Система чистой интонации предела 5

[Математик]

Статья одного из “адвокатов” “чистого строя”:
Duffin R. W.
Just Intonation in Renaissance Theory and Practice.
Music Theory Online, 2006, v. 12, No.3.
http://www.mtosmt.org/issues/mto.06.....3.duffin.html

(если после клика по этой ссылке будут требовать пароль для захода на сервер, нажмите “Отмена”)
-------------------------------

Перевод ее резюме:
“Системы "чистого строя" (Just intonation) имеют репутацию химерических, чисто теоретических систем, которые просто не могут работать на практике. Это мнение основывается на суждениях большинства современных авторитетов и поддерживается опасениями, высказанными еще во времена Возрождения, когда, как предполагается, попытки использования систем "чистого строя" на практике достигли своего эпогея. Весьма показательными среди подобных опасений являются головоломки по "тюнингу", опубликованные Giovanni Battista Benedetti, математиком 16-го века.”

“Однако, теоретики музыки Возрождения были настолько единодушными в своей защите простых акустических отношений "чистого строя", что кажется вполне логичным, что должно было произойти какое-то примирение между теорией и практикой ее использования. В данной статье рассматриваются основы теории "чистого строя", равно как и утверждения, обычно используемые для того, чтобы доказать его практическую нереализуемость, а также предлагаются решения, которые пытаются удовлетворить и теорию, и слух. Наконец, делается попытка помочь современным исполнителям овладеть этим важным искусством.”

http://www.px-pict.com/7/3/2/5/12/2/1/1.html

[Математик]

Статья одного из “адвокатов” “чистого строя”:
Duffin R. W.
Just Intonation in Renaissance Theory and Practice.
Music Theory Online, 2006, v. 12, No.3.
http://www.mtosmt.org/issues/mto.06.....3.duffin.html

(если после клика по этой ссылке будут требовать пароль для захода на сервер, нажмите “Отмена”)

Любопытно, что в подстрочном замечании номер 7 к этой статье упоминается о работе
James F. Nickerson, "Intonation of Solo and Ensemble Performance of the Same Melody”

“7. Musurgia A-3 (1958 ) , p. 31. The studies Barbour cited include those from the Psychological Laboratory at the University of Iowa, such as Carl E. Seashore, ed, Objective Analysis of Musical Performance, University of Iowa Studies in the Psychology of Music 4 (1936) (see in particular, Paul C. Greene, "Violin Performance with Reference to Tempered, Natural, and Pythagorean Intonation," University of Iowa Studies in the Psychology of Music 4 (1936), 232-51); studies from the Harvard Psychological Laboratory by Austin M. Brues (1927); studies from the University of Washington by E. R. Guthrie and H. Morill (1928 ) ; James F. Nickerson, "Intonation of Solo and Ensemble Performance of the Same Melody," Journal of the Acoustical Society of America 21 (1949), 593-95.”

которая нами уже ранее обсуждалась:

Суть в том, что горизонтальная интонация в качестве наилучшей предполагает пифагорову и что есть исследования Никерсона о этом.

Там же есть такая еще цитата:
Ein Experiment aus dem Jahre 1949, bei dem die Intonation einzelner Töne und Intervalle von Streichinstrumenten (die praktischerweise auf Grund ihrer Bauart eine freie Wahl der Intonation lassen) gemessen und analysiert wurde, zeigte und bestätigte jedoch, dass der Mensch anscheinend trotz der etwa schon 300 Jahre andauernden Tradition der gleichstufig-temperierten Stimmung dazu tendiere, das System nach Pythagoras zu bevorzugen.

Суть в том, что эксперимент 1949 года показывал предпочтение пифагоровой системы при интонировании на струнных инструментах (имеется в виду J.F.Nickerson. Journal of the Accoustical Society of America. 1949, Volume 21, No. 6, p. 591-595.

Заголовок статьи и аннотация:
Интонация сольного и ансамблевого исполнения одной и той же мелодии
Ж. Акуст. Общ. Ам. Том 21, выпуск 6, с. 593-595 (ноябрь 1949)
Дата выпуска: Ноябрь 1949

Джеймс Ф. Никерсон
Университет штата Канзас, Лоуренс, штат Канзас

Исследование было сделано [для] сольного и ансамблевого исполнения одного и того же музыкального материала, как связанное с системами интонации предположеными некоторыми акустическими, музыкальными, и психологическими теориями. В частности, было желательно проверить сделанные ранее выводы о том, что без сопровождения исполнительские и слушательские предпочтения аппроксимируют пифагорейскую интонацию и распространить аналогичные линии исследования на ансамблевое исполнение. Были записаны сольные и ансамблевые исполнения 24 хорошо подготовленных музыкантов струнного квартета, из которых были получены многослойные случайные выборки тонов для частотного анализа. Этот анализ был сделан с помощью 16-мм петли звук-на-фильме хроматическим стробоскопом (Stroboconn). Полученные результаты подтверждают сделанные ранее выводы для неаккомпанируемых мелодий и показывают, что пифагорейская интонация также наиболее типична [для] ансамблевого исполнения. Эта тенденция проявляется доминирующей [в] любом "культурном кондиционировании", которое может существовать для равномерно-темперированной интонации.

© 1949 Акустическое общество АмерикиПолный текст бесплатно в Сети не нашёл, к сожалению.

При первом удобном случае перестрою по-пифагорейски что-нибудь из Баха и предложу послушать всем, кто верит в доминирование пифагорейских интонаций у струнных квартетов и особую любовь к ним полифонистов.

[Математик]

Статья одного из “адвокатов” “чистого строя”:
Duffin R. W.
Just Intonation in Renaissance Theory and Practice.
Music Theory Online, 2006, v. 12, No.3.
http://www.mtosmt.org/issues/mto.06.....3.duffin.html

(если после клика по этой ссылке будут требовать пароль для захода на сервер, нажмите “Отмена”)

Разработанные автором упражнения “по тюнингу” (файл в pdf-формате) можно скачать здесь:
http://www.mtosmt.org/issues/mto.06....gExercises.pdf

Об этих упражнениях говорится в пункте [ 63 ] его работы:
“[63] The exercises were composed originally in the year 2000 for the use of the Early Music Singers at Case Western Reserve University. The sound is organ-like, with a blendable timbre and stable pitch (although the computer clearly wrestles with playing dissonant cross relations, suspensions, and even second inversions, despite the Just tuning). Performers can practice the exercises by playing or singing along with all voices at once, with a single voice part alone, or in a "music minus one" situation with the computer omitting one part. Three different speeds can be selected (M.M. = 30, 55, or 80). To listen to the individual exercises, click here. To view or download a PDF file of the five exercises, click here.”

[commator]

Разработанные автором упражнения “по тюнингу” (файл в pdf-формате) можно скачать здесь:
http://www.mtosmt.org/issues/mto.06....gExercises.pdf

В связи с этим хочется сказать, что письменная запись упражнений в чистой интонации, предназначенная для исполнения вокалистами, и этом случае привела к употреблению пифагорейской нотации высот с комматическими поправками. От вокалистов, таким образом, требуется петь верные пифагорейские высоты повышая/понижая те или иные из них на кратные верной синтонической комме микроинтервалы. Возможно необходимые навыки можно развить после достаточной тренировки. Тогда верное вокальное исполнение подобным способом нотированных пьес окажется несомненно поддающимся освоению умением.

[Математик]

Я уже пытался поднять ранее “точечно – векторную” тему:

Имея, конечно, в виду воспользоваться в дальнейшем своими наработками относительно “метода псевдоповоротов” вектора на плоскости Минковского.

Вот на этой аналогии между окружностью и гиперболой в определенном смысле основан предложенный мною алгоритм.
Известный алгоритм (так называемый “алгоритм Волдера”), связанный с окружностью (и послуживший для меня прототипом), изложен в работе моего научного руководителя А. М. Оранского (который был руководителем сначала моей курсовой, потом диплома, а потом – в аспирантуре):
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/3.html

Этот быстрый алгоритм использовался (согласно легендам?) в системах наведения баллистических ракет. Он мог, в частности, осуществлять быстрое преобразование декартовых координат в полярные и обратно. Определение полярных координат см., например, здесь:
http://www.px-pict.com/10/3/4/8/4/1/4a.html

Предложенный мною алгоритм делает то же самое по отношению к “гиперболической тригонометрии”:
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/2/1/1/10.html
http://www.px-pict.com/9/5/2/3/2/3/2/4/28.html

При этом оказывается, что эффективность “гиперболического” алгоритма может быть значительно увеличена по сравнению с “круговым”.

[Ram.A.Neru]

Уважаемые участники форума!

Дайте пожалуйста ответы на следующий вопросы:

I

Сколько нот в чистом строе (например До мажор) 7, 12 или > 12?
Если Вы считаете что 12 или > 12 то вопрос 2, если нет то 7

2) Имеют ли диезно-бемольные (добавочные, черные, далее будут упоминаться как "Промежуточные") ноты определенные частоты (положения в частотном спектре, далее будет упоминаться как "Положения" или "Частоты")?
Если Вы считаете что да то вопросы 3,4, 5, 6 если нет то 4, 5, 6

3) Какой закономерностью определяются Положения Промежуточных нот?
Какие из следующих утверждений правильны и в каком случае:

3.1) Положение Промежуточных нот определяются путем повышения/понижения соседних низких/высоких "Основных" нот на чистую малую секунду

3.2) Частоты Промежуточных нот равны среднему значению частот соседних "Основных" нот

3.3) Промежуточные ноты образуют пентатонику (F#, G#, A#, C#, D#). => Положение Промежуточных нот определяются путем повышения/понижения нот пентатонического ряда чистого строя (C, D, E, G, A) на чистый "Тритон"

4) Если знаете, Частоты Промежуточных нот, полученные методами изложенными в 3.3 и 3.2 являются ли они идентичными?!

5) В чистом строе До мажор хотя бы одна из 3-х вариаций ноты Соль #, образованных по методам изложенным в 3.1, 3.2, 3.3, будет ли являться нотой Соль #, взятой как большая терция от Ми? По какому/каким методу/методам она/они получена/получены?


6) Сколько вариаций для каждой добавочной ноты существует? Сколько всего нот в чистом строе?
Если вы ответили на вопрос, то переходите к опросу II

7) Считаете ли Вы применение Хроматики (12-ти нотной естественно) в чистом строе возможным (приемлемым, не рушащей гармонию, не создающей диссонанс, консонансным).
Если да то вопросы 3, 4, 5, 6 если нет (или сомневаетесь в выборе ответа) то 8


Считаете ли вы что появление диезно-бемольных (добавочных, черных, Промежуточных) нот есть ничто иное как транспонирование из одного чистого строя в другой (изменение тональности) с последующим обратным транспонированием, происходящими в начале звучания "Промежуточных" и в конце соответственно?
Если нет, то и суда нет…

II

1) Подскажите пожалуйста отношения частот (желательно в дробной форме) всех нот (ну или хотя бы основных) в приделах одной октавы чистого строя До мажор к частоте ноты До (самой низкой/меньшей).

2) может быть Вы знаете, какими плагинами или инструментами (VST, VSTi), или отдельными программами можно уйти от равномерной темперации (12РДО) и прийти к натуральным строям?
Мой небольшой музыкальный набросок: http://www.youtube.com/watch?v=UAXvacXO41g

[commator]

Слишком чужда эта тема нынешней фазе русскоязычной музыкально-теоретической мысли

То что по-русски привыкли называть чистый строй получило в англоязычной Википедии имя настройка предела 5 (5-limit tuning).

Чистый строй заинтересовал ув. Ram.A.Neru. Он задал мне пять продуманных вопросов, которые намерен в этой теме обнародовать, т. к. я просил у него права отвечать публично ради возможности быть на виду у всех интересующихся, включая критиков и недоброжелателей.

Самым важным вопросом был отмечен четвёртый. На первый фрагмент из него частично отвечу для начала.

<<...
!!!IV!!!

Сколько различных нот (отличающихся по частотам) входит в чистые (7-ми или 12-ти нотные) строи До и Соль (мажоры) при образовании строя Соль мажор путем транспонирования на чистую квинту от ноты До (строя До мажор)

...>>

Пусть =До₀-= (ровно До-бекар большой октавы) будет одновременно 1/ (первым обертоном) и /1 (первым унтертоном), что запишется =До₀-=:(1/1). Известный из ЭТМ (элементарной теории музыки) натуральный До-мажор, чтобы вписаться в чистый строй, должен иметь в первой октаве 7 фиксированных высот которые могут быть вытянуты (экстрагированы) из трёх идеальных НС (натуральных скал) на первых трёх унтертонах =До₀-=:(1/1), =До₁-=:(1/2) (ровно До-бекар первой контроктавы есть первый обертон второго унтерона) и =Фа₂-=:(1/3) (ровно Фа-бекар второй контроктавы есть первый обертон третьего унтертона):

из =До₀-=:(1/1) НС вытянуты =до₁-=:(4/1), <ми₁-=:(5/1) (под ми-бекар первой октавы есть пятый обертон первого унтертона) и =соль₁-=:(6/1);
из =До₁-=:(1/2) НС вытянуты =ре₁-=:(9/2) и <си₁-=:(15/2);
из =Фа₂-=:(1/3) НС вытянуты =фа₁-=:(16/3) и <ля₁-=:(20/3).

Отвлекаясь от нотных имён выпишем в строчку только относительные частоты из скобок:

4/1, 9/2, 5/1, 16/3, 6/1, 20/3 и 15/2.

Если все относительные частоты привести к общему знаменателю, получится строчка:

24/6, 27/6, 30/6, 32/6, 36/6, 40/6 и 45/6.

Другими словами все высоты оказываются обертонами 24, 27, 30, 32, 36, 40 и 45, вытянутыми из =Фа₃-=:(1/6) НС (ровно Фа-бекар третьей контроктавы, или первого обертона шестого унтертона натуральной скалы).

Из этого следует, что белоклавишный кластер от =до₁-=:(4/1) до<си₁-=:(15/2) чистого строя должен иметь заметный призвук на высоте унтертона =Фа₃-=:(1/6), общего для всех звучащих высот.

Теперь подскажите, что следует изложить яснее в этой части моего ответа.

[vcirkov]

Уважаемые участники форума!
Дайте пожалуйста ответы на следующий вопросы:
Сколько нот в чистом строе

Нотами обозначаются функции звуков. Если бы нотами обозначалась конкретные высоты, пришлось бы для каждого строя выдумывать свои ноты: ноты ЧС (чистый), ноты ПС (пифагоров) и т. д. Одно и то же произведение можно исполнить в разных моделях строя, при этом ноты останутся те же.

[commator]

Одно и то же произведение можно исполнить в разных моделях строя, при этом ноты останутся те же.

Чистый строй, о котором вопросы, не оставляет нам возможности выбирать разные модели. Версии нот должны быть такими, чтобы предписать интонацию именно натурального До-мажора чистого строя.

Исходя из того, что первым обертоном первого унтертона выбрана нота =До₀-=:(1/1), ноты для записи произведений упомянутого лада, тональности и строя в малой, первой и второй октавах могут быть только такими:

=до₂-=:(8/1), =ре₂-=:(9/1), <ми₂-=:(10/1), =фа₂-=:(32/3), =соль₂-=:(12/1), <ля₂-=:(40/3), <си₂-=:(15/1);
=до₁-=:(4/1), =ре₁-=:(9/2), <ми₁-=:(05/1), =фа₁-=:(16/3), =соль₁-=:(06/1), <ля₁-=:(20/3), <си₁-=:(15/2);
=до₀-=:(2/1), =ре₀-=:(9/4), <ми₀-=:(05/2), =фа₀-=:(08/3), =соль₀-=:(03/1), <ля₀-=:(10/3), <си₀-=:(15/4).

Ноты гармонического До-мажора чистого строя:

=до₂-=:(8/1), =ре₂-=:(9/1), <ми₂-=:(10/1),=фа₂-=:(32/3), =соль₂-=:(12/1), >ля₂-Ь:(64/5), <си₂-=:(15/1);
=до₁-=:(4/1), =ре₁-=:(9/2), <ми₁-=:(05/1),=фа₁-=:(16/3), =соль₁-=:(06/1), >ля₁-Ь:(32/5), <си₁-=:(15/2);
=до₀-=:(2/1), =ре₀-=:(9/4), <ми₀-=:(05/2),=фа₀-=:(08/3), =соль₀-=:(03/1), >ля₀-Ь:(16/5), <си₀-=:(15/4).

Ноты мелодического До-мажора чистого строя:

=до₂-=:(8/1), =ре₂-=:(9/1), <ми₂-=:(10/1),=фа₂-=:(32/3), =соль₂-=:(12/1), >ля₂-Ь:(64/5), >си₂-Ь:(72/5);
=до₁-=:(4/1), =ре₁-=:(9/2), <ми₁-=:(05/1),=фа₁-=:(16/3), =соль₁-=:(06/1), >ля₁-Ь:(32/5), >си₁-Ь:(36/5);
=до₀-=:(2/1), =ре₀-=:(9/4), <ми₀-=:(05/2),=фа₀-=:(08/3), =соль₀-=:(03/1), >ля₀-Ь:(16/5), >си₀-Ь:(18/5).

Для завершения ответа на первый фрагмент вопроса

ув. Ram.A.Neru <...>
<<...
!!!IV!!!

Сколько различных нот (отличающихся по частотам) входит в чистые (7-ми или 12-ти нотные) строи До и Соль (мажоры) при образовании строя Соль мажор путем транспонирования на чистую квинту от ноты До (строя До мажор)

...>>

остаётся транспонировать на ч.5 вверх все три версии До-мажора чистого строя и получить ноты тональности Соль-мажор чистого строя.

Натуральная версия:

=соль₂-=:(12/1), =ля₂-=:(27/2), <си₂-=:(15/1), =до₃-=:(16/1), =ре₃-=:(18/1), <ми₃-=:(20/1), <фа₃-#:(45/2);
=соль₁-=:(06/1), =ля₁-=:(27/4), <си₁-=:(15/2), =до₂-=:(08/1), =ре₂-=:(09/1), <ми₂-=:(10/1), <фа₂-#:(45/4);
=соль₀-=:(03/1), =ля₀-=:(27/2), <си₀-=:(15/4), =до₁-=:(04/1), =ре₁-=:(09/2), <ми₁-=:(05/1), <фа₁-#:(45/8).


Гармоническая версия:

=соль₂-=:(12/1), =ля₂-=:(27/2), <си₂-=:(15/1), =до₃-=:(16/1), =ре₃-=:(18/1), >ми₃-Ь:(96/5), <фа₃-#:(45/2);
=соль₁-=:(06/1), =ля₁-=:(27/4), <си₁-=:(15/2), =до₂-=:(08/1), =ре₂-=:(09/1), >ми₂-Ь:(48/5), <фа₂-#:(45/4);
=соль₀-=:(03/1), =ля₀-=:(27/2), <си₀-=:(15/4), =до₁-=:(04/1), =ре₁-=:(09/2), >ми₁-Ь:(24/5), <фа₁-#:(45/8).

Мелодическая версия:

=соль₂-=:(12/1), =ля₂-=:(27/2), <си₂-=:(15/1), =до₃-=:(16/1), =ре₃-=:(18/1), >ми₃-Ь:(96/5), >фа₃-=:(108/5);
=соль₁-=:(06/1), =ля₁-=:(27/4), <си₁-=:(15/2), =до₂-=:(08/1), =ре₂-=:(09/1), >ми₂-Ь:(48/5), >фа₂-=:(054/5);
=соль₀-=:(03/1), =ля₀-=:(27/2), <си₀-=:(15/4), =до₁-=:(04/1), =ре₁-=:(09/2), >ми₁-Ь:(24/5), >фа₁-=:(027/5).

[vcirkov]

Чистый строй, о котором вопросы, не оставляет нам возможности выбирать разные модели. Версии нот должны быть такими, чтобы предписать интонацию именно натурального До-мажора чистого строя, исходя из того, что первым обертоном первого унтертона выбрана нота =До₀-=:(1/1).

Нот - всего семь. Больше пока не придумали.
Если речь идет о строе, нужно говорить не о нотах, а о звуках, которые, впрочем, могут быть обозначены как ноты.