Об "Установлениях гармонии" Дж. Царлино (по статье на kholopov.ru)

[Zub01]

2. Мне как-то показалось, что жало Вашей критики переметнулось с "нелепицы Холопова" на само учение Царлино. Вчитавшись во фразу из Царлино, на которую опирается Царлино, я охотно признаю, что в самом деле она не может быть истолкована "математически" в том высоком смысле этого слова, который Вы безусловно представляете.

Как раз нет (извините, если я был понят именно так). Авторы статьи (так же как и сам Ю.Н. в "серой" гармонии) начинает примерно с того тезиса, что Риман был неправ, а научное объяснение на самом деле имеется уже у Царлино. Я не могу это понять иначе чем то, что "научность" здесь понимается более или менее в современном смысле (раз упомянут Риман), а этого не получается, о чем я и писал. С точки зрения "обоснований тех времен" могло быть и другое. Ср., например что-то вроде доказательства-обоснования Филолая, как оно изложено у Боэция - то пресловутое место, как Филолай делит тон, где 27, 9, 3 - первые нечетные линейные, квадратные, кубические числа и т.п., - уверен, отлично помните . Это можно принять как обоснование - но обоснование в пифагореском духе, апеллирующее к "полумистическим", "эстетическим" свойствам чисел и т.п. И опять же, Царлино (я могу судить только по картинкам, конечно), пишет о пропорциях, рисует даже геометрический чертеж с отсылкой к Евклиду, возможно (я не понимаю текст ), это относится к обоснованию "общей естественности" "нового" отношения 5:4 и т.п., чтобы его включить в "общую структуру" юридически-описательно, что ли. Но это не может быть "научным обоснованием" в "современном понимании" (или, по кр. мере, так и не раскрыто авторами статьи).

Т.е. другими словами, я критикую не Царлино, а именно изложение авторов статьи. Царлино "внутри себя" наверняка вполне самодостаточен.

Ну ладно. А вообще, если кто знает хорошо итальянский (Фугетта?) то можно ли попросить перевести для начала просто III, 31 целиком (не заботясь о "литературности", но лишь о точности). Либо - если это есть в доступе у кого-нибудь - привести соответствующий англ. перевод. Хотелось бы понять контекст фразы "арифметическая пропорция несколько удаляется от совершенства гармонии"; мне кажется, это достаточно интересно, заодно попробуем прояснить вопрос, насколько обосновано - по тексту Царлино - заявление авторов, которое Вы привели - об эстетической иерархии видов пропорций

....о которой в статье сообщается, как о состоявшемся и давно известном "у древних" факте: "...гармоническая пропорция, по представлениям Царлино и древних, которым он следует, совершеннее, чем арифметическая".

[Zub01]

Я вот это написал:

Возможности подробнее пересказывать смысл замечаний Рамо (к Царлино) у меня нет - см. "Трактат"

Все же, подумав, скажу, что кратко их пересказать можно. Может быть, читателям вообще будет интересна довольно оригинальная точка зрения Рамо (тем, кто не читал его "Трактат").

У Рамо числовые отношения интервалов обозначаются, начиная с меньших чисел, причем меньшее число соответствует более низкому звуку. Напр. 4:5 - ч. б. терциия, 2:3 - квинта и т.п. При такой системе обозначений, "мажорное трезвучие" выражается арифметической пропорцией 4:5:6 (5 - среднее арифметическое 4 и 6). Могло бы показаться, что эти отношения выражают отношения частот звуков (говоря "по- современному") - и наверняка именно так бы мы и сказали, не особо задумываясь. Однако это не так: для Рамо эти числа - это доли некоторой исходной струны (выполняющей роль, так сказать, монады). Т.е., например 4:5 - это интервал, образующийся между 4-й долей струны (более низкий звук) и 5-й (более высокий звук). Для него важно, что все интервалы производятся именно "долями" исходной струны.

При этом можно было бы сказать, что фактически он как бы оперирует "частотами" (они же как раз пропорциональны величинам, обратным длинам струн), но на самом деле он пишет, что не хочет следовать методике Мерсенна как необоснованно сложной (Мерсенн говорил о частотах - в терминах колебаний давления воздуха) и называет свой метод именно "методом деления струны" - в противоположность "методу умножения струны", который необходим при интерпретации отношений интервалов типа 5:4 как отношений длин струн (где большее число соответствует более длинной струне). Вообще, мне это показалось крайне оригинальным - так ловко избежать понятия частоты, но вместе с тем довольно логично остаться в "обратных" величинах струн .

В этом примерно и суть "претензии" к Царлино - дескать, тот вынужден для выражения интервалов все время "менять длину струны" (применять "метод умножения единичной струны"). А это сложно еще и ввиду физических особенностей (натяжение, толщина и т.п.). Для Рамо же важно сохранить "основную порождающую струну", унисон, единицу-монаду 1:1, из которой все и рождается. А Царлино, по его словам, начинает правильно (от "единицы", от "унисона"), делает Senario, а дальше сам себе начинает противоречить, и все запутывать, меняя длину струны. И, попутно, Царлино вынужден из-за этого оперировать с крайне неудобной пропорцией, которая называется "гармонической".

Тон критики там довольно резкий .

Вот так, если кому интересно. Думаю, "в целом на пальцах" я все верно изложил по памяти. Очень надеюсь, что не облажался .

[Olorulus]

Вчитавшись во фразу из Царлино, на которую опирается Холопов, я охотно признаю, что в самом деле она не может быть истолкована "математически" в том ослепительно высоком смысле слова, который Вы безусловно представляете. Конечно, что значит "слегка удаляется от совершенства гармонии"... может, вовсе и не гармоническая пропорция имеется в виду, а Гармония в философском смысле этого слова... Кроме того, в трактате Царлино есть особые главы о пропорциях (allgemeines Gut старой гармоники), по главе на пропорцию...

Увязывание Гармонии (с прописной буквы) и гармонической пропорции (в традиционном смысле) все-таки существует у самого Царлино. И не только в III.31. Может быть, эта увязка достойна эпитетов "схоластическая", "символическая" или там "мистическая", не знаю... может быть, это вовсе никакое не "математическое обоснование" - наверное, Вам виднее.

Но мне важно (и, конечно, студентам, изучающим Царлино как важную фазу в истории гармонии), что эта увязка - не выдумка лично Холопова, а констатация факта оригинальной муз. теории.

Поправка неточностей всегда приветствуется! Но обзываться "нелепицей" нечего - это Вы зря...

***

Вот главы "Основ гармоники", которые мне удалось повнимательней посмотреть:

I.35. Del Partire, o Diuidere le proportione; et quello che sia Proportionalitа
I.36. Della Proportionalitа, o Diuisione arithmetica
I.37. Della Diuisione, o Proportionalitа geometrica
I.38. In qual modo si possa cauare la Radice quadrata da i numeri
I.39. Della diuisione, ouero Proportionalitа harmonica

В гл. 35-38 я ничего музыкально-эстетического не нашел. Обычный тривиальный материал о пропорциях, близкий пифагорейскому. А вот в 39-й кое-что по теме нашлось. (Читать больше и дальше не было времени, может, есть где в трактате и еще...)

Вот фрагмент главы I.39 "О гармоническом делении, или о гармонической пропорции"

[LA DIVISIONE, ouero Proportionalitа harmonica si fa, quando tra i termini di alcuna proportione si hа collocato vn Diuisore in tal maniera, che oltra le conditioni toccate nel capitolo 35. tra i termini maggiori si ritrouino le proportioni maggiori, et tra li minori le minori:]

propietа che solamente si ritroua in questa proportionalitа; la quale и detta propiamente Mediocritа: imperoche ne i suoni, la chorda mezana di tre chorde tirate sotto la ragione delli suoi termini, partorisce con le sue estreme chorde quel soaue concento, detto Harmonia. Onde Pietro d' Abano, commentatore de i Problemi di Aristotele molto ben disse, che Il mezo и quello, che genera l' harmonia.

...это свойство присуще только данной пропорции; она по существу называется Серединой, потому что в звуках средняя струна из трех струн, натянутых в [данном] отношении членов, рождает с крайними струнами то сладостное созвучие, которые называется Гармонией. Вот и Петр из Абано (ca.1250-ca.1316 - Olorulus), комментатор трактата "Проблемы" Аристотеля, очень хорошо сказал, что середина (= меса) — это то, что рождает гармонию.

Экскурс

В "Проблемах" Пс.-Аристотеля (4.27):

Когда люди в древние времена создавали гармонии, почему они оставили гипату [средних], а не нету [отделенных]? Разве они не изъяли нету [отделенных], а струну переименовали в парамесу и [отстоящую на] интервал тона? Они использовали месу как последнюю струну пикнона вверху [тетрахорда], которую они потому и назвали месой. Или потому что меса приходилась на окончание верхнего тетрахорда и на начало нижнего, и она по высоте находилась в отношении среднего между двумя крайними членами [пропорции]?

Мое толкование: Пс.-Аристотель (насколько можно понять из довольно темного 4.27) говорит о среднем положении месы в соединенной системе, об объединении тетрахордов средних и соединенных (грубо: e-a + a-d1) посредством общей для обоих тетрахордов ступени, в функции которой выступала меса. Эта же меса - геометрическое среднее (скажем, в целых числах как 9:12:16). Под "гармонией" подразумевается у Пс.-Аристотеля, разумеется, вид октавы.

Царлино (м.б. на основе комментированного перевода Пьетро Абано) помещает античную проблематику в совершенно иной музыкальный и акустический контекст. Гармония у него вовсе не вид октавы, да и отношения другие (речь о большой и малой чистых терциях). Видимо, такое "перетолкование" античной мусикии было в духе времени.

***

Спасибо за то, что стимулировали меня заглянуть в источник, в который раньше не заглядывал.

[Zub01]

Увязывание Гармонии (с прописной буквы) и гармонической пропорции (в традиционном смысле) все-таки существует у самого Царлино.[...] может быть, это вовсе никакое не "математическое обоснование" [....] Но мне важно (и, конечно, студентам, изучающим Царлино как важную фазу в истории гармонии), что эта увязка - не выдумка лично Холопова, а констатация факта оригинальной муз. теории.

Пардоньте, минуточку-минуточку. А где светлоблещающиися ризы и уряжение коней? Где златоверхие полаты? Где строение сел любимых? Где сады и преграды? Где багряноносная порфира и венец царской, бисером и камением драгим устроен?, где "Риман изо всех сил отстаивал", "рассудку вопреки, наперекор стихиям", "адекватное научное объяснение не появилось", "в конце-концов несостоятельная", "самая верная теория оказывается была создана Царлино", "чисто научный в том смысле, что он совершенно математический, и в этом его общезначимость" и прочие столовые, долгие и безконечные пироги, и меды сладкие, и водка процеженая, с зеленым вином?

Крайне интересно было узнать, что, оказывается, во всем этом многошумящем широковещании о "несостоятельности Римана" и обнаруженной "оказывается самой-верности научности у Царлино" (которую никто не разглядел в течение почти 5 веков) надо ("важно") было извлечь всего-навсего некую "увязку". (Неужто музыков. статьи так и пишутся - тривиальные констатации облачаются в "багряноносные порфиры" - причем ровно затем, чтобы при чтении последние игнорировались? Трудно в это поверить...)

Против наличия "увязки" у Царлино спорить невозможно, конечно. Только если бы она была констатирована более содержательно: вот типа с цитированием того, что Вы привели в последнем посте. Напр., (это предположительно в качестве варианта, т.к. я Царлино не читал), сказать про констатацию от древних "божественной силы" арифметической (гармонической) пропорции, которая порождает из октавы кварту и квинту. И эта же сила, оказывается, порождает из квинты большую и малую терцию. Гармоническая (арифметическая) пропорция являет себя ("должна явить себя") в делении квинты так же, как в делении октавы. Тем самым дается своеобразное обоснование б. и м. терции. Можно привлечь сотв. цитаты из Аристотеля (Плутарх, "О музыке", 227 и далее), (псевдо)Аристотеля и самого Царлино - то, что Вы привели. и т.д. И более четко сказать (процитировать), какова была на самом деле логика Царлино, и также какую он усматривал связь (if any) с древними. Это было бы содержательнее, и нисколько не увеличило бы текст, если бы эти - действительно осмысленные - вопросы заменили собой красные речения про "рассудку вопреки, наперекор стихиям".

О происхождении пропорций и "порождающей силе" пропорции - по-русски см. у Ван дер Вардена. Забавно, что эту статью наши музыковеды как-то часто приводят в библиографиях, но нет ощущения, что её вообще кто-нибудь (из музыковедов) читал. А между тем интересующимся античной "математико-музыкальной" теорией я бы рекомендовал просто вызубрить её, поскольку она содержит информации и важных выводов на порядок больше, чем мегабайты различных писулек типа Герцмана. Впрочем, может быть, эта статья "не котируется" за употребление в русском переводе "паргипаты" и "энгармонического" через "г", ага (Лосева, кстати, туда же и за то же; в транскрипциях греческих терминов он ничего не понимал).

Кусочки из Ван дер Вардена, оказывается, есть в сети:
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/4/6.html

По этой ссылке есть фрагмент из Плутарха (Аристотеля?), как раз дополняющий приведенную Вами цитату про месу (за каковую Вам отдельное спасибо). В общем, получается что так, да: меса делит в геометрической пропорции пространство от неты соединенных до гипаты (вниз); но все-таки "сладостное созвучие" de facto надо отнести к случаю тетрахорда отделенных, т.е. нета (отделенных) - меса - гипата: сверху вниз, 12:8:6 (гармоническая пропорция).

Кстати, любопытно, что если это часть "совершенной" гармонии, то в этом случае внизу получается именно меньший интервал (кварта) - ср. тж., напр., у Аристоксена, толкующего о том, что меньшие интервалы должны находиться ниже. Затем, собственно, скорее всего и была введена гармоническая пропорция как "инверсная" к арифметической (см. у Ван дер Вардена по той же ссылке). Так что, возможно, с "точки зрения древних", по этой логике, "более совершенным" должно было бы быть "минорное трезвучие" (получаемое при делении квинты), т.к. именно в нем меньший интервал находится ниже. Если так, то "естественность гармонического слышания" во времена Царлино потребовала обратную точку зрения. А Рамо совсем однозначен в этом вопросе, и явно настаивает на том, что естественный порядок при делении октавы - внизу именно квинта, вверху кварта, при делении квинты - внизу б. терция, вверху малая (т.е. мажорное трезвучие).

Но обзываться "нелепицей" нечего - это Вы зря...

А что, "нелепица" - это какой-то "нестандартный (необщепринятый)" термин? Я всего лишь осваиваю принципы истинного музыковедения , каковые, пожалуй, потребовали бы на самом деле большего - например, начать говорить что-нибудь про "профессоров" и "докторов" в кавычках и с bold-выделением. Но тут у меня не получится, т.к. я знаком с другими трудами Ю.Н.Х., и поэтому не нахожусь в правильной позиции .

Ну ладно, в общем, выводы надо отложить до более полного прочтения Царлино. М. б. сподоблюсь - в прошлом году как раз был издан перевод III части на англ. с комментариями.

А так мне надо бы дописать давно обещанное объяснение деления октавы на 53 равных части в Микропрологосе. Кажется, я придумал, как музыкантам объяснить логарифмы - просто без них очень плохо как бы рассматривать подобные вопросы .

[Olorulus]

<пропуская ерничанье, пот. что это уже скучно>

Так что, возможно, с "точки зрения древних", по этой логике, "более совершенным" должно было бы быть "минорное трезвучие" (получаемое при делении квинты), т.к. именно в нем меньший интервал находится ниже. Если так, то "естественность гармонического слышания" во времена Царлино потребовала обратную точку зрения.

Понимаете ли, анализы самой музыки (а не теоретиков) 2-й пол. 16 и начала 17 в., показывают безусловное доминирование именно большого трезвучия. Разумеется, надо читать целиком и подряд и т.д., но мне думается, что не "с точки зрения древних", а по той замечательной причине, что Царлино был сам опытным музыкантом он "научно мотивировал" большое трезвучие как более совершенное.

[Sergeus]

Огромное вам спасибо уважаемый Zub01 за данную ссылку. Скачал всё, что там есть ( жаль последние два раздела ещё не набраны).

[Zub01]

<пропуская ерничанье, пот. что это уже скучно>

Не более скучно, чем так и висящие в интернете "доктора", "профессора" и "видные музыковеды" в кавычках, "необразованные аутентисты" (или как там было сказано), все так же таинственно "ме(мя)тущийся и не могущий остановиться на какой-то там темперации" Рамо и проч.

А нелепица (причём, как минимум, трижды писанная) остаётся нелепицей, даже если пытаться устраивать уводящие от неё разговоры о расстановке "верных акцентов" или "о том, что важно для студентов".

...Ну, или я Вас неправильно понял.

Да, по всей видимости, постоянно оказываясь в ситуации Фомы и Ерёмы, понятым здесь я не могу быть в принципе, поэтому с дальнейшим обсуждением именно указанного вопроса умолкну. (Может быть, если любопытство не спадет, на днях куплю книжку типа этой, и если да, то, может быть, её прочитаю, и потом, может быть, что-нибудь здесь со временем напишу).

Но до того попробую повторить... (в общем, я понял, в истинное музыковедение мне соваться нельзя).

1. Констатируется некая роль "гармонической" пропорции - "гармоническая сила", делящая октаву "гармонически" на квинту и кварту. Царлино, упоминая это деление (рисуя на картинках ), потом так или иначе применяет эту "гармоническую" пропорцию к делении квинты, получая б. и м. терцию.

2. При этом расположение внизу большего интервала (большой терции при делении квинты и, по всей видимости, квинты при делении октавы) трактуется как "гармонически" более совершенное, более естественное. И опять же, опытные теоретики с развитым гармоническим слухом и без трактатов устанавливают "безусловное доминирование именно большого трезвучия" в музыке тех времен. А позже Рамо, как я опять же попутно упомянул - в этом вопросе совершенно определен: "естественный (гармонический) порядок" при делении октавы - это внизу квинта, вверху кварта, при делении квинты - внизу б. терция, вверху малая (т.е. мажорное трезвучие). Более того, чрезвычайно запутав свои рассмотрения, он очень хочет, чтобы и гармоническая, и арифметическая пропорции обе давали внизу квинту при делении октавы и большую терцию при делении квинты. Понятно, в строгом смысле это нелепица, но Рамо своеобразно хитрит, а я не могу сейчас подробно этот интересный момент в его "Трактате" комментировать.

3. Однако интересно, что, по всей видимости, с точки зрения античной теории "правильным" (гармоничным) делением было такое, в котором меньший интервал был бы внизу, то есть: "правильное" деление (гармонической) пропорцией октавы заключается в том, чтобы внизу была именно кварта, а не квинта (созвучие "квартоквинта"). Для этой же цели (чтобы внизу был меньший интервал) и была, скорее всего, изобретена гармоническая пропорция.
Соответственно, если этот же принцип "меньший интервал - внизу" перенести на деление квинты (у Царлино), то "правильным" ("гармоничным", более отвечающим "гармонии") с точки зрения "древних греков", получилось бы именно минорное трезвучие. Именно это и все и любопытно. Может быть, отличие в гипотетическом отсутствии у греков "вертикалей" как таковых, и т.п. и т.д. А Царлино, естественно, следует реальной практике музыки своего времени, для которой очевидно, что "внизу" должен быть больший интервал.

[Zub01]

Огромное вам спасибо уважаемый Zub01 за данную ссылку. Скачал всё, что там есть ( жаль последние два раздела ещё не набраны).

Уважаемый Sergeus! ОК, я беру назад свои слова про то, что "музыковеды не читают" Ван дер Вардена .
Да, мне понравилось, что автор сайта, что называется, с "умом" разместил публикацию статьи (выделения цветами, ссылки-комментарии и проч.). Будем надеяться, что скоро появятся недостающие разделы.

Наткнулся я на эту ссылку, надо сказать, случайно: набрав в яндексе слова "Нета Паранета пропорция"

Но по этому же поиску обнаружился, как мне кажется, очень интересный ресурс - сайт одного новосибирского ученого Щетникова, автора довольно дельных статей (одна из них мне так понравилась осмысленностью, что я включил ее в библиографию о Евклиде в одной статье для энциклопедии, которую я, извиняюсь за выражение, написал). ТАк вот, у этого А. Щетникова (http://www.nsu.ru/classics/pythagoras/index.htm ), среди прочего, есть статьи:
- Развитие учения о музыкальной гармонии от Пифагора до Архита (pdf) - я не вникал пока, но, кажется, вполне дельная статья (впрочем, в истинное музыковедение она может быть не принята ввиду того, что он пишет "сверхчастная" вместо "сверхчастичная" или "энгармоническая" и т.п.). По словам автора, обзор примерно тот же, что и у Ван дер Вардена, только местами чуть более развернуто изложенный.

и переводы (!!!)
- CORPUS ARISTOTELICUM. Музыкальные проблемы. Пифагорейская гармония: исследования и тексты. Новосибирск: АНТ, 2005, с. 66–80 (ок. 300К).

-ПСЕВДО-ЕВКЛИД. Деление канона. Пифагорейская гармония: исследования и тексты. Новосибирск: АНТ, 2005, с. 81–96 (ок. 300К). ( до сегодняшнего дня наивно думал, что единственный имеющийся полный как бы "перевод" "Sectio canonis" на русский есть только у герцмана в его упчкокнижке "пиф. музыкознание" (2003). Перевод Щетникова я пока не читал )

И вот, на закуску для любителей:
НИКОМАХ ГЕРАЗСКИЙ. Введение в арифметику. Новосибирск: АНТ, 2006 (ок. 500К).

Я вообще понятия не имел, что кто-то у нас, наконец, удосужился перевести книжку Никомаха. (Эта книжка - совершенно гениальное введение в "пифагорейскую арифметику" - едва ли не первое сочинение "популярного жанра", где нет ни одного доказательства, но "попсово-увлекательно" излагаются очень многие принципы, чтение крайне увлекательное, хотя местами, конечно, запутанное).

[Olorulus]

ОК, я беру назад свои слова про то, что "музыковеды не читают" Ван дер Вардена .

"Музыковеды" читали ван дер Вардена, откопированного на "Эре", задолго до того, как Вы увлеклись старинными темперациями.

Но по этому же поиску обнаружился, как мне кажется, очень интересный ресурс - сайт одного новосибирского ученого Щетникова, автора довольно дельных статей <...> я не вникал пока, но, кажется, вполне дельная статья (впрочем, в истинное музыковедение она может быть не принята ввиду того, что он пишет "сверхчастная" вместо "сверхчастичная" или "энгармоническая" и т.п.)

Не только поэтому (вообще-то мне странно, что Вы как-то вдруг и причем настойчиво стали отстаиваеть терминологическую небрежность). Щетников - замечательный популяризатор древней науки, спасибо ему за это. Он быстро переводит, затем делает массовую e-mail рассылку и... не слишком "заморачивается" точностью.

<...> и переводы (!!!) <...> И вот, на закуску для любителей: НИКОМАХ ГЕРАЗСКИЙ. Введение в арифметику.

Прежде чем ставить восклицательные знаки, может быть, все-таки "вникнуть"? Мне интересно было бы как раз узнать мнение "вникнувшего" математика. Хотя бы сравнить его перевод с переводом Ooge - было бы Вам вполне по силам. А нам ("любителям") на пользу.

На закуску фрагмент перевода Щетникова из "Гармоники" Никомаха:

Величина гармонии — слог и повышение. Повышение больше слога на сверхвосьмерное. Ведь от гипаты до мессы — слог, от месы до неты — повышение, от неты до триты — слог, от триты до гипаты — повышение. Между месой и нетой — сверхвосьмерное, слог — сверхтретий, повышение — полуторное, гармония — двойная. Таким образом, гармония — это пять сверхвосьмерных и два диеза. Повышение — три сверхвосьмерных и диез, слог — два сверхвосьмерных и диез.

[Olorulus]

Эта книжка - совершенно гениальное введение в "пифагорейскую арифметику" - едва ли не первое сочинение "популярного жанра", где нет ни одного доказательства, но "попсово-увлекательно" излагаются очень многие принципы, чтение крайне увлекательное, хотя местами, конечно, запутанное).

Может быть, основы арифметики излагаются у Никомаха и "попсово" (Вам виднее), но в целом все-таки эту книгу я бы не рискнул назвать "попсовой". Вот фрагмент из этой книги, для тех "любителей", кого может ввести в заблуждение Ваша торопливая оценка ее жанра.

Приводимый ниже фрагмент "Арифметики" Никомаха - глубокое философское обоснование "трехчленного" алгоритма выведения видов неравенства из равенства (широко известного в Средние века как saltus Gerberti), о котором дальше (I.23; в "Арифметике" Боэция соответствует I.32) подробно идет речь. Считается (Теон Смирнский), что изобретателем алгоритма был Эратосфен (3 в. до РХ), от которого, впрочем, ничего не осталось, так что описание алгоритма в "попсовом" изложении Никомаха - первое в истории.

Даю в своем переводе, т.к. перевод Ooge (без сомнения, очень хороший!) несколько затемняет категории платонизма (если будет интересно, уточню потом, как именно "затемняет"), в которых мыслит пифагореец Никомах:

...Есть более изысканный и совершенно необходимый для всей науки о природе сущего метод, который предельно ясно и неоспоримо представляет нам факт: прежде всего, прекрасное, определённое и постижимое по природе предшествует тому, что неопределённо, непостижимо и безобразно; далее, частям и видам неведомого и неопределённого этот [метод] придаёт форму и определяет их; через него они достигают надлежащей меры и упорядоченности, и как под воздействием перстня с печаткой или как от мерила всё, что попадает [под их влияние], получает свою долю подобия и одноимённости. Поэтому правильно, если разумная часть души будет приводить в порядок неразумную ее часть; и если страсть и вожделение , [как бы] входящие в два вида неравенства, будут организованы мыслительной способностью, как бы с позиций равенства и тождества. Из этого процесса выравнивания надлежащим образом у нас возникнут так называемые этические добродетели — сдержанность, мужество, спокойствие, самообладание, выносливость и т.п.

Примечание 1. У Платона «животная» часть души, τὸ ἐπιθυμητικόν, делилась на θυμός страсть и ἐπιθυμία вожделение.
Примечание 2. ἀπίσωσις (выравнивание) -- риторическая фигура, в паре с παρίσωσις (одинаковое построение частей предложения).