Сонантометрия или алгебра гармонии.

[bntr]

С другой стороны множество не совпадающих по написанию нот в одной тональности может иметь столь близкое расположение, что все они будут восприняты с ощущением лишь одной высоты. Именно так увечат музыку в системе 12РДО, где sol₀#:2M3t и la₀Ь:4Tm, к примеру, получаются одинаковой высоты, а в системах 53/31РДО между ними ощутимый микротон 45/39 центов и 41 цент в ЧИ.

Я пытался спросить, может ли слушатель воспринимать один стимул одновременно (или "ретроспективно") как две ноты (например :2M2d и :2D2mt).
Ваш ответ создал впечатление, что это возможно - в политональности.
Получается ли, что политональность может быть чуждой ЧИ и сродни увеченью? Ведь для одной или обеих нот этот один стимул будет грязным.

[commator]

Я пытался спросить, может ли слушатель воспринимать один стимул одновременно (или "ретроспективно") как две ноты (например :2M2d и :2D2mt).
Ваш ответ создал впечатление, что это возможно - в политональности.
Получается ли, что политональность может быть чуждой ЧИ и сродни увеченью? Ведь для одной или обеих нот этот один стимул будет грязным.

Ваш пример с ошибкой.

Для перехода от :2D2mt к :2M2d нужен интерсонант вверх _4MT[1250/81]4d–:

• :2D[9/50]2mt_4MT[1250/81]4d–:2M[25/9]2d;

т. е. одна синусоида вряд ли может стимулировать явное ощущение двух высот с интервалом почти 4 октавы (4737 центов [1250/81]).

Давайте ошибку исправим и перенесём Ваши сонанты в малую октаву, например:

• :2M2d ↔ (fa₀#:2M[25/9]2d = два-под-фа-малой-октавы-диез;
• :2D3T2m ↔ )sol₀Ь:2D3T[72/25]2m = два-над-соль-малой-октавы-бемоль.

Для перехода от :2M2d к :2D3T2m нужен интерсонант вверх _4D3T[648/625]4m–:

• :2M[25/9]2d_4D3T[648/625]4m–:2D3T[72/25]2m;

т. е. одна синусоида в ЧИ вряд ли может стимулировать явное ощущение двух высот с интервалом почти 3 коммы (63 цента [648/625]).

В системах 24/12РДО мы не можем аппроксимировать интерсонант –4M4[625/648]d3t_4D3T[648/625]4m– между аппроксимациями сонантов :2M[25/9]2d и :2D3T[72/25]2m, т. к. там используется один стимул и для fa₀# и для sol₀Ь, а стимулов для )sol₀Ь и (fa₀# нет. Это увечит музыку из-за того, что в ЧИ эту ум.м2 (уменьшённую малую секунду) или д.ум.б2 (дважды уменьшённцю большую секунду) нельзя стимулировать одной частотой

ни вертикально (одновременно):

(fa₀#:2M2d
–4M4d3t_4D3T4m–
)sol₀Ь:2D3T2m,

ни горизонтально ("ретроспективно"): )sol₀Ь:2D3T2m–4M4d3t_(fa₀#:2M2d.

В системах 24/12РДО вряд ли возможно полностью избавиться от ощущений унисона для рассматриваемых ум.м2/д.ум.б2 из-за стимуляции таковых одной и той же частотой; для вертикального использования совершенно невозможно, для горизонтального может быть и возможно в каком-то контексте.

В системе 31РДО пример будет увечиться существенно меньше, т. к. ощущение унисона для рассматриваемых ум.м2/д.ум.б2 исключено, а интерсонант –4M4d3t_4D3T4m– будет аппроксимирован величиной 39 центов вместо 63.

В системе 53РДО пример увечиться почти не будет из-за исключения ощущения унисона для рассматриваемых ум.м2/д.ум.б2 и аппроксимации интерсонанта –4M4d3t_4D3T4m– величиной 68 центов вместо 63.

[bntr]

Жаль, что вместо Вашего :2M3t-:4Tm я предложил настолько кривой пример (63 цента), да еще и с ошибкой. Спасибо за ответ!
Прошу Вас прокомментировать и следующее.

В статье Политональность упоминается полиаккорд "Петрушки" Стравинского (C-dur + Fis-dur). Этот же аккорд идёт примером для т.н. симметричного лада.
Насколько я понимаю, суть симметричности такого лада в том, что C-dur и Fis-dur как бы находятся в равных друк к другу отношениях (либо хотя бы не определено, который из них отстоит на 45/32 (или может 7/5, или 36/25) от другого).
Мне очень интересно Ваше отношение к симметричным ладам. Кажется, это то средство, где ЧИ перестаёт быть возможной.

[commator]

В статье Политональность упоминается полиаккорд "Петрушки" Стравинского (C-dur + Fis-dur). Этот же аккорд идёт примером для т.н. симметричного лада.
Насколько я понимаю, суть симметричности такого лада в том, что C-dur и Fis-dur как бы находятся в равных друк к другу отношениях (либо хотя бы не определено, который из них отстоит на 45/32 (или может 7/5, или 36/25) от другого).
Мне очень интересно Ваше отношение к симметричным ладам. Кажется, это то средство, где ЧИ перестаёт быть возможной.

Интересуюсь не всякой музыкой и верю: приятная (удобная для восприятия) музыка обязательно имеет те или иные интерпретации в системе ЧИ.

Если практикуемые из-за системы 12РДО формализмы симметричных ладов, додекафонии, сериализма или алеаторики, породили какое-то множество пьес, которые приятно слушать, они ещё лучше будут звучать в системе ЧИ, где подходящие интерпретации для них всегда найдутся.

Точная равноделимость звуковысотных интервалов не предусмотрена природой, но оказалась необходимой для музыкальных инструментов и музыкальной теории.

Теперь становится несомненным, особенно в процессе оживлённого взаимодействия разных музыкальных культур, что 12 равных делений в октаве мало, а человека, играющего на клавиатуре системы 1200РДО, трудно представить.

Человека, играющего вслепую на фисгармонии системы 31РДО или 53РДО представить не трудно.



Он сможет выделять в октавах все желаемые лады, кроме неестественных строго симметричных, там невозможных. Не думаю, что этот исполнитель и его слушатели будут страдать от того, что невозможно играть и слушать иррацональных 600 центов [2^1/2], но возможно их аппроксимировать рациональными:

	:MTq	~	617	~ 10/7
	:S37rt	~	611	~~~~ 37/26
	:6Tm2d	~	610	~~~~~ 64/45
	:3Du	~	608	~~~ 27/19
	:N2Tz	~	606	~~~~ 44/31
	:Pd2t	~	603	~~ 17/12
	:WTs41	~	601	~~~~~ 58/41
			600
	:S41w	~	599	~~~~ 41/29
	:D3Tp	~	597	~~~ 24/17
	:Znt	~	594	~~~~ 31/22
	:UT3d	~	592	~~~~~ 38/27
	:M2D5t	~	590	~~~~~~ 45/32
	:R2Ts37	~	589	~~~~~~~52/37
	:Qm	~	583	~ 7/5

Стоит обратить внимание: в долгой и богатой истории западной музыкальной письменности всё ещё нет ноты, взаимно-однозначно отображающей именно 600 центов [21/2]. Возможность взаимно-однозначно отображать нотами 583 цента [7/5] и 617 центов [10/7] ввёл Тартини в XVIII веке. Иррациональные лады пока нельзя записать обычными западными нотами; их рациональные интерпретации — можно и давно.

[commator]

Жаль, что вместо Вашего :2M3t-:4Tm я предложил настолько кривой пример (63 цента), да еще и с ошибкой. Спасибо за ответ!

Рад, что самое ценное и самое трудное в этом для всех открытом публичном обсуждении, а именно выявление и устранение ошибок, не стало и не станет, надеюсь, причиной его прекращения.

Это обсуждение мною и начато ради защиты сонантометрии от ошибок, влиянию которых подвержена на первых шагах любая теория, как и любой живой организм подвержен детским болезням в начале своего развития.

[commator]

Десять комм, характеризующих простые пределы ЧИ (чистой интонации) до 31-го включительно и несколько комм более высоких пределов ЧИ, сонантам которых буквы ещё не присвоены.

	Prime Limit of Just Intonation	Comma as Sonant		Overtone Number		Undertone Number		In Cents	Comment
1	19LJI	Βο,:U3D9t οΒ,:9Tu3d	↔ ↔	513 512	/ /	512 513	→ →	3,378019 -3,378019	Βο, after Βοήθιος, and οΒ, from ςοιθηοΒ, means accordingly undevicesimal comma sharp and flat a Pythagorean note pitch. For 53EDO Βο,:U3D[513/512]9t and οΒ,:9T[512/513]u3d denoted here by nothing
2	17LJI	επ,:7Dp7t πε,:P7T7d	↔ ↔	2187 2176	/ /	2176 2187	→ →	8,729597 -8,729597	επ, from Δεκαεπτά, and πε, from ατπεακεΔ, means accordingly septendecimal comma sharp and flat a Pythagorean note pitch. For 53EDO επ,:7D[2187/2176]p7t and πε,:P7T[2187/2187]7d denoted here by nothing
3	43LJI	σι,:S43D7t ισ,:7Ts43d	↔ ↔	129 128	/ /	128 129	→ →	13,472707 -13,472707	σι, from τεσσαρακοστές τρίτες, and ισ, from ςετιρτ ςετσοκαρασσετ, means accordingly quadracesotertial comma sharp and flat a Pythagorean note pitch. For 53EDO σι,:S43D[129/128]7t denoted here by <‡ and ισ,:7T[128/129]s43d — by >J
4	23LJI	ερ,:V5T6d ρε,:6Dv5t	↔ ↔	736 729	/ /	729 736	→ →	16,544342 -16,544342	ερ, from είκοσι τρία, and ρε, from αιρτ ισοκιε, means accordingly vicesimotertial comma sharp and flat a Pythagorean note pitch. For 53EDO ερ,:V5T[736/729]6d denoted here by <‡ and ρε,:6D[729/736]v5t — by >J
5	41LJI	σω,:S41T4d ωσ,:4Ds41t	↔ ↔	82 81	/ /	81 82	→ →	21,242402 -21,242402	σω, from τεσσαρακοστή πρώτη, and ωσ, from ητωρπ ητσοκαρασσετ, means accordingly quadracesoprimal comma sharp and flat a Pythagorean note pitch. For 53EDO σω,:S41T[82/81]4d denoted here by <‡ and ωσ,:4D[81/82]s41t — by >J
6	05LJI	Δι,:4Dm4t ιΔ,:M4T4d	↔ ↔	81 80	/ /	80 81	→ →	21,506290 -21,506290	Δι, after Δίδυμος, and ιΔ, from ςομυδιΔ, means accordingly syntonic comma sharp and flat a Pythagorean note pitch. For 53EDO Δι,:4D[81/80]m4t denoted here by > and ιΔ,:M4T[80/81]4d — by <
7	03LJI	Πυ,:12D19t υΠ,:19T12d	↔ ↔	531441 524288	/ /	524288 531441	→ →	23,460010 -23,460010	Πυ, after Πυθαγόρας, or υΠ, from ςαρογαθυΠ, means accordingly ditonic comma sharp and flat a Pythagorean note pitch. For 53EDO Πυ,:12D[531441/524288]19t denoted here by > and υΠ,:19T[524288/531441]12d — by <
8	07LJI	Αρ,:6Tq2d ρΑ,:Q2D6t	↔ ↔	64 63	/ /	63 64	→ →	27,264092 -27,264092	Αρ, after Αρχύτας, and ρΑ, from ςατυχρΑ, means accordingly septimal comma sharp and flat a Pythagorean note pitch. For 53EDO Αρ,:6T[64/63]q2d denoted here by <‡ and ρΑ,:Q2D[63/64]6t — by >J
9	29LJI	εν,:W2D8t νε,:8Tw2d	↔ ↔	261 256	/ /	256 261	→ →	33,487196 -33,487196	εν, from είκοσι ένατη, and νε, from ητανε ισοκιε, means accordingly vicesimononal comma sharp and flat a Pythagorean note pitch. For 53EDO εν,:W2D[261/256]z denoted here by <‡ and νε,:8T[256/261]w2d — by >J
10	47LJI	σε,:D4Ts47 εσ,:S47d4t	↔ ↔	48 47	/ /	47 48	→ →	36,448379 -36,448379	σε, from τεσσαρακοστή έβδομη, and εσ, from ημοδβε ητσοκαρασσετ, means accordingly quadracesoseptimal comma sharp and flat a Pythagorean note pitch. For 53EDO σε,:D4T[48/47]s47 denoted here by =‡ and εσ,:S47[47/48]d4t — by =J
11	37LJI	το,:S372d2t οτ,:2D2Ts37	↔ ↔	37 36	/ /	36 37	→ →	47,434037 -47,434037	το, from τριακοστή έβδομη, and οτ, from ημοδβε ητσοκαιρτ, means accordingly tricesoseptimal comma sharp and flat a Pythagorean note pitch. For 53EDO το,:S37[37/36]2d2t denoted here by =‡ and οτ,:2D2T[36/37]s37 — by =J
12	11LJI	Φα,:ND5t αΦ,:5Tnd	↔ ↔	33 32	/ /	32 33	→ →	53,272943 -53,272943	Φα, after αλ-Φαράμπι, and αΦ, from ιπμαραΦ, means accordingly undecimal comma sharp and flat a Pythagorean note pitch. For 53EDO Φα,:ND[33/32]5t denoted here by =‡ and αΦ,:5T[32/33]nd — by =J
13	31LJI	τε,:5Tz ετ,:Z5t	↔ ↔	32 31	/ /	31 32	→ →	54,964428 -54,964428	τε, from τριάντα ένα, and ετ, from ανε ατναιρτ, means accordingly tricesoprimal diesis sharp and flat a Pythagorean note pitch. For 53EDO τε,:5T[32/31]z denoted here by =‡ and ετ,:Z[31/32]5t — by =J
14	13LJI	ρι,:3Drt ιρ,:RT3d	↔ ↔	27 26	/ /	26 27	→ →	65,337341 -65,337341	ρι, from Δεκατρία, and ιρ, from αιρτακεΔ, means accordingly tridecimal comma sharp and flat a Pythagorean note pitch. For 53EDO ρι,:3D[27/26]rt denoted here by >‡ and ιρ,:RT[26/27]3d — by <J
15			↔ ↔		/ /		→ →

Имена комм согласованы со списком интервалов Фонда Гюйгенса-Фоккера.

http://www.huygens-fokker.org/docs/intervals.html

[combinare]

Интересуюсь не всякой музыкой и верю: приятная (удобная для восприятия) музыка обязательно имеет те или иные интерпретации в системе ЧИ.
Точная равноделимость звуковысотных интервалов не предусмотрена природой, но оказалась необходимой для музыкальных инструментов и музыкальной теории.

Теперь становится несомненным, особенно в процессе оживлённого взаимодействия разных музыкальных культур, что 12 равных делений в октаве мало, а человека, играющего на клавиатуре системы 1200РДО, трудно представить.

Он сможет выделять в октавах все желаемые лады, кроме неестественных строго симметричных, там невозможных. Не думаю, что этот исполнитель и его слушатели будут страдать от того, что невозможно играть и слушать иррацональных 600 центов [2^1/2], но возможно их аппроксимировать рациональными:

	:MTq	~	617	~ 10/7
	:S37rt	~	611	~~~~ 37/26
	:6Tm2d	~	610	~~~~~ 64/45
	:3Du	~	608	~~~ 27/19
	:N2Tz	~	606	~~~~ 44/31
	:Pd2t	~	603	~~ 17/12
	:WTs41	~	601	~~~~~ 58/41
			600
	:S41w	~	599	~~~~ 41/29
	:D3Tp	~	597	~~~ 24/17
	:Znt	~	594	~~~~ 31/22
	:UT3d	~	592	~~~~~ 38/27
	:M2D5t	~	590	~~~~~~ 45/32
	:R2Ts37	~	589	~~~~~~~52/37
	:Qm	~	583	~ 7/5

Стоит обратить внимание: в долгой и богатой истории западной музыкальной письменности всё ещё нет ноты, взаимно-однозначно отображающей именно 600 центов [21/2]. Возможность взаимно-однозначно отображать нотами 583 цента [7/5] и 617 центов [10/7] ввёл Тартини в XVIII веке. Иррациональные лады пока нельзя записать обычными западными нотами; их рациональные интерпретации — можно и давно.

среди систем с небольшим РДО 600 центов отлично приближаются:
14 ступень 29 РДО ~ 600,340 центов !
22 ступень 47 РДО ~ 599,730 центов !!
18 ступень 38 РДО ~ 599,962 цента !!!

http://equal.meteor.com/

[commator]

среди систем с небольшим РДО 600 центов отлично приближаются:
14 ступень 29 РДО ~ 600,340 центов !
22 ступень 47 РДО ~ 599,730 центов !!
18 ступень 38 РДО ~ 599,962 цента !!!

http://equal.meteor.com/

В 12РДО, например, 600 центов не приближается, а существует в точности и это сводит к нулю практически всю энгармоническую составляющую музыки.

Природа не делит интервалы точно пополам, поэтому более естественны темперации, где интервалы делить на две равные части если и возможно, то не самые употребительные.


PS:

Здесь

18 ступень 38 РДО ~ 599,962 цента !!!

ошибка.

У меня получается 18*1200/38 = 568,421

[commator]

Вопрос из другого обсуждения:

есть два массива:

обертоны: ["Ф", "T", "D", "2T", "M", "DT", "Q", "3T"]
и
унтертоны: ["ф", "t", "d", "2t", "m", "dt", "q", "3t"]

дополните, что не хватает.

Надо подумать, как отвечать.

[commator]

Вопрос из другого обсуждения:

есть два массива:

обертоны: ["Ф", "T", "D", "2T", "M", "DT", "Q", "3T"]
и
унтертоны: ["ф", "t", "d", "2t", "m", "dt", "q", "3t"]

дополните, что не хватает.

Надо подумать, как отвечать.

На этот вопрос нельзя ответить коротко, а ответ надлежащей длины не написать в один присест.

Буду отвечать порциями и в процессе диалога, если таковой будет поддержан.

В действительности есть одно множество символов для простых сонантов, где подмножество первых четырёх элементов есть {T, D, M, Q}.

Как известно у всякого множества есть ещё один неявный, несобственный и неудаляемый элемент ∅, который оказывается явным во время отсутствия всех прочих элементов некоторого множества.

Например: если убрать все удаляемые элементы из множества первых четырёх символов для простых сонантов {T, D, M, Q}, получится пустое множество {∅}, притом ∅ не является символом для простого сонанта, хотя неявно присутствует во множестве символов для простых сонантов, как и в любом ином множестве cимволов для сонантов, или каких-то других элементов.

Требуйте разъяснения, если что-то не понятно.

​

а я добавил символы перечёркнутых О и о

​

"&#216;" <...> "&#248;"

А я научился их на этом Форуме писать:

:∅[1/1]∅⇔ оригинант суборигинанта ∨ 1-й обертон 1-го унтертона