Сонантометрия или алгебра гармонии.

[commator]

понимаю, как КТ помогает проверке детемперации (хотя не понимаю, зачем КТ "грубо аппроксимированны в 12РДО")

Намечаются ноты КТ в первом приближении и для хорошего обзора на минимальном количестве нотоносцев.

Проверяется слухом правдоподобие с учётом вероятности избавления от 12РДО дребезжания в лучше аппроксимирующих системах 53РДО и 31РДО.

Потом партитура разбивается на такое количество нотоносцев, какое необходимо для возможности использования команды Pitch Bend протокола General MIDI. Смысл в том, чтобы в каждом нотоносце было либо одноголосие, либо октавно-унисонное многоголосие.

Автомату нужна только такая партитура, а тому, кто её автомату готовит и передаёт, становится нелегко обозревать движение вертикалей в разбросанном по множеству нотоносцев виде. Поэтому лучше механически разбирать по нотоносцам наглядное многоголосие, упакованное в исходных двух-трёх.

действительно ли необходим промежуточный (хоть и автоматический) этап 31РДО (в переходе 12->31->53РДО), если 31->53 всё равно остаётся ручным.

Это очень важный этап предварительной проверки, автоматически разделяющий энгармонически близкие ноты, имеющие в системах 24/12РДО совпадающие высоты, а в ЧИ и её аппроксимации в системе 31РДО разные.

Становится заметным для слуха нестройное звучание моментов с энгармонически неверной нотацией.

Был примечательный случай с участием ув. vcirkovа.

В формате MP3 я отправил ему для прослушивания автоматически перенастроенную в 31РДО модель звучания двойного скрипичного концерта Баха. В партитуре несколько десятков тысяч нотных головок*, каждую из которых Sibelius перестроил секунд за шесть.

В объёмистой модели из быстрого темпа третьей части этот поразительный Эксперт выслушал минуту и секунду, где была фальшь, мною не замеченная. Подчеркну: фальшь была мгновенной и на слабой доле такта (!).

Когда я отыскал это место в партитуре, там у одной (!) нотной головки была энгармоническая ошибка, в системе 12РДО никаким слухом не выявляемая, а в системе 31РДО перечащая восприятию внимательного слушателя. Послушал внимательно и фальшь таки была. Ошибку исправил и фальши не стало. Конвертировал исправленную модель в MP3, отправил ув. vcirkovу для прослушивания и он подтвердил отсутствие фальши в звучании энгармонически верного нотного текста.

Отправлял я плагину-автомату на перенастройку SIB партитуру системы 12РДО из набора приложенных в качестве примеров производителем ПО. Пару мест с энгармоническими ошибками после перенастройки заметил и выправил, а одно ускользнуло. Мечтаю, разумеется, увидеть эти места в рукописи композитора.

*) Если за свои 65 лет Бах написал более 1000 произведений, пусть в среднем с десятком тысяч нотных головок каждое, то с момента появления на свет ему в сутки приходилось только на чистовики своих партитур наносить одних головок более чем по 421,21 шт., не считая штилей, хвостиков, пауз и прочей каллиграфии. Хочется пошутить: не заставлял ли Иоганн Себастьян всю свою большую семью принимать регулярное участие в этом грандиозном нотописании, чтобы успеть исполнить столь невообразимую миссию?

Если ошибочную нотацию не исправить, то попытки найти верное сонантометрическое решение для всей композиции обречены на излишние сложности. Ведь сонанты выставляются прежде всего в нотах, исходя из того, что там выписано и должно быть с гарантией принято за истинное.

Ещё это способ окончательной сверки. Одна и та же композиция должна давать сносный унисон одновременного звучания в системах 53РДО и 31РДО.

Предполагаете ли Вы пользу от "гармонических расстояний" в "попытках подобраться"?

Возможно это понадобится автомату, но не применялось явно в моих ручных попытках подобраться.

[commator]

Подготовил материал, иллюстрирующий мою попытку подобраться к первым четырём тактам чрезвычайно известной композиции. В ZIPе MIDI модель.
Вложение 76903 Вложение 76904
Вложение 76902
Вложение 76901

Пояснения:

1. Такты 01..04 -- фрагмент исходной партитуры в 12РДО.
2. Такты 05..08 -- вручную добавлены ромбические ноты вероятных КТ (комбинационных тонов), грубо аппроксимированных в 12РДО с предположением, что КТ имеют склонность к восстановлению полной НС (натуральной скалы) не менее чем по двум обертонам, определяющим именно восстанавливаемую НС.
3. Такты 09..12 -- уточнение нотации вручную, проверка слухом автоматически перестроенных в 31РДО версий звучания с КТ и определение вручную сонантов для пригодной интерпретации.
4. Такты 13..16 -- перенастроенная в 31РДО интерпретация исходного фрагмента партитуры без КТ.

Теперь остаётся по формулам добавлять вручную поправки на искусственные (темперированные) коммы и перенастроить в 53РДО

Добавил и перенастроил:


B0846p01-04b07L31Eto53E.mp3
B0846p01-04b07L31Eto53E.zip

Пояснения:

1. Такты 01..04 -- фрагмент исходной партитуры в 31РДО.
2. Такты 05..08 -- по формулам добавлены вручную значки искусственных комм и команды перенастройки в 53РДО.
3. Такты 09..12 -- вручную добавлены ромбические ноты вероятных КТ с формулами сонантометрии, комматическими поправками и командами перенастройки для проверки слухом правдоподобности сонантометрического решения, аппроксимированного в 53РДО, что мало кому дано по слуху отличать от идеального в ЧИ.

[bntr]

Такты 05..08 -- вручную добавлены ромбические ноты вероятных КТ (комбинационных тонов), грубо аппроксимированных в 12РДО с предположением, что КТ имеют склонность к восстановлению полной НС (натуральной скалы) не менее чем по двум обертонам, определяющим именно восстанавливаемую НС.

Как находится КТ минорного трезвучия (оно ведь не входит в НС) ?

[commator]

Как находится КТ минорного трезвучия (оно ведь не входит в НС) ?

Оно в НС формируется обертонами 10/, 12/, 15/.

Вероятные КТ, восстанавливающие обертоны 9/, 11/, 13/, 14/, 16/ обязаны попадать вовнутрь смежных непересекающихся критических полос (активированных звучанием обертонов 10/, 12/, 15/) и нагнетать напряжённость ощущений, которая должна в целом обладать известной приятностью из-за кратности общему унтертону /1 любых биений внутри активных критических полос.

Для сравнения мажорное трезвучие из обертонов 4/, 5/, 6/ не допускает возможности попадания каких-либо КТ вовнутрь своих активных критических полос, которые также смежные и непересекающиеся, но с гарантией обслуживают лишь по одному стимулу каждая. Биений быть не может, а система восприятия работает с полной нагрузкой без страха перегрузок, т. е. в наилучшем режиме.

Формально все КТ любого многозвучия можно находить объединяя множества возможных КТ для каждой пары тонов, выделяемой из данного многозвучия. Для трезвучия таких пар 3, а для четырезвучия их 6.

[bntr]

Оно в НС формируется обертонами 10/, 12/, 15/.

Действительно (прошу прощения за глупый вопрос). В НС ведь входят вообще все (рациональные) многозвучия.

Вероятные КТ, восстанавливающие обертоны 9/, 11/, 13/, 14/, 16/ обязаны попадать вовнутрь смежных непересекающихся критических полос (активированных звучанием обертонов 10/, 12/, 15/) и нагнетать напряжённость ощущений, которая должна в целом обладать известной приятностью из-за кратности общему унтертону /1 любых биений внутри активных критических полос.

Для сравнения мажорное трезвучие из обертонов 4/, 5/, 6/ не допускает возможности попадания каких-либо КТ вовнутрь своих активных критических полос, которые также смежные и непересекающиеся, но с гарантией обслуживают лишь по одному стимулу каждая. Биений быть не может, а система восприятия работает с полной нагрузкой без страха перегрузок, т. е. в наилучшем режиме.

К сожалению, не смог понять про непересекающиеся полосы (бывают пересекающиеся?), напряжённость и перегрузки.

[commator]

Действительно (прошу прощения за глупый вопрос). В НС ведь входят вообще все (рациональные) созвучия

Вопрос не глупый, а очень хороший. Тут есть один заковыристый момент.

Рациональные созвучия могут быть построены не только из одной натуральной скалы (НС), но также из нескольких, чьи основания находятся в рациональных соотношениях. Минорное трезвучие, поэтому, можно понимать и как фрагмент одной НС, и как объединение пары НС:

3/3	→	15/15	←	5/5
		—
		—
		12/15	←	4/5
		—
2/3	→	10/15
		9/15	←	3/5
		—
		—
		6/15	←	2/5
1/3	→	5/15
		—
		3/15	←	1/5

Меня влечёт в сторону бинарной природы минорного трезвучия, но как это красиво отображать формулами ещё не осознал. По сути возникают мысли о двух тониках в соотношении б.сексты/м.терции, что в музыкальной практике известно под названием параллельные тональности.

Между тем существует ещё два способа получения бинарной версии минорного трезвучия:

5/4

→

15/12

|

3/2

→

15/10

14/12

←

7/6

|

14/10

←

7/5

—

|

—

4/4

→

12/12

←

6/6

|

12/10

←

6/5

—

|

—

10/12

←

5/6

|

2/2

→

10/10

←

5/5

3/4

→

9/12

|

—

8/12

←

4/6

|

8/10

←

4/5

—

|

—

2/4

→

6/12

←

3/6

|

6/10

←

3/5

—

|

1/2

→

5/10

4/12

←

2/6

|

4/10

←

2/5

1/4

→

3/12

|

—

2/12

←

1/6

|

2/10

←

1/5

[commator]

К сожалению, не смог понять про непересекающиеся полосы (бывают пересекающиеся?), напряжённость и перегрузки.

Напряжённость и перегрузки от моего электромеханического образования и немалого в прошлом опыта работы с электронной техникой.

О критических полосах впервые прочитал в 1978-м на этих страницах:



Потом подробнее, музыкальнее и в текущем тысячелетии:

Вот глава из музыковедческой диссертации 2000-го года, написанной в Лидсе, Англия.

Ещё глава из этой диссертации <...>:

3.2.1 Introduction to Critical Bandwidth
When two sinusoids are adequately separated in frequency, they are processed by the cochlea as distinct entities, with the perceived loudness of one sinusoid being unaffected by the other. In the event that their frequencies are sufficiently close to one another, the two sinusoidal signals interact, thus masking, or diminishing the amplitude of, one another within the cochlea [Max Mathews, ‘The Ear and How it works,’ (Perry R. Cook, Editor) Music, Cognition and Computerized Sound (Cambridge: MIT Press, 1999), p. 9].
For each auditory neuron within the cochlea, a tuning curve, or graph of minimum sound pressure level for neural response versus frequency, can be drawn. The characteristic frequency (CF) is the frequency at which such a neuron can be stimulated with a minimum of amplitude. Deviating from the CF either above or below will cause a corresponding decrease in the output from the neuron being examined.
The psychophysical tuning curve (PTC), similar is shape to the neural tuning curve, is obtained through tests in which the listener hears first a tone whose frequency and amplitude are predetermined, and then a second tone, or masker. The level at which the masker masks the tone is then recorded in order to determine the overall shape of the auditory filter.
Results indicate that the inner ear is a bank of overlapping, linear bandpass filters. A combination of two or three filters, known collectively as a Roex filter, can be used to model the bandwidth of the cochlea for a given frequency [Patterson and Moore, 'Auditory filters and excitation patterns as representations of frequency resolution,’ (Brian C. J. Moore, Editor) Frequency Selectivity in Hearing (London: Academic Press, 1986), p. 136-7]. For a single sinusoid, the shape of the auditory filter, as indicated by threshold curves at various frequencies, is exponential [Patterson and Moore, Op. Cit, p. 123]. Moore characterizes the shape of the auditory filter as a rounded exponential function with a passband whose skirts are close to exponential but whose top is flattened:

For a young normal listener, a moderate level, and a 1.0 KHz centre frequency, the equivalent rectangular bandwidth of the filter is about 130 Hz and it is approximately symmetrical on a linear frequency scale. The filter applies an attenuation of about 25dB 300 Hz above or below the signal frequency [Patterson and Moore, Op. Cit, p. 173].

In musical terms, the size of the tonal window in which the sine components of one or more tones interact is approximately a minor third. The size of a critical band will increase as it descends to the frequencies of the lower keys of the piano. Additionally, amplitude causes the size of the critical band to augment, especially in the lower register.

Мой перевод:

3.2.1 Введение в критическую полосу
Когда две синусоиды удовлетворительно разделяются по частоте, они обрабатывается улиткой как отдельные сущности, с воспринятой громкостью одной синусоиды, незатронутой другой. Когда их частоты достаточно близки друг к другу, два синусоидальных сигнала взаимодействуют, маскируя, или уменьшая, таким образом, амплитуду друг друга внутри улитки [Max Mathews, ‘The Ear and How it works,’ (Perry R. Cook, Editor) Music, Cognition and Computerized Sound (Cambridge: MIT Press, 1999), p. 9].
Для каждого слухового нейрона внутри улитки, можно вычертить кривую настройки, или график минимального уровня звукового давления для нейральной реакции в сравнении с частотой. Характеристическая частота (ХЧ) есть частота, на которой такой нейрон может быть стимулирован с минимумом амплитуды. Отклонение от ХЧ либо выше, либо ниже, причинит соответствующее уменьшение на выходе исследуемого нейрона.
Психофизическая кривая настройки (ПКН), аналогично есть модель к нейральной кривой настройки, полученная через испытания, в которых слушатель прослушивает сначала тон, чья частота и амплитуда предопределена, и затем второй тон, или masker. Уровень, на котором masker маскирует тон, затем зарегистрирован, чтобы установить общую форму слухового фильтра.
Результаты указывают, что внутреннее ухо есть набор перекрывающихся линейных полосовых фильтров. Комбинация двух или трех фильтров, известных вместе как Roex [Rounded exponential] фильтр, может использоваться для моделирования полосы улитки для данной частоты [Patterson and Moore, 'Auditory filters and excitation patterns as representations of frequency resolution,’ (Brian C. J. Moore, Editor) Frequency Selectivityin Hearing(London: Academic Press, 1986), p. 136-7]. Для отдельной синусоиды, форма слухового фильтра, как обозначено пороговыми кривыми в различных частотах, является экспоненциальной [Patterson and Moore, Op. Cit, p. 123]. Moore характеризует форму слухового фильтра как округленную показательную функцию с полосой пропускания, чьи окраины близки к экспоненциальным, но чья вершина сглажена:

Для молодого нормального слушателя, среднего уровня, и частоты центра 1.0 КГЦ, эквивалентная прямоугольная ширина полосы фильтра есть приблизительно 130 Гц, и она приблизительно симметрична на линейной шкале частот. Фильтр применяет около 25dB ослабления [на] 300 Гц выше или ниже частоты сигнала [Patterson and Moore, Op. Cit, p. 173].

В музыкальных терминах, размер тонального окна, в котором синус-компоненты одного или большего количества тонов взаимодействуют есть приблизительно малая терция. Размер критической полосы увеличится, по мере снижения к частотам низших клавиш фортепьяно. Дополнительно, амплитуда заставляет размер критической полосы увеличиваться, особенно в низшем регистре.

Подробности упомянутых фильтров есть и в моём экземпляре советского раритета:

[bntr]

Рациональные созвучия могут быть построены не только из одной натуральной скалы (НС), но также из нескольких

Это напоминает об алгоритме профессора Terhardt, ищущем т.н. Virtual pitch.
Насколько я понял, по (разной громкости) существующим компонентам многозвучия алгоритм ищет (разной явности) виртуальные компоненты (КТ), являющиеся Missing fundamental (не понял, одним или несколькими) и его (их) гармониками.

[bntr]

Вероятные КТ, восстанавливающие обертоны 9/, 11/, 13/, 14/, 16/ обязаны попадать вовнутрь смежных непересекающихся критических полос (активированных звучанием обертонов 10/, 12/, 15/) и нагнетать напряжённость ощущений, которая должна в целом обладать известной приятностью из-за кратности общему унтертону /1 любых биений внутри активных критических полос.

Всё ещё не понимаю, почему "обертоны 9/, 11/, 13/, 14/, 16/ обязаны попадать вовнутрь..". Что, если критические полосы у некого слушателя уже обычного, и обертоны не попадут "вовнутрь" - минорное трезвучие будет казаться более резким (например, из-за биений между вышедшими за пределы одной критической полосы обертонами 15/ и 16/) ?

[commator]

Это напоминает об алгоритме профессора Terhardt, ищущем т.н. Virtual pitch.
Насколько я понял, по (разной громкости) существующим компонентам многозвучия алгоритм ищет (разной явности) виртуальные компоненты (КТ), являющиеся Missing fundamental (не понял, одним или несколькими) и его (их) гармониками.

То, что профессор Terhardt ищет там же, куда я попал своим путём, весьма похоже на правду.

Мои попытки анализировать известную музыку, приятную (гладкую для восприятия) и через сотни лет, указали на сомнительность осмысления немажорных аккордов в системе одного резидуального тона (Missing fundamental). Он в действительной музыке довольно часто переходит из пространства ощутимых высот в пространство ощутимых ритмов. Поэтому меня и привлекают поиски убедительного решения аккордовых проблем тональности в объединениях фрагментов нескольких НС.

Возможно и мажорные аккорды лучше понимать как бинарные построения, где соотношения действительных/мнимых оснований объединённых пар НС оказываются октавноунисонными:

3/3

→

6/6

←

6/6

|

6/5

→

6/5

←

6/5

|

3/2

→

6/4

←

6/4

5/6

←

5/6

|

5/5

→

5/5

←

5/5

|

5/4

←

5/4

2/3

→

4/6

←

4/6

|

4/5

→

4/5

←

4/5

|

2/2

→

4/4

←

4/4

3/6

←

3/6

|

3/5

→

3/5

←

3/5

|

3/4

←

3/4

1/3

→

2/6

←

2/6

|

2/5

→

2/5

←

2/5

|

1/2

→

2/4

←

2/4

1/6

←

1/6

|

1/5

→

1/5

←

1/5

|

1/4

←

1/4

Недаром у музыкантов тоническая квинта считается каркасом тональности, а тоническая терция определяет её ладовое наклонение, т.е. мажорность, минорность или арабскую нейтральность.