Сонантометрия или алгебра гармонии.

**commator** · 27.04.2013, 19:24

Уважаемый bntr щедро одарил меня возможностью впервые в жизни увидеть формулы машинной сонантометрии, которые выдала не моя, а его Python программа в результате трёх прогонов на http://ideone.com/.

Ув. bntr также любезно согласился публично помогать мне вникнуть в суть его бескорыстного вклада в движение к идеалам ЧИ (чистой интонации). Пользуясь столь счастливым случаем прошу объяснить смысл чисел в правых столбцах. Содержимое всех остальных мне абсолютно ясно: центы, сонанты и о/у (обертонунтертоновые) соотношения.

**bntr** · 27.04.2013, 20:19

В правом столбце - как раз "гармоническое расстояние" (от данного сонанта до 1/1) - величина обратная "гармоничности".
Напомню, скрипт выводит N (в данных прогонах - 30) самых "гармоничных" нот в заданном интервале.

В данных трёх прогонах использовалась следующая формула "гармонического расстояния" (альтернативная формулам Эйлера и Барлоу и, по-моему, и более простая):
g(r) = a₁²*p₁^k + a₂²*p₂^k + ...
для r - рационального числа p₁^a1*p₂^a2*... (p - простые числа, a - могут быть отрицательны)
т.о. k может означать не-"освоенность" больших пределов ЧИ (для k = 5 выходит чуть ли не ЧИП3, а для k = 0 аж ЧИП19).

Сообщение от bntr

в этой статье .. упоминаются классическая формула Эйлера (Gradus Suavitatis) и более поздняя формула Кларенса Барлоу.

ideone.com - лишь один из онлайн интерпретаторов python. Я же запускал скрипт локально (используя python.exe 2.5), возможно python.exe есть и на Вашем компьютере (например вместе с OpenOffice, Inkscape итп).

**commator** · 27.04.2013, 21:13

Сообщение от bntr

В правом столбце - как раз "гармоническое расстояние" <...> возможно python.exe есть и на Вашем компьютере (например вместе с OpenOffice, Inkscape итп).

Пока буду усваивать содержимое угловых скобок, осмелюсь сделать намёк: у меня вместе с Sibelius есть ManuScript Language (PDF во вложении).

**commator** · 28.04.2013, 09:32

Сообщение от bntr

формула "гармонического расстояния":
g(r) = a₁²*p₁^k + a₂²*p₂^k + ...
для r - рационального числа p₁^a1*p₂^a2*... (p - простые числа, a - могут быть отрицательны)
т.о. k может означать не-"освоенность" больших пределов ЧИ (для k = 5 выходит чуть ли не ЧИП3, а для k = 0 аж ЧИП19)

Вычисления вручную по формуле g(p₁^a1*p₂^a2*...) = a₁²*p₁^k + a₂²*p₂^k + ...:

=С₀=:Фф, k = 1 ↔ g(1/1=p₁⁺⁰*p₂^-0) = (+0)²*p₁¹ + (-0)²*p₂¹ = 0 + 0 = 0;
=с₁=:2Tф, k = 1 ↔ g(4/1=2⁺²*p^-0) = (+2)²*2¹ + (-0)²*p¹ = 8 + 0 = 8;
<a₀=:MTd, k = 1 ↔ g(10/3=5⁺¹*2⁺¹*3^-1) = (+1)²*5¹ + (+1)²*2¹ + (-1)²*3^{1 =}5 + 2 + 3 = 10;
<h₀=:MD2t, k = 1 ↔ g(15/4=5⁺¹*3⁺¹*2^-2) = (+1)²*5¹ + (+1)²*3¹ + (-2)²*2^{1 =}5 + 3 + 8 = 16.

Список нот в порядке увеличения ГР (гармонического расстояния) от ориганта, или уменьшения гармоничности сонанта:

№	Центы	Нота:Сонант	№О/№У	ГР
1	0	=С₀=:Фф	1/1	0
2	2400	=с₁=:2Tф	4/1	8
3	2084	<a₀=:MTd	10/3	10
4	2288	<h₀=:MD2t	15/4	16

Перерасчёт для k = 3:

=С₀=:Фф, k = 3 ↔ g(1/1=p₁⁺⁰*p₂^-0) = (+0)²*p₁³ + (-0)²*p₂³ = 0 + 0 = 0;
=с₁=:2Tф, k = 3 ↔ g(4/1=2⁺²*p^-0) = (+2)²*2³ + (-0)²*p³ = 32 + 0 = 32;
<a₀=:MTd, k = 3 ↔ g(10/3=5⁺¹*2⁺¹*3^-1) = (+1)²*5³ + (+1)²*2³ + (-1)²*3³ = 125 + 8 + 27 = 160;
<h₀=:MD2t, k = 3 ↔ g(15/4=5⁺¹*3⁺¹*2^-2) = (+1)²*5³ + (+1)²*3³ + (-2)²*2³ = 125 + 27 + 32 = 184.

1	0	=С₀=:Фф	1/1	0
2	2400	=с₁=:2Tф	4/1	32
3	2084	<a₀=:MTd	10/3	160
4	2288	<h₀=:MD2t	15/4	184

Перерасчёт для k = 0:

=С₀=:Фф, k = 0 ↔ g(1/1=p₁⁺⁰*p₂^-0) = (+0)²*p₁⁰ + (-0)²*p₂⁰ = 0 + 0 = 0;
=с₁=:2Tф, k = 0 ↔ g(4/1=2⁺²*p^-0) = (+2)²*2⁰ + (-0)²*p⁰ = 4 + 0 = 4;
<a₀=:MTd, k = 0 ↔ g(10/3=5⁺¹*2⁺¹*3^-1) = (+1)²*5⁰ + (+1)²*2⁰ + (-1)²*3⁰ = 1 + 1 + 1 = 3;
<h₀=:MD2t, k = 0 ↔ g(15/4=5⁺¹*3⁺¹*2^-2) = (+1)²*5⁰ + (+1)²*3⁰ + (-2)²*2⁰ = 1 + 1 + 4 = 6.

1	0	=С₀=:Фф	1/1	0
2	2084	<a₀=:MTd	10/3	3
3	2400	=с₁=:2Tф	4/1	4
4	2288	<h₀=:MD2t	15/4	6

Правильно ли усвоена суть вычислений?

**bntr** · 28.04.2013, 10:36

Сообщение от commator

Правильно ли усвоена суть вычислений?

Всё кажется верным.
Добавлю формулы Эйлера и Барлоу:
gE(p₁^a1*p₂^a2*...) = |a₁|*(p₁ - 1) + |a₂|*(p₂ - 1) + ...
gB(p₁^a1*p₂^a2*...) = |a₁|*(p₁ - 2 + 1/p₁) + |a₂|*(p₂ - 2 + 1/p₂) + ...

Сообщение от commator

у меня вместе с Sibelius есть ManuScript Language

Посмотрел его - вполне способный и подходящий для таких процедур язык. Не могу с ним поэкспериментировать из-за проприетарности Sibelius.

**commator** · 28.04.2013, 12:25

Сообщение от bntr

из-за проприетарности Sibelius.

Откуда известно, что Sibelius проприетарный а не коммерческий?

**bntr** · 28.04.2013, 12:27

Сообщение от commator

Откуда известно, что Sibelius проприетарный а не коммерческий?

http://en.wikipedia.org/wiki/Sibelius_(software) - здесь вижу

License	Proprietary

**commator** · 28.04.2013, 13:47

Сообщение от bntr

http://en.wikipedia.org/wiki/Sibelius_(software) - здесь вижу

License	Proprietary

Статьи, которые может править каждый представляют определённую ценность, но вряд ли они весомы юридически.

Сами производители Sibelius заявили такое:

<<... Если вы пишете плагин, который, вы думаете, может быть полезен для других пользователей Sibelius, пожалуйста, отправьте эл.почтой подробности на sibhelpUK@sibelius.com и мы рассмотрим его включение на наш веб-сайт или в будущие версиии Sibelius. Мы платим хорошие деньги за хорошие плагины! ...>>

Сообщение от Spreadbury, Finn, Finn (2010), с. 495*:

If you write a plug-in that you think would be useful to other Sibelius users, please email details to sibhelpUK@sibelius.com and we’ll consider including it on our web site or with future versions of Sibelius. We pay good money for good plug-ins!

Понимаю это поощрением к экспериментированию с ManuScript Language...

Сообщал на Sibelius о своих экспериментах с 31РДО перенастройками партитур. Сам Daniel Spreadbury запрашивал у меня перенастроенную партитуру, которую я ему отправил. Запрета и другого ответа не последовало.

В 2009-м докладывал об этом на территории UK, будучи зарегистрированным участником ITA-09, о чём предварительно оповестил Sibelius. Никакой ощутимой реакции не было.

*) Spreadbury, Daniel; Finn, Ben; Finn, Jonathan. (March 2010) Sibelius 6 Reference. Edition 6.2. Sibelius copyright © Avid Technology, Inc. and its licensors 1987–2010. Sibelius Reference copyright © Avid Technology, Inc. 1992–2010. Published by Avid Technology, Inc., The Old Toy Factory, 20–22 City North, Fonthill Road, London N4 3HF, UK

**commator** · 28.04.2013, 16:03

В связи с вопросительными знаками в строчках, подобных этой:
216.68669477 :dm? 17/15 3.000

Привожу список первых 12-ти простых сонантов включающий условно простой оригант, который безусловно простым не является, что формула передаёт как :Ф (перечёркнутое O):

№	Имя	Nominis	Формула, произношение	№О[бертона]
1	оригант	Origant	:Ф, o(nt)	1/
2	тонант	Tonant	:T, te(nt)	2/
3	доминант	Dominant	:D, de(nt)	3/
4	медиант	Mediant	:M, me(nt)	5/
5	квартант	Quartant	:Q, k'e(nt)	7/
6	ундецимант	uNdecimant	:N, ne(nt)	11/
7	терциодецимант	teRtiodecimant	:R, re(nt)	13/
8	септимодецимант	sePtimodecimant	:P, pe(nt)	17/
9	ундевицесимант	Undevicesimant	:U, u(nt)	19/
10	вицесимотерцант	Vicesimotertant	:V, fe(nt)	23/
11	вицесимононант	vicesimononant	:W, ve(nt)	29/
12	тригесимопримант	trigesimoprimant	:Z, ze(nt)	31/

**bntr** · 28.04.2013, 16:48

Сообщение от bntr

Напомню, скрипт выводит N (в данных прогонах - 30) самых "гармоничных" нот в заданном промежутке.

Что касается алгоритма:
Знаменатели и числители кандидатов перечисляются обходом такого дерева вглубину слева направо.
Для каждого знаменателя перечисляются лишь взаимно простые с ним числители и соответствующие изначально запрошенному промежутку. Оценивается "гармоничность" полученной дроби кандидата. При этом ветвь дерева отбрасывается как "ненужная", начиная с элемента, соответствующая которому дробь менее "гармонична" чем N (например, 30) уже найденных лучших кандидатов.

Дроби кодируются массивом соответствующих степеней простых чисел, например [0, -2, 0, 1] означает 7/9.