Сонантометрия или алгебра гармонии.

[commator]

Добавлю формулы Эйлера и Барлоу:
gE(p₁^a1*p₂^a2*...) = |a₁|*(p₁ - 1) + |a₂|*(p₂ - 1) + ...
gB(p₁^a1*p₂^a2*...) = |a₁|*(p₁ - 2 + 1/p₁) + |a₂|*(p₂ - 2 + 1/p₂) + ...

От Эйлера до нас дошёл интригующий документ:

Прикладываю таблицу эйлерова прототипа ЧИП7. Я впервые узнал о ней в авторитетной книге П. Барбьери (c.c. 210..212).

Из него ясно: максимум показателя степени падает с ростом величины простого числа.

Интригует исключение повинной в существовании пифагорейской б. терции величины 3⁴. Связанная с пифагорейской м. терцией величина 3³ оставлена. На этом же номере обертона современные индийские исследователи шрути предлагают разделить натуральную скалу на существенный для восприятия гармоничности нижний диапазон и несущественный верхний.

[commator]

k может означать не-"освоенность" больших пределов ЧИ (для k = 5 выходит чуть ли не ЧИП3, а для k = 0 аж ЧИП19)

Может быть k всё же освоенность, если c нулевым k появляются ЧИ неосвоенных больших пределов?

Всё кажется верным

Для k=0 что-то идёт не так. Предполагаю, что это крайность, которой быть не должно.

Кажется имеющим смысл накладывать упорядоченные ограничения на абсолютные величины показателей, чем уже пытаются пользоваться:

Фиксированные выборки, по сути генераторы Эйлера-Фоккера, порождают квинтами, большими терциями и гармоническими септимами звукоряды из 12 тонов на октаву: [3³.5²], [3².5³], [5³.7²], [3³.7²], [5².7³], [3².5.7], [3.5².7], [3.5.7²]

Ограничиться для начала [5^±2, 3^±3, 2^±5] и пробовать подобраться к предполагающим ЧИП5 нехитрым монотональным композициям с тоникой в конце...

[bntr]

Может быть k всё же освоенность, если c нулевым k появляются ЧИ неосвоенных больших пределов?

Для k=0 что-то идёт не так. Предполагаю, что это крайность, которой быть не должно.

C ростом k - "освоенность" (больших пределов) уменьшается.

При k=0 разница между простыми числами пропадает (все одинаково "освоены") - значение имеют лишь показатели степеней.

[bntr]

От Эйлера до нас дошёл интригующий документ

В таблице - вариант Эйлера аппроксимации 24РДО дробями ЧИП7 ?

[bntr]

Кажется имеющим смысл накладывать упорядоченные ограничения на абсолютные величины показателей

Мне хотелось, что бы такие ограничения появлялись естественно (из-за соответствующей функции "гармонического расстояния").
Напомню, что первоначально задумывал алгоритм работающим и без переменной предела LEVEL.

[commator]

Мне хотелось, что бы такие ограничения появлялись естественно (из-за соответствующей функции "гармонического расстояния").
Напомню, что первоначально задумывал алгоритм работающим и без переменной предела LEVEL.

Не думаю, что из одной арифметики такое появится естественно. Если ухитриться арифметику перемножить с психоакустикой -- может и замаячит.

[commator]

В таблице - аппроксимация 24РДО дробями ЧИП7 ?

Я пока не выяснил достоверно, что в таблице, но там отсутствуют отрицательные показатели и, следовательно, отброшены результаты ретрактивных (втягивающие) операций над множеством натуральных скал (НС).

Нет, например, привычной ноты B(2¹² ▪ ⁴/₃ = 2¹⁴▪3^-1 ≈ 2^12,41504) которая втягивается в НС унтертона 3, где оказывается обертоном 65536 (2¹⁶).

Другая привычная нота c(2¹² ▪ ³/₂ = 2¹¹▪3 ≈ 2^12,58496) есть и это один из присутствующих результатов экстрактивных (вытягивающих) операций, который вытягивается из НС унтертона 1 как обертон 6144 (2¹¹▪3).

[bntr]

Ограничиться для начала [5^±2, 3^±3, 2^±5] и пробовать подобраться к предполагающим ЧИП5 нехитрым монотональным композициям с тоникой в конце...

Не понимаю, что Вы имеете ввиду под "подобраться".

[commator]

Не понимаю, что Вы имеете ввиду под "подобраться".

Подготовил материал, иллюстрирующий мою попытку подобраться к первым четырём тактам чрезвычайно известной композиции. В ZIPе MIDI модель.

B0846p01-04b07L12Eto31E.mp3
B0846p01-04b07L12Eto31E.zip

Пояснения:

1. Такты 01..04 -- фрагмент исходной партитуры в 12РДО.
2. Такты 05..08 -- вручную добавлены ромбические ноты вероятных КТ (комбинационных тонов), грубо аппроксимированных в 12РДО с предположением, что КТ имеют склонность к восстановлению полной НС (натуральной скалы) не менее чем по двум обертонам, определяющим именно восстанавливаемую НС.
3. Такты 09..12 -- уточнение нотации вручную, проверка слухом автоматически перестроенных в 31РДО версий звучания с КТ и определение вручную сонантов для пригодной интерпретации.
4. Такты 13..16 -- перенастроенная в 31РДО интерпретация исходного фрагмента партитуры без КТ.

Теперь остаётся по формулам добавлять вручную поправки на искусственные (темперированные) коммы и перенастроить в 53РДО.

Если добавлять поправки на естественные (точные) коммы, получится перенастройка в ЧИ, но этот путь гораздо сложнее: в ЧИП7, например, универсальная искусственная комма системы 53РДО должна получить три разных величины в пифагорейской, дидимовой и архитовой разновидностях. В ЧИП11 разновидностей комм получится 4, а в ЧИП31 их окажется 10. Коммы в переходах ЧИП0 ↔ ЧИП1 и ЧИП1 ↔ ЧИП2 не возникают; они добавляются во всех других переходах:

1. ЧИП02 ↔ ЧИП03 − пифагорейская (Θ − повышение, θ − понижение)/дитоническая комма 23 цента, например c₁₈:19Tф_Θ−Θc₁₈:12D19t19Tф=h₁₇#:12Dф−θ_θh₁₇#:19T12d12Dф [⁵²⁴²⁸⁸/₁_−⁵³¹⁴⁴¹/₁−_⁵²⁴²⁸⁸/₁];
2. ЧИП03 ↔ ЧИП05 − дидимова (Δ − повышение, δ − понижение)/синтоническая комма 22 цента, например e₅:4Dф−δ_δe₅:M4T4d4Dф=e₅δ:M4Tф_Δ−Δe₅δ:4Dm4tM4Tф [⁸¹/₁−_⁸⁰/₁_−⁸⁰/₁];
3. ЧИП05 ↔ ЧИП07 − архитова (Α − повышение, α − понижение)/септимальная комма 27 центов, например с₅:6Tф−α_αc₅:Q2D6t6Tф=c₅α:Q2Dф_Α−Αc₅α:6Tq2dQ2Dф [⁶⁴/₁−_⁶³/₁_−⁶⁴/₁];
4. ЧИП07 ↔ ЧИП11 − аль-Фарабиева (Φ − повышение, φ − понижение)/ундецимальная комма (Ν − повышение, ν − понижение) 53 цента, например с₄:5Tф_Φ−Φc₄:ND5t5Tф=c₄Φ:NDф−φ_φc₄Φ:5TndNDф [³²/₁_−³³/₁−_³²/₁];
5. ЧИП11 ↔ ЧИП13 − ?_____/тридецимальная комма (Ρ − повышение, ρ − понижение) 65 центов, например a₃:3Dф−ρ_ρa₃:RT3d3Dф=a₃ρ:RTф_Ρ−Ρa₃ρ:3DrtRTф [²⁷/₁−_²⁶/₁_−²⁷/₁];
6. ЧИП13 ↔ ЧИП17 − ?_____/септендецимальная комма (Π − повышение, π − понижение) 9 центов, например с₁₀#:7Dф−π_πc₁₀#:P7T7d7Dф=c₁₀#π:P7Tф_Π−Πc₁₀#π:7Dp7tP7Tф [²¹⁸⁷/₁−_²¹⁷⁶/₁_−²¹⁸⁷/₁];
7. ЧИП17 ↔ ЧИП19 − боэциева (Β − повышение, β − понижение)/ундевицесимальная комма 3 цента, например с₈:9Tф_Β−Βc₈:U3D9t9Tф=c₈Β:U3Dф−β_βc₈Β:9Tu3dU3Dф [⁵¹²/₁_−⁵¹³/₁−_⁵¹²/₁];
8. ЧИП19 ↔ ЧИП23 − ?_____/вицесимотерциальная комма 17 центов _V5T6d− [⁷³⁶/₁:⁷²⁹/₁],
9. ЧИП23 ↔ ЧИП29 − ?_____/вицесимонональна комма 33 цента _W2D8t− [²⁶¹/₁:²⁵⁶/₁],
10. ЧИП29 ↔ ЧИП31 − ?_____/трицесопримальная комма 35 центов _Z3T5d− [²⁴⁸/₁:²⁴³/₁].

[bntr]

Подготовил материал, иллюстрирующий мою попытку подобраться к первым четырём тактам чрезвычайно известной композиции.

В меру своей ограниченности понимаю, как КТ помогает проверке детемперации (хотя не понимаю, зачем КТ "грубо аппроксимированны в 12РДО").
Не понимаю, действительно ли необходим промежуточный (хоть и автоматический) этап 31РДО (в переходе 12->31->53РДО), если 31->53 всё равно остаётся ручным.

Предполагаете ли Вы пользу от "гармонических расстояний" в "попытках подобраться"?