Алексей Степанович Оголевец

[commator]

...
внутри самой электротехники естественным образом возникают горизонтальные и вертикальные конструкции
...
http://www.px-pict.com/5/3/3.html

(где горизонтали соответствуют эквипотенциальным линиям, а вертикали – линиям тока)

Я хорошо знаком с подобной интерпретацией электрических схем, т. к. не одну сложную схему разбил не простые блоки имено приводя все цепи протекания тока к вертикальному виду.

Но для составления электротехнического аналога музыкальной мелодии лучше подошло бы горизонтальное протекание мелодического тока по оси времени нотоносца. Поэтому для каждой мелодической линии мне сейчас видится горизонтальная цепь активных и пассивных четырёхполюсников, способных при расположении параллельно нотоносцам наглядно описывать упомянутый Оголевцем процесс накопления/расходования гармонического потенциала, при замыкании его цепями мелодических нагрузок.

В алгебраическом виде (сонантометрия) я это уже имею и шесть лет использую. Может быть разберусь и с распределением активности/пассивности элементов мелодико-гармонической цепи музыкального тока. Скорее всего подтвердятся идеи АСО насчёт существования векторов направленности элементов тональной системы.
Я приходил к выводу о возможности их приписывания сонантам. Чтение книги АСО, столь неожиданно и любезно Вами предложенное в связи с этой темой, укрепляет мысли о небходимости учёта этой важной особенности кирпичей тональности.

Хочу обратить внимание на то, что одной из базовых величин электротехники является напряжение, которое имеет высоту.
В музыке то, что имеет высоту называется тон, который в конечном счёте обозначает напряжённость воспринимающей системы.
И разве не электричество сегодня всё больше и больше затягиеает в свою чёрную дыру пространство существования живой акустической музыки?
Остаётся надеяться, что бесконечность акустики такова, что всё её пространство помножить на приставку "электро" никогда не удастся.

[Математик]

Но ведь называя групповую операцию словом “композиция” Абель с Галуа ориентировались на смысл этого слова, а не просто “прикалывались”. Смысл же слова “композиция” получает свою поддержку (я буду на этом настаивать) от элементарной музыкальной операции “составления” музыкальных интервалов, суть которой очень доходчиво растолкована на раскритикованной Вами странице:
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html#2

Это операция в "группах преобразований” (точнее, операция “умножения” “стрелочек” (“arrows”), из которых состоят эти преобразования) происходит из элементарной музыкальной операции “композиции” музыкальных интервалов (которые, конечно, мы тоже можем интерпретировать как “стрелочки”), а не наоборот.

Согласитесь все же, Zub01, что “композиция” стрелочек в композиции преобразований (или функций):
http://en.wikipedia.org/wiki/Function_composition

ну просто очень напоминает вышеупомянутую операцию составления музыкальных интервалов.

И мы должны помнить при этом всегда, что операция композиции функций – это не абы какая операция в математике. Это – поистине вездесущая операция, что я и пытался акцентировать здесь:
http://dxdy.ru/post221084.html#p221084
http://dxdy.ru/post222463.html#p222463

[Математик]

По моим электротехническим аналогиям теперь гармоническая вертикаль аналог напряжения, а мелодическая горизонталь соответствует току.

Мне подобные аналогии интересны вот еще почему (если бы удалось показать, что подобные аналогии корректны). Как известно, в электротехнике ток “двойственен” напряжению, что порождает специфическую теорию “двойственности” в электротехнике:
http://en.wikipedia.org/wiki/Duality...ical_circuits)
Посредством указанной аналогии мы могли бы прийти к некоторой теории двойственности между мелодической горизонталью и гармонической вертикалью в музыке, которая, возможно (со временем ), могла бы дополнить то, что уже сейчас указано на странице "Duality":
http://en.wikipedia.org/wiki/Duality

"Duality may refer to:
In philosophy, logic, and psychology:
……..
In mathematics:
……..
In science:
……..
In music:
Duality (Lisa Gerrard & Pieter Bourke album), a 1998 album by Lisa Gerrard and Pieter Bourke
"Duality" (song), a 2004 single & Grammy-nominated song by Nu-metal band Slipknot
Duality (Ra album), a 2005 album by the rock band Ra
Duality, a 2007 single from alternative rock/punk rock band Bayside"
------------------------
В частности, если считать (грубо-условно), что пифагорейский строй – для горизонтали, а "чистый строй" для вертикали, то мы могли бы получить, что эти “две основные теоретические системы прошлого”:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/1/2.html

являются в определенном смысле двойственными друг по отношению к другу, что и проявляется, в частности, в обратном соотношении между диатоническим и хроматическим полутонами в этих системах.

[commator]

... построение было мотивировано именно конструкциями теории музыки ...

Такое же ощущение имел лет тридцать назад. Обратил внимание в какой-то книжке о теории чисел на способ построения множества целых чисел через конструкцию интервала, образованную парами любых натуральных чисел.
Не знаю так ли возникла эта идея, но иллюстрировать её музыкальным способом так же удобно, как иные абстракции иллюстрируют геометрически.
Почему бы не добавлять в уроки музыки общеобразовательной школы этакую "геометрию для слуха"?

[commator]

...если считать (грубо-условно), что пифагорейский строй – для горизонтали, а "чистый строй" для вертикали, то мы могли бы получить, что эти “две основные теоретические системы прошлого”:
http://www.px-pict.com/7/3/2/4/1/2.html

являются в определенном смысле двойственными друг по отношению к другу, что и проявляется, в частности, в обратном соотношении между диатоническим и хроматическим полутонами в этих системах.

Я больше склонен считать, что подобно возможности существования любых систем счисления в среде минимальной двоичной, любую систему существования музыки можно изобразить минимальной пифагорейской.

Уверяю Вас, что и по горизонтали и по вертикали пифагорейская большая терция или дитон или четвёртая доминанта будет вызывать ощущение грязи, т. к. из-за нелинейной зависимости между величинами стимулов и их ощущений (закон Вебера-Фехнера) в ощущениях всегда маячит фантом гармонической большой терции.
Только пониженние пифагорейской терции на синтоническую комму (пифагорейская комма тоже сгодится) снизит помеху ощущения этого стимула до невоспринимаемого уровня.
Проще говоря, операции с коммами переводят минимальный строй Пифагора в состояние совпадения со строем любого следующего предела чистоты интонации. Вертикаль и горизонталь не могут в общем случае бесконфликтно сосуществовать в одном многоголосии если и та и другая не используют системы чистой интонации одного и того же предела.

[Математик]

Тогда уже, может, не 20, и не 200, а 2500 лет назад?
Во всяком случае, та “свободная абелева группа G с бесконечным базисом”:

о которой пишет в своей книге “Лекции по теории алгебраических чисел” Э. Гекке,
была построена именно тогда (в своеобразном представлении):
http://www.px-pict.com/7/4/2/2.html

И, как мы видим, ее построение было мотивировано именно конструкциями теории музыки.

И не с тех ли пор пошла мода называть групповую операцию (в данном случае, это будет “операция составления отношений") "законом или правилом композиции"?

Так делает, например, тот же Э. Гекке при определении понятия группы:
http://www.px-pict.com/9/5/2/5/2/5.html

Ерунда. Не было никакой "теории пар" в том виде, как это изложено (это просто современная удобная интерпретация с необходимой строгостью), и, главное - не было в "Началах" никакого такого "определения", как приведено в этой книжке. Пропорциональность в 7-й книге (определение 20) определяется "по Евдоксу", примерно как "(четыре) числа пропорциональны, если первое представляет собой то же кратное, или ту же часть, или те же части второго, как третье четвертого". Термин для пропорции - "аналогия" (могу дать греческий текст).

Важно то, что оба определения - это совсем не то же самое, что написано в цитированной Вами книжке. Также никак не видно (даже из самого текста Гекке), что "это построение было мотивировано теорией музыки". Всё наоборот - приписываемое Пифагору великое открытие связи музыкальных интервалов и числовых отношений (с уже готовой теорией пропорциональности) потому и велико, что, говоря современным языком, он установил как бы "изоморфизм" музыкальных интервалов и числовых отношений (рассматриваемых по фактор-отношению равенства пропорций), для которых была уже развита теория. Ключевым "моментом" такого "изоморфизма" было как раз то, что составление сложного интервала как раз вполне отвечало "сложенному" отношению (или даже "сложенной" пропорции).

Опять же, это всё расписано, например, у Ван дер Вардена. А в дальнейшем, действительно, многие авторы (скажем, автор Sectio Canonis) иногда в контексте музыкально-теоретических построений не различают собственно музыкальные интервалы и их числовые отношения. Единственная математическая конструкция, о которой можно сказать, что она возникла (во всяком случае, получила своё название) чисто "из музыкальной теории" - это гармоническая пропорция и понятие гармонической средней.

При чем здесь форма определения пропорциональности?
И при том, и при другом определении получается один и тот же результат.

Операция составления отношений была мотивирована именно задачами теории музыки. Равно как и становление множества других чисто арифметических конструкций направлялось музыкальной интуицией. См. об этом, например, у Мордухай-Болтовского:
http://www.px-pict.com/preprints/5.html

[commator]

... для составления электротехнического аналога музыкальной мелодии лучше подошло бы горизонтальное протекание мелодического тока по оси времени нотоносца. Поэтому для каждой мелодической линии мне сейчас видится горизонтальная цепь активных и пассивных четырёхполюсников, способных при расположении параллельно нотоносцам наглядно описывать упомянутый Оголевцем процесс накопления/расходования гармонического потенциала, при замыкании его цепями мелодических нагрузок ...

Ещё и без четырёхполюсников удерживания текущих вертикальных потенциалов во времени не обойтись. Время есть неотъемлемая часть картины мелодико-гармонического движения в схемах порождения музыкальных ощущений. Оно строго учитывается в нотной записи. Даже пустые высоты (паузы) имеют длительности.

[Zub01]

При чем здесь форма определения пропорциональности?

При том, что определения не совпадают, хотя и "получается один и тот же результат" (в математике много эквивалентных определений). В историческом рассмотрении необходимо анализировать оригинальные определения.

В общем, извините, не тратьте на меня время. У меня нет возможности (т.е. причина именно в этом, а не чём-то "личном" по отношению к Вам) давать пространные объяснения на эту тему. (И если Вы любите выдергивать цитаты, выдерните еще, например, из Ван дер Вардена, где он говорит о "готовой теории пропорций", которая как раз удачно применилась к гармонике ).

Могу ещё посоветовать получить систематическое (само)образование в области истории античной математики. Детальное штудирование книги Ван дер Вардена - для начала (и только для начала) - нормально. Потом можно читать нечто более современное и специальное, а также первоисточники.

[commator]

... в определенном смысле двойственными друг по отношению к другу ...

являются например плавное и скачкообраное движение в голосоведении.
Плавное движение секундами приводит к тому, что система восприятия тона активирует лишь один канал последовательной обработки для каждой мелодической линии. С каждой новой нотой каждый такой канал происходит перестраивает пик своей критической полосы на высоту этой новой ноты и фантом предыдущей ноты в текущем канале обработки существовать не имеет возможности.
В первом приближении можно считать, что ширина критической полосы не превышает большой секунды вверх/вниз от пика высоты настройки каждого канала обработки.

Скачки интервалами больше секунды заставляют систему активировать несколько каналов обработки для каждой мелодии со скачками. В каждом из активированных каналов появляется возможность для фантомного существования ощущений высоты предыдущих нот.
Возникает то, что называется скрытым многоголосием, извещая нас о включении параллельного режима обработки скачкообразного одноголосия.

[Математик]

Я больше склонен считать, что подобно возможности существования любых систем счисления в среде минимальной двоичной, любую систему существования музыки можно изобразить минимальной пифагорейской.

Уверяю Вас, что и по горизонтали и по вертикали пифагорейская большая терция или дитон или четвёртая доминанта будет вызывать ощущение грязи, т. к. из-за нелинейной зависимости между величинами стимулов и их ощущений (закон Вебера-Фехнера) в ощущениях всегда маячит фантом гармонической большой терции.
Только пониженние пифагорейской терции на синтоническую комму (пифагорейская комма тоже сгодится) снизит помеху ощущения этого стимула до невоспринимаемого уровня.
Проще говоря, операции с коммами переводят минимальный строй Пифагора в состояние совпадения со строем любого следующего предела чистоты интонации. Вертикаль и горизонталь не могут в общем случае бесконфликтно сосуществовать в одном многоголосии если и та и другая не используют системы чистой интонации одного и того же предела.

Вот в этом вопросе меня гложут сомнения. Всегда почему-то казалось, что для одноголосной музыки (взятой самой по себе) показан именно пифагорейский строй. Посмотрите, например, предисловие Н. Д. Баевой к одноголосному сольфеджио Н. М. Ладухина, где она пишет:

“Чтение с листа a capella в сольфеджио Н. М. Ладухина не допускает игры номеров на фортепиано, имеющего темперированный строй.
Как показывает практика, наилучшие результаты певческой интонации достигаются в пифагорейском строе, требующем владения интонацией 1/4 и 1/8 тона, соблюдения разницы в интонировании диатонических и хроматических полутонов и энгармонически совпадающих звуков при равномерной темперации.
В "Одноголосном сольфеджио" Н. М. Ладухин дает последовательное развитие ладового тяготения от диатоники, №№ 1 — 70 (на материале До мажора), требующей соблюдения широты в интонировании целых тонов и узости в 1/2 тонах, до хроматики, №№ 70 — 140, с острым интонированием 1/4 и 1/8 тона ”
http://www.px-pict.com/7/3/2/5/3/2.html

Почему там написано именно о пифагорейском строе (ЧИП3):
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/8/1.html
а не о "чистом" (ЧИП5):
http://www.px-pict.com/7/3/2/1/8/2.html
-----------------------
Саму книгу: Ладухин Н. “Одноголосное сольфеджио” можно взять здесь:
http://www.plib.ru/library/book/17629.html