Физика красивого звука у музыкального инструмента

[amateur_musician]

Да не столько я хотел блеснуть, тема эта неплохо изученная, так что открытий здесь больших на моем уровне владения вопросом не сделать. Скорее, хотел пообсуждать интересную, в общем-то, тему и узнать в ней что-то новое, поделиться своими соображениями, послушать, что другие люди скажут. Но лишний раз убеждаюсь, что ничего путного и действительно ценного на этом форуме не узнать, в основном тут все норовят позлословить да опустить собеседника.

Теперь по сути вопроса.
На счет обертонового состава, атаки, характера затухания и пр. - все это давно известно и стало притчей во языцех. Если в той книжке, которую вы мне рекомендуете, в основном такие азбучные истины излагаются, то читать лично мне это не очень интересно.

Некоторое время назад, я так и считал, что тембр звука в основном от этих составляющих зависит, и что, подобрав гармоники, можно очень неплохо в первом приближении синтезировать звук музыкального инструмента. Написал я простенькую и не очень удобную прогу на C, которая позволяла по заданной в числовом виде таблице синтезировать звуковой сигнал чистого тона длительностью в десять секунд. Таблица содержала частоту сигнала, громкость его в виде целого числа соответствующего диапазона, амплитуды гармоник и их фазы. Последние, как оказалось, не очень нужны, так как человеческое ухо, как я увидел, их не различает. Все-таки, я их оставил, что-бы все синусоиды не начинались из одной точки. Звук оказался очень неважный, что-то вроде гудка в телефонной линии. Изменение обертонового состава приводило к изменению особенностей звучания образца: звук становился то мягким, то резким, то пронзительным или гнусавым, то более спокойным и открытым. Но основная его черта сохранялось: звук оставался гудком как в телефоне или в заставке телевизора по окончании эфира. При этом звук получался какой-то нечистый, нечеткий, совершенно необъемный, какой-то неживой. После некоторых раздумий и просмотра на графике нескольких звуковых файлов я пришел к выводу, что не в одних обертонах дело. Что только лишь складывая синусы, сколько бы их ни было, хороших результатов не получишь.

А дело здесь вот в чем. Насколько я догадываюсь, любой настоящий природный сигнал кроме того, что он содержит сумму основной частоты и кратных ей гармоник, промодулирован какой-то другой функцией. Эта функция мало изменяет свое значения на промежутках времени, сравнимых с периодом сигнала, зато на больших масштабах ее изменение заметно. На графике должны быть видны всплески и провалы амплитуды звукового сигнала. С другой стороны интервалы времени, на которых эта модулирующая функция меняет свои значения, должны быть достаточно малы, чтобы не быть различимы ухом, как усиление и ослабление звука, так что это не атака. Далее, у меня есть предположение, что не только весь сигнал в целом, но и каждая из его Фурье-составляющих, включая как основной тон, так и гармоники, промодулирована аналогичным образом своей функцией. Регулярны ли эти модулирующие функции или достаточно произвольны, случайны (если они, конечно, есть) - не знаю. Естественно также предположить, что основная частота и ее гармоники взаимодействуют между собой, так что значение каждой из составляющих спектра в данный момент времени влияет на изменение амплитуд других его частот. Получается, если это предположить, что наш сигнал представляет собой систему динамически взаимодействующих между собой мод.

Этим всем, согласно моему предположению, и отличается природный звук от простейшего синтезированного. Более того, смею предположить, что эта особенность и придает звуку глубину и чистоту. Звук, полученный как сумма членов ряда Фурье, с математической точки зрения идеально чистый. Да только на слух он отнюдь не воспринимается таким. Более того, уверен, что красота звука музыкального инструмента отнюдь не определяется числом обертонов. Пианино может быть очень звонким (что и означает большое количество обертонов), но при этом напрочь лишенным красивости звучания, тембр его будет тупой. А может быть и немножко тускловатым, но намного богаче по звуку первого. Так что обертоновый состав и инструмента экстра-класса, и убогого инструмента может приблизительно и совпасть.

To Parfen
На счет возможности синтезировать скрипку чисто суммированием сигнусоид - сильно сомневаюсь. Как-то пришлось мне поиграть в музыкальном магазине на дешевеньком Casio. Был там скрипичный тембр. Так он не то, что бы был плох, а просто мало походил на скрипку, ее нельзя было практически узнать. То, что просуммировать достаточное число синусоид в реальном времени сможет любое современное вычислительное устройство - не сомневаюсь. Так что там или был плохой сэмпл или же применялся слишком простой алгоритм синтеза, наподобие вышеуказанного. Упомянул я скрипку в связи с тем, что в ней описанный мной принцип должен проявляться наиболее ярко и отчетливо, как ни в каком другом инструменте из-за механики взаимодействия струны со смычком.

Если считаете, что высказанная мной идея - чушь, напишите, только обоснуйте. Если же все это соответствует действительности и давно известно - тоже напишите. Будет интересно. А то я очень много времени потратил, чтобы набрать это "послание".

[Aybolit]

<много букв>

Хочу добавить, что в принципе любой сигнал, конечно, можно представить в виде суммы гармонических осцилляторов, модулированных гармоническим же сигналом, но длина этого ряда будет слишком большая, и самое смешное, что он уже начинает подчиняться законам не столько гармонии, сколько хаоса. Не в философском, а в математическом смысле.
Да, так чтобы не представлять себе бесконечные ряды осцилляторов, скрывающиеся за горизонтом, и у каждого свой модулятор, очень полезно выделить шумовую компоненту, как некоторое подмножество осцилляторов, и её уже амплитудно модулировать. А потом полученное подмешивать к основным синусоидальным тонам. Или все сложить, а потом модулировать.
Существует еще и псевдослучайная компонента - не забываем, что в акустической коробке-резонаторе звук мечется, как стальной шарик в детском бильярде, т.е. закономерность, конечно существует, но она слишком сложна для моделирования.
К сожалению, современные имитаторы акустических инструментов потому и звучат бездушно, что не учитывают ни хаотичность, ни стохастичность реального звука.

[Швейк]

К сожалению, современные имитаторы акустических инструментов потому и звучат бездушно, что не учитывают ни хаотичность, ни стохастичность реального звука.

Угу, и, кроме того, нередко звуковые тракты, имеющие прекрасные характеристики на стационарных сигналах, искажают статистические характеристики псевдошумовых (музыкальных), как имеет место быть с дельтасигма ЦАП-АЦП преобразователями.

[Aybolit]

...как имеет место быть с дельтасигма ЦАП-АЦП преобразователями.

С этого места поподробней, пожалуйста!
Я немножко отстал от прогресса, не очень представляю что именно и как они искажают.
Только, коллега, нас могут читать женщины и студенты музыкальных вузов, пожалуйста, без формул, попроще

[avg]

...ничего путного и действительно ценного на этом форуме не узнать, в основном тут все норовят позлословить да опустить собеседника.

Я хочу кое-что Вам сказать, только вот жаль, что Вы свое обращение начали таким образом. Или спрашивать, или ругаться!

Некоторое время назад, я так и считал, что тембр звука в основном от этих составляющих зависит, и что, подобрав гармоники, можно очень неплохо в первом приближении синтезировать звук музыкального инструмента. Написал я простенькую и не очень удобную прогу на C, которая позволяла по заданной в числовом виде таблице синтезировать звуковой сигнал чистого тона длительностью в десять секунд. Таблица содержала частоту сигнала, громкость его в виде целого числа соответствующего диапазона, амплитуды гармоник и их фазы. Последние, как оказалось, не очень нужны, так как человеческое ухо, как я увидел, их не различает.

Вы вводите таблицу -- это, скорее всего, слишком грубо. Как Вы ее готовите? Ведь просто подобрать частоты и амплитуды (а громкость гармоники -- просто эквивалент амплитуде), воспроизводящих "живой" звук -- дело нереальное, слишком много величин тут можно варьировать.

...Что только лишь складывая синусы, сколько бы их ни было, хороших результатов не получишь.

Насколько я догадываюсь, любой настоящий природный сигнал кроме того, что он содержит сумму основной частоты и кратных ей гармоник, промодулирован какой-то другой функцией.

Да, безусловно, он может быть промодулирован. Но фокус в том, что, как ни модулируй, в ряд Фурье полученный сигнал все равно можно будет разложить. Только спектр при наличии всех этих модуляций будет усложняться и усложняться, и разобраться в нем будет безумно трудно.

Больше того, самый обычный механизм возникновения модуляции -- это наложение разных гармоник. Это особенно заметно, если частоты гармоник несоизмеримы -- находятся в иррациональном отношении (или в отношении, близком к иррациональному). Ведь возникающие при этом биения -- это и есть модуляция вроде той, о которой Вы говорите. Темперированный строй как раз тем и интересен, что там нет чистых интервалов -- всё сплошь иррациональные отношения. Вот Вам и модуляция.

Естественно также предположить, что основная частота и ее гармоники взаимодействуют между собой, так что значение каждой из составляющих спектра в данный момент времени влияет на изменение амплитуд других его частот. Получается, если это предположить, что наш сигнал представляет собой систему динамически взаимодействующих между собой мод.

Вообще говоря, взаимодействовать они, конечно, могут. Но для этого нужны особые свойства тех механических (то бишь акустических) систем, в которых создаются колебания. Не вдаваясь в детали, скажу, что "нормальные" резонаторы музыкальных инструментах вряд ли этими свойствами обладают.

Так что обертоновый состав и инструмента экстра-класса, и убогого инструмента может приблизительно и совпасть.

Вот-вот, лишь приблизительно! А еле заметная разница может привести совсем к другому восприятию звука.

To Parfen
На счет возможности синтезировать скрипку чисто суммированием сигнусоид - сильно сомневаюсь. Как-то пришлось мне поиграть в музыкальном магазине на дешевеньком Casio. Был там скрипичный тембр. Так он не то, что бы был плох, а просто мало походил на скрипку, ее нельзя было практически узнать. То, что просуммировать достаточное число синусоид в реальном времени сможет любое современное вычислительное устройство - не сомневаюсь. Так что там или был плохой сэмпл или же применялся слишком простой алгоритм синтеза, наподобие вышеуказанного. Упомянул я скрипку в связи с тем, что в ней описанный мной принцип должен проявляться наиболее ярко и отчетливо, как ни в каком другом инструменте из-за механики взаимодействия струны со смычком.

Ну, значит, просто Вы увидели, что до совершенства электронным инструментам (особенно дешевым) еще далеко. Уж слишком приблизительно моделируют они спектр хороших механических инструментов.

[Дмитрий2008]

дельтасигма ЦАП-АЦП

Рекомендую за разъяснениями обратиться в фирму АКМ, изготавливающую устройства такого типа, которые используют многие фирмы: m-audio, behringer, creative...
Метод SDM был разработан еще в 60-е годы. И не устарел по сей день. Он положен в основу стандарта SACD, разработанного в 1997г. Все очень просто. См. ниже...
http://inform-hifi.narod.ru/cd.htm

[Aybolit]

Рекомендую за разъяснениями обратиться в фирму АКМ, изготавливающую устройства такого типа, которые используют многие фирмы: m-audio, behringer, creative...
Метод SDM был разработан еще в 60-е годы. И не устарел по сей день. Он положен в основу стандарта SACD, разработанного в 1997г. Все очень просто. См. ниже...
http://inform-hifi.narod.ru/cd.htm

Дякую добродию, але дид я старий, бачу вже погано, багато букв не розумию

А я вот что думаю.. почему на основе той же CD-R болванки не придумали способ не цифровой, а именно аналоговой записи, чтобы вместо иголки был лазерный луч, без всякой дельта-сигма модуляции, а чисто амплитудная модуляция... наверное, это из области фантастики? Но как были бы счастливы любители vintage звука... Физики, что скажете?

[amateur_musician]

To Aybolit
Несколько уточнений.
Возможно, форум классической музыки и не лучшее место для обсуждения математических вопросов, но, думаю, данный раздел вполне это позволяет. Тем более, что поднятая мной тема как раз и посвящена связи тембра звука с математикой.

Теперь по порядку.
В принципе любой бесконечный сигнал разумной формы можно представить в виде интеграла Фурье, т.е. бесконечного и, что важно, непрерывного набора осцилляторов. Любой же ограниченный временными рамками сигнал представляется в виде ряда Фурье, т.е. бесконечного, но дискретного набора гармонических осцилляторов с частотой каждого кратной частоте самого низшего из них. При этом никакой модуляции каждого из этих осцилляторов гармонической или какой-либо иной функцией делать нам не надо - обычных синусов - косинусов или Эйлеровских мнимых экспонент нам вполне достаточно. Эта форма представления очень полезна, но она слишком общая и глобальная, так что очень часто она мало что может сказать о свойствах изучаемой функции, очень часто меньше, чем само исходное представление. Получается тот самый хаос информации, о котором Вы писали.
На счет возможности представления любого сигнала, не ограниченного временными рамками (у которого аргумент - вся временная ось), рядом из гармонических функций, каждая из которых промодулирована аналогичным набором гармонических функций, сильно сомневаюсь - тут без интеграла, думаю, не обойтись. Но тогда, как я писал, модуляция уже не нужна.

Вопрос же я ставил гораздо уже. Я вел речь о том, как можно представить математически сигнал одной ноты от хорошего инструмента и чем отличается в этом смысле звук благородного инструмента от убогого гудка, полученного в результате смешения синусоид со строго кратными частотами. То есть, речь идет об описании квазипериодического сигнала с хорошо выраженным основным тоном и обертонами, а не о представлении любого сигнала вообще.

В принципе, любой подобный сигнал достаточно большой длительности можно рассматривать с точки зрения интеграла Фурье (или ряда с малым интервалом между частотами). На спектрограмме такого сигнала вместо набора бесконечно тонких линий (дельта-функций) можно будет увидеть ряд тонких полосок, имеющих, вероятно либо форму колокола (гауссиан), либо тонкого острого зубца. Каждая узкая, но конечная полоска и есть гармоника. Но такая форма представления мало что может нам сказать о временном поведении функции.

Поэтому я и предложил сохранить дискретные гармоники в виде обычных чистых синусов, кратных частоте основного тона, в качестве первого приближения, как строительные кирпичики нашего дальнейшего рассмотрения. А дальше, в следующем приближении рассмотреть поведение этих гармоник, в частности вопрос временного изменения их амплитуд, то есть их модуляции. То, что такие модуляции имеют место и что они очень заметны, у меня есть некоторая уверенность. Основанная как на раздумьях об эмпирически наблюдаемых свойствах звука, так и на чисто физических представлениях о свойствах сложных колебательных систем. Остановлюсь на последних немного.

Многим хорошо известен почти школьный пример из физики, в котором рассматривается система двух одинаковых маятников, связанных между собой слабой пружинкой. Эти маятники вместо того, чтобы колебаться с постоянной интенсивностью, изменяют свою амплитуду от A до -A. Изменения амплитуд колебаний обоих маятников происходит в противофазе, причем периодически один из маятников простаивает, практически не колеблется, в то время как второй раскачивается в полную силу. Как говорят, происходит непрерывное перекачивание энергии от одного маятника к другому и наоборот. Колебания каждого из этих маятников промудулированы гармонической функцией - синусом или косинусом, частота которого мала по сравнению с частотой самих маятников.

Мне почему-то кажется, что система струна-резонатор аналогична этой системе двух маятников. В ней струна аналогична первому из маятников, резонатор - второму, плюс того имеется слабая связь между этими двумя системами благодаря взаимодействию струны с воздухом. Правильнее было бы, наверное, говорить не о двух осцилляторах со слабой связью, а скорее о двух группах осцилляторов, подразумевая под первой группой все моды струны, а под второй - все моды резонатора. Думаю, после возбуждения колебаний в струне между струной и объемом воздуха в резонаторе начнется примерно такой же процесс, как в системе двух описанных выше маятников. То есть вместо установления устойчивых колебаний в обеих системах начнутся какие-то модуляции. Не случайно резонатор, установленный вблизи какого-то источника звука и настроенный на него, не только усиливает звук (ну усиления как такового, думаю, не происходит, речь, скорее всего, идет об ускоренном снятии возбуждения с источника), но и как-то облагораживает его, делает полнее и рельефнее. При этом обертоновый состав звука он может и очень сильно исказить.

При этом, как мне кажется, модулироваться будет не сигнал в целом, а каждая его гармоника по-отдельности, поскольку осцилляторами с физической точки зрения являются не струна и резонатор в целом, а их моды, собственные колебания. Не думаю, что модулятором будет в этом случае синусоида. Слишком сложная система, плюс того с потерями. Возможно, это будет какая-то достаточно сложная функция, не очень регулярная, совершающая свои осцилляции вокруг среднего значения амплитуды, имеющая свои выбросы и провалы, но никогда не подходящая близко к 0.

Будут ли взаимодействовать гармоники между собой, не знаю. Такое взаимодействие означало бы существенную нелинейность нашей звуковой системы. Велика ли она и оказывает ли большое влияние на звук, тоже сказать не могу.

Да, так чтобы не представлять себе бесконечные ряды осцилляторов, скрывающиеся за горизонтом, и у каждого свой модулятор, очень полезно выделить шумовую компоненту, как некоторое подмножество осцилляторов, и её уже амплитудно модулировать. А потом полученное подмешивать к основным синусоидальным тонам. Или все сложить, а потом модулировать.

Позвольте с Вами не согласиться. Шумовая составляющая звука музыкального инструмента - важная вещь для получения правдоподобной его имитации. Правда, это уже эффект следующего порядка малости по сравнению с возможным вышеописанным. Более того, в хорошей модели он может получиться сам по себе. Если же сгенерировать шум нашей системы, а потом к нему прибавить набор чистых синусов, ничего хорошего, скорее всего, мы не получим. Просто мы получим звуковую грязь, более или менее заметную, а на ее фоне тот же гудок, тусклый, поверхностный и нечистый. Почему я считаю предпочтительнее модулировать каждую Фурье-компоненту по-отдельности, а не весь сигнал в целом, уже писал.

Ну и в заключение формула, иллюстрирующая все сказанное.

P.S.
Никаких открытий делать не собирался, Нобелевскую премию получать за это тоже не хочу, просто хотел поделиться с людьми своими соображениями и мыслями. Больше всего хотел узнать, соответствует моя догадка истине или нет. Думаю, вещи эти неплохо изучены, так что ответ должен быть однозначный - либо да, либо нет. Вопрос весь в том, есть ли на форуме такие специалисты по аккустике и что они скажут.
Так что жду с нетерпением Ваших ответов, Господа.

[Швейк]

Рекомендую за разъяснениями обратиться в фирму АКМ, изготавливающую устройства такого типа, которые используют многие фирмы: m-audio, behringer, creative...
Метод SDM был разработан еще в 60-е годы. И не устарел по сей день. Он положен в основу стандарта SACD, разработанного в 1997г. Все очень просто. См. ниже...
http://inform-hifi.narod.ru/cd.htm

Так именно оттуда : "Одноразрядный АЦП является источником шума квантования высокого уровня, спектр которого для упрощения вычислений обычно считают равномерно распределенным вдоль оси частот - белым шумом (на самом деле он таковым не является - из-за нелинейности квантователя, охваченного петлей обратной связи)."
В том то и дело, что принципиальная петля обратной связи в дельта-сигма ЦАП/АЦП и приводит к тем самым искажениям. То, что "для упрощения вычислений обычно считают" - это полная фигня. На самом деле, принципиальное наличие петли обратной связи приводит к нарушению монотонности шкалы преобразования. (каждому значению входного кода ЦАП должно соответствовать только одно (!) значение выходного тока или напряжения, независимо от предыстории сигнала).
"... . Это очень существенный момент, ибо немонотонность шкалы приводит к нарушению статистических характеристик исходного сигнала, изменяя распределение энергетического и фазового спектров случайных и псевдослучайных сигналов." (c) Д. Андронников (Lynx)

[Швейк]

To Aybolit
В принципе любой бесконечный сигнал разумной формы можно представить в виде интеграла Фурье, т.е. бесконечного и, что важно, непрерывного набора осцилляторов. Любой же ограниченный временными рамками сигнал представляется в виде ряда Фурье, т.е. бесконечного, но дискретного набора гармонических осцилляторов с частотой каждого кратной частоте самого низшего из них.

Кстати, представляется, что в случае музыкального сигнала (как, в прочем и во многих других), гораздо более продуктивным вляется не Фурье, а т.н. вейвлет анализ.