Натуральный звукоряд

[commator]

Не могу с вами полностью согласиться.
Допуски в чертежах - это случайный разброс, не умышленный.
А ведь зона - это во многом осознанный выбор.
Общее - да. Есть общее. Общее в том, что допуски позволяют принять деталь (=ступень) в конструкцию.

Не хотите ли Вы сказать, что внутри зоны Гарбузова можно создавать иерархии предпочтительных интонаций, а внутри зоны допуска на машиностроительный размер такого делать нельзя?

[imina]

Не хотите ли Вы сказать, что внутри зоны Гарбузова можно создавать иерархии предпочтительных интонаций, а внутри зоны допуска на машиностроительный размер такого делать нельзя?

Все же зона допуска - это , по-моему, более область допустимой погрешности, допустимый, но случайный разброс.
Впрочем, я могу предположить, что токарь, ошибившись в одной детали, в сопряженной с ней постарается эту ошибку скомпенсировать - в таком случае появляется "осознанность"

[commator]

Вот один из выводов самого НАГ:

<<...
Зона не является областью допусков по отношению к некоторой объективной звуковысотной норме, так как в пределах зоны все звуки, интервалы и тональности качественно равны.
Музыкальная практика пользуется унисонами и вибрато как эстетическими факторами. Унисон есть зона, звучащая в одновременности, а вибрато – зона звучащая в последовательности. Ансамблевое исполнение также представляет собой эстетическое явление: ансамбли возможны только благодаря зонной природе звуковысотного слуха.
..>>

У Вас, вероятно, труды НАГ под рукой. Какова у него ширина зоны унисона?

[Dmitrii]

Уверен, что необходимость широкомасштабных экспериментов по уточнению пионерских результатов Николая Александровича назрела.

Давно об этом думаю, но как это сделать практически?..

У Вас, вероятно, труды НАГ под рукой. Какова у него ширина зоны унисона?

У меня периодически возникает ощущение, что то, что я пытаюсь делать, происходит в каком-то безвоздушном пространстве... Извиняюсь за навязчивость, но ведь писал же именно об этом в ветке про музыкально-акустические эксперименты, измерял, слушал, оценивал, к сотрудничеству призывал, выводы представлял... Конкретно в сообщениях номер 12 и 15.

[commator]

У меня периодически возникает ощущение, что то, что я пытаюсь делать, происходит в каком-то безвоздушном пространстве... Извиняюсь за навязчивость, но ведь писал же именно об этом в ветке про музыкально-акустические эксперименты, измерял, слушал, оценивал, к сотрудничеству призывал, выводы представлял... Конкретно в сообщениях номер 12 и 15.

Я и говорил про общение в другой теме:

... сложности остаются даже если можно найти общий язык ...

Нельзя ли просить Вас заново предложить тестирование унисонов. Тех файлов уж нет в Сети, а послушать хочется.

[Dmitrii]

Ответил в той ветке.

[imina]

... труды НАГ под рукой. Какова у него ширина зоны унисона?

Пожалуйста, цитата:
У основных гармонических интервалов (кроме б. септимы) ширина зоны колеблется в пределах 58-64 ц. Ширина зоны б. септимы равна 70 ц.

У основных мелодических интервалов (кроме примы и м. секунды) ширина зоны колеблется от 58 до 70 ц.
Ширина зоны примы равна 24 ц.
Ширина зоны мелодической м. секунды равна 76 ц.


А вот еще добавка из таблицы:
ширина зоны гармонического унисона 60 ц.

[Математик]

Алгоритм подходящих и промежуточных дробей окружает каждый рационал (и каждый иррационал) целой иерархией “системных” зон – от предельно широкой до весьма узких. Затем элементы этих зон могут быть использованы различным образом, в зависимости от контекста.

В частности, Шилов использует этот алгоритм для обоснования равномерной 12-ступенной темперации:http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/444.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/5/4/6.html

Надо полагать, что и другие равномерно-темперированные системы, такие, например, как равномерная 53-ступенная темперация:
http://en.wikipedia.org/wiki/53_equal_temperament

или равномерная 31-ступенная темперация:
http://en.wikipedia.org/wiki/31_equal_temperament

могут быть обоснованы примерно по тому же самому шаблону, что и у Шилова.

[commator]

Г. Воль пишет:

<<...
Заметим, что числа 12 и 53 имеют более глубокий математический смысл: это знаменатели подходящих дробей при разложении в цепную дробь числа log23; действительно, log23=[1;1,1,2,2,3,1,5, …]; легко проверить, что 5-ой и 7-ой подходящей дробью соответственно являются 19/12 и 84/53.
...>>

К сожалению алгоритм нахождения упомянутых подходящих дробей:

---2/1
---------12/7 8/5
------------------65/41
------------------------------485/306
--------------------------------------
------------------------84/53
--------------9/12
------3/2
1/1

даёт числа (подчёркнуты) только для положительных по Бозанкету систем РДО. Да и то не для всех возможных.

После вычислений Математика ошибочно вычисленная мною дробь 12/7 исправлена на 8/5

Система 31РДО является отрицательной по Бозанкету и её число в алгоритме нахождения подходящих дробей не попадается.

Окружение числа log23 проращиванием дерева Штерна-Броко даёт возможность добраться до всех чисел, которые могут давать положительные и отрицательные по Бозанкету системы РДО с удовлетворительными аппроксимациями квинт.

2/1
------5/3
---------8/5
----------------------------------------
----------------------------------43/27
----------------------------------------
----------------------------35/22
----------------------------------------
----------------------------------62/39
----------------------------------------
----------------------27/17
----------------------------------------
----------------------------------73/46
----------------------------------------
----------------------------46/29
----------------------------------------
----------------------------------65/41
----------------------------------------84/53
----------------19/12
----------------------------------------87/55
----------------------------------68/43
----------------------------------------
----------------------------49/31
----------------------------------------
----------------------------------79/50
----------------------------------------
----------------------30/19
----------------------------------------
----------------------------------71/45
----------------------------------------
----------------------------41/26
----------------------------------------
----------------------------------52/33
----------------------------------------
------------11/7
---3/2
1/1

Жирным шрифтом выделены рационалы алгоритма нахождения подходящих дробей. Их совсем немного среди тех, которые можно найти между 11/7 и 8/5 для неплохих аппроксимаций числа log23.

Подчёркнутые знаменатели дробей представляют собой числа систем РДО, где квинты могут быть пригодны для восприятия. Системы с числами знаменателей дробей между 11/7 и 19/12 будут по Бозанкету отрицательные. Знаменатели дробей между 9/12 и 8/5 оказываются числами положительных по Бозанкету систем РДО.

[Математик]

Г. Воль пишет:

<<...
Заметим, что числа 12 и 53 имеют более глубокий математический смысл: это знаменатели подходящих дробей при разложении в цепную дробь числа log23; действительно, log23=[1;1,1,2,2,3,1,5, …]; легко проверить, что 5-ой и 7-ой подходящей дробью соответственно являются 19/12 и 84/53.

Ради интереса решил проверить. Сделал калькулятор, вычисляющий двоичные логарифмы обыкновенных дробей:
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/6.html
(внизу страницы)

Для дроби 3 / 1 он вычислил значение 1,58496…. Представим его в виде обыкновенной дроби:
158496 / 100000
и разложим ее в цепную дробь при помощи калькулятора со страницы:
http://www.px-pict.com/7/4/4/3.html

Получим такую цепную дробь:
1;1,1,2,2,3,1,5,1,3,2

Вычислим соответствующие подходящие дроби этой цепной дроби по рекуррентным соотношениям Хинчина:
http://www.px-pict.com/7/4/4/10/3.html

при начальных условиях p-1 / q-1 = 1 / 0; p0 / q0 = 1 / 1.

Имеем:
Подходящая дробь порядка 1 есть p1 / q1 = 2 / 1;
подходящая дробь порядка 2 есть p2 / q2 = 3 / 2;
подходящая дробь порядка 3 есть p3 / q3 = 8 / 5;
подходящая дробь порядка 4 есть p4 / q4 = 19 / 12;
подходящая дробь порядка 5 есть p5 / q5 = 65 / 41;
подходящая дробь порядка 6 есть p6 / q6 = 84 / 53.