунда (9/8) это 100/(9*8) = 1,3(8)%
Подбольшая секунда (10/9) это 100/(10*9) = 1,(1)%
Надгипермалая секунда (11/10) это 100/(11*10) = 0,(90)%
Надгипермалая секунда (12/11) это 100/(12*11) = 0,(75)%
Гипермалая секунда (13/12) это 100/(13*12) = 0,(641025)%
Дванадмалая секунда (14/13) это 100/(14*13) = 0,(549450)%
Подгипермалая секунда (15/14) это 100/(15*14) = 0,(476190)%
Надмалая секунда (16/15) это 100/(16*15) = 0,41(6)%
...

Во втором приближении можно к расчётам первого приближения делать поправки на распределение спектров по критическим полосам. Как их делать, ещё не ясно, но об этом подумать необходимо.