Про обертоны и Хиндемита

[-Бу-]

Теория Хиндемита: http://musstudent.ru/biblio/48-music...-teoriyaryadov
Ещё с училища пытался понять две вещи - почему консонантна минорная терция (хотя в обертоновом ряду появляется уже за пределами первых 16-ти) и почему тритон - самый неустойчивый интервал. Недавно пришёл к забавным выводам.
Степень консонантности интервала определяется тем, насколько близко к основныму тону совпадают частоты их обертонов. У примы 1-й обертон первого звука совпадает с 1-м обертоном 2-го звука, у октавы 1-й со 2-м, у квинты 2 с 3, у кварты 3 с 4, у большой сексты 3 с 5, у большой терции 4 с 5, у малой терции 5 с 6, у малой септимы 4 с 7, у тритона 5 с 7, у малой сексты 5 с 8, у большой секунды 7 с 8, у большой септимы 9 с 17, у малой секунды 16 с 17.
Внимательный человек сразу же воскликнет, что всё это ерунда, поскольку 7-й обертон значительно ниже, скажем, 5-го обертона тритона. Что ж, давайте посмотрим не на абстрактные вычисления, а на реальные частоты сегодняшнего равномерно темперированного строя.
Возьмём ля контроктавы с частотой 55 Гц. Тритон к ней в условиях равномерной темперации составляет 77,78 Гц. Обертоны, о которых речь, получаем путём умножения: 55 * 7 = 385 Гц, 77,78 * 7 = 388,9 Гц. Согласно теории зонной природы слуха Гарбузова эти частоты воспринимаются нами как одна и в темперированном строе ближе всего к искомой ноте соль (392 Гц).
Хиндемит учитывает также разностный тон, но очень просто: поскольку большая терция есть 4-й и 5-й обертон, то 5 - 4 = 1, т.е. основной тон. А как на практике? Та же терция до-ми 1-й октавы даёт нам 329,63 - 261,63 = 68 Гц, что явно ближе к до-диезу (69,3 Гц), чем к до (65,41)! Тот же тритон по РКТ окажется значительно консонантнее: 77,78 - 55 = 22,78 Гц, фа-диез, что в сочетании с ля и ре-диезом даёт вполне консонантные малую терцию и большую сексту. По методам Хиндемита же получается звук либо на полтона ниже нашего: 7 - 5 = 2, что даёт, кстати, вполне безобидный малый мажорный септаккорд в гармонии с основным тоном, которым заканчивал прелюдию ещё Шопен, либо на целый тон ниже: 11 - 8 = 3, то есть, в данном случае, ми, который, конечно, дал бы неблагозвучную большую септиму, которую в реальности мы имеем как раз с большой терцией!
Не понимаю, почему нам всё это не объяснили ещё в училище.

[Фальстаф]

Теория Хиндемита: http://musstudent.ru/biblio/48-music...-teoriyaryadov
Ещё с училища пытался понять две вещи - почему консонантна минорная терция (хотя в обертоновом ряду появляется уже за пределами первых 16-ти)

ну это по отношению к основному тону, а так малые терции уже между 5 - 6 и между 6 -7 обертонами

[Olorulus]

Теория Хиндемита: http://musstudent.ru/biblio/48-music...-teoriyaryadov
Ещё с училища пытался понять две вещи - почему консонантна минорная терция (хотя в обертоновом ряду появляется уже за пределами первых 16-ти) и почему тритон - самый неустойчивый интервал. Недавно пришёл к забавным выводам.

1. Гармония (звуковысотная система) не выводится автоматически из муз. акустики.
2. Как выкручивается из проблемы малой терции (и большой сексты заодно уж) Хиндемит, ясно показал Холопов, 40 лет назад. Почитайте его статью.

[-Бу-]

ну это по отношению к основному тону, а так малые терции уже между 5 - 6 и между 6 -7 обертонами

Стало быть, в составе мажорного трезвучия или малого мажорного септаккорда. Меня же интересует же в первую очередь терция сама по себе, когда нижний тон интервала и есть основной (за неимением других). Или в виде минорного трезвучия, где основной тон в басу - тот же нижний звук терции.

1. Гармония (звуковысотная система) не выводится автоматически из муз. акустики.
2. Как выкручивается из проблемы малой терции (и большой сексты заодно уж) Хиндемит, ясно показал Холопов, 40 лет назад. Почитайте его статью.

1. А это очень интересный вопрос. Из чего же ещё она выводится?
2. Статью почитал, но никакого ответа на изложенное выше не получил. Хиндемит предлагает просто "трактовать оба этих интервала [м.3 и б.6] по образцу предшествующих, родственных им б. терции и м. сексты", исходя из сложившейся музыкальной практики и привычки слуха, а вовсе не из реального акустического положения вещей. При этом, когда это ему удобно для построения теории, он-таки обращается к акустике, но порядок этот случаен:
- чем комбинационные тоны большой секунды и малой секунды определённее комбинационного тона тритона? Почему тритон считается "правнуком"?
- чем неустойчив аккорд соль-си-фа, получающийся из тритона си-фа, если это прямой кусок натурального звукоряда и вполне устойчивая тоника ещё для Шопена, не говоря уж о Дебюсси, джазе и т.д.? Если принять во внимание теорию о том, что понятие устойчивого созвучия формировалось исторически по звукам обертонового ряда (прима, октава, квинта, кварта, терция, трезвучие, септаккорд, нонаккорд и т.д.), то малый мажорный септаккорд в этом ряду появляется сразу после трезвучия, что и доказала композиторская практика. А дальше - правильно - нонаккорд у Дебюсси, а дальше уже и до Прометей-аккорда недалеко.
- какое отношение имеют эти теоретические построения к реальному темперированному строю, в котором комбинационный тон большой терции даёт вовсе не удвоение основного тона, а совсем чуждый звук? Или же человеческий слух сам корректирует эту частоту, "подстраивая" разностный тон под имеющийся интервал?..

[Dmitrii]

Все-таки позволю себе немножко поумничать. Хоть оно и смешно в присутствии специалистов уровня Olorulus'a и Zub01, ну да ладно.

Степень консонантности интервала определяется тем, насколько близко к основныму тону совпадают частоты их обертонов.

В основе оно имхо так и есть. Разумеется, все здание классической гармонии и другие типы гармонических систем напрямую вывести из одного этого тезиса нельзя. Там, действительно, многое определяется историко-культурным контекстом. Но фундамент, в общих чертах - да, в этом. Как мне представляется.

В общем, примерно так ведь de facto и считалось всегда, начиная с Пифагора примерно. Только формулировалось иначе, в отношениях длин струн, потом - в отношениях частот. А именно:
"Консонирующими являются те интервалы, для которых отношения частот (длин струн) имеют вид m/n, где m и n достаточно малые взаимно простые числа."
По Пифагору m и n должны быть не больше 4, потом порог постепенно сдвинулся до 6, а Эйлер уже предлагал допустить и 7.

А это и означает, что образующие интервал частоты f1 и f2 должны иметь общие кратные, то есть общие обертоны, и частота наинизшего из них (равная наименьшему общему кратному чисел f1 и f2, т.е. f=n*f1=m*f2) должна не сильно во много раз превосходить частоты f1 и f2.
Т.е., другими словами:
"Интервал, образованный частотами f1 и f2 является консонирующим, если f1 и f2 имеют общие обертоны, и частота наинизшего из них не сильно велика по сравнению с f1 и f2."
Что, собственно, и сказал Бу.

PS: Опять-таки, я искренне извиняюсь перед вышеозначенными специалистами и всей почтеннейшей публикой, если что-то недопустимо упростил, вульгаризировал и т.п. Все-таки основа, на мой взгляд, здесь изложена верно. Ну и понятно, конечно, что это все вещи предельно банальные и никакого открытия Америк здесь нет.

[-Бу-]

PS: Опять-таки, я искренне извиняюсь перед вышеозначенными специалистами и всей почтеннейшей публикой, если что-то недопустимо упростил, вульгаризировал и т.п. Все-таки основа, на мой взгляд, здесь изложена верно. Ну и понятно, конечно, что это все вещи предельно банальные и никакого открытия Америк здесь нет.

Спасибо, всё верно, вопрос заключается в выводах из этого правила, согласно которым выходит (см. 1-й пост), что малая терция, тритон и малая септима консонантнее малой сексты, что, мягко говоря, странно.

[Olorulus]

Степень консонантности интервала определяется тем, насколько близко к основныму тону совпадают частоты их обертонов. У примы 1-й обертон первого звука совпадает с 1-м обертоном 2-го звука, у октавы 1-й со 2-м, у квинты 2 с 3, у кварты 3 с 4, у большой сексты 3 с 5, <skipped>

Спасибо, всё верно, вопрос заключается в выводах из этого правила, согласно которым выходит (см. 1-й пост), что малая терция, тритон и малая септима консонантнее малой сексты, что, мягко говоря, странно.

Кон- и диссонансы - не физические термины, это термины музыкальной науки. Любая попытка представить гармонию как естественно-научную дисциплину обречена на фиаско, что и показывает учение Хиндемита - последний потому и отступил от нее, что был хорошим композитором, а не кабинетным теоретиком.

Представления о кон- и диссонансе конвенциональны, исторически и этнически (в зависимости от локальных традиций) изменчивы. Условия этой конвенции изучает муз.-теор. дисциплина гармония.

[Dmitrii]

Спасибо, всё верно,

Да вот нет, не все верно.

вопрос заключается в выводах из этого правила, согласно которым выходит (см. 1-й пост), что малая терция, тритон и малая септима консонантнее малой сексты, что, мягко говоря, странно.

Да, Вы правы, если ограничиваться тем, что Вы сказали в посте #1, а я, более подробно, в посте #5, то такой парадокс, действительно, возникает. Не удается отнести чистую малую сексту к консонансам, сохранив при этом чистую малую септиму среди диссонансов. Это и означает, что в посте #5 я все-таки чрезмерно упростил картину.

Эта проблема с чистой малой секстой, насколько я понимаю, была осознана еще Царлино. Он и решение предложил, но это решение мне, если я правильно его понял, не очень нравится (с первоисточником я не знаком, но вроде бы у него малая секста представляется как составной интервал = кварта+чистая малая терция; кварта и терция - консонансы, потому, де, и малая секста тоже консонанс. Но дело в том, что так можно и большую септиму в консонансы записать, как квинта+чистая большая терция.)

По существу, аналогичные вопросы еще и в античной музыкальной науке обсуждались, со времен Аристоксена, только по отношению к другим интервалам - составным типа октава+консонанс. Например, ундецима=октава+кварта=2*4/3=8/3. Здесь тоже восьмерка возникает, как в малой сексте. Восемь больше, чем четыре, поэтому базовая пифагорейская концепция утверждает, что этот интервал - диссонанс. А слух подсказывает, что таки консонанс. Аристоксен больше доверял слуху и постулировал, что все интервалы вида консонанс+октава суть тоже консонансы.

Вот такой подход представляется мне весьма плодотворным. С его помощью можно разрешить и парадокс малой сексты. Например так:

Будем считать, что правило, описанное в посте #5 (имхо более четкий и подробный вариант того, что было сказано Вами в посте #1) позволяет определить не все, а лишь несколько основных консонансов. Если пороговое значение m и n взять равным 6, то это будут следующие интервалы:
1/1 - унисон,
2/1 - октава,
3/1 - квинта через октаву,
4/1 - двойная октава,
5/1 - большая терция через две октавы,
6/1 - квинта через две октавы,
3/2 - квинта,
5/2 - большая терция через октаву,
4/3 - кварта,
5/3 - большая секста,
5/4 - большая терция,
6/5 - малая терция.
И все. Малой сексты здесь нет. Как нет и кварты через октаву и многих других интервалов, обычно считаемых консонансными. Как же их непротиворечиво включить в это множество, так чтобы не притянуть вместе с ними и очевидные диссонансы - септимы и т.д.?

А вот как. Следуя аристоксеновской идее, добавим к этому множеству основных консонансов еще и дополнительные, "составные" консонансы. Но, в отличие от Аристоксена, будем считать таковыми не только интервалы вида "основной консонанс + октава", но и "основной интервал + k октав", где k - произвольное целое, возможно отрицательное число. Т.е. разрешим не только повышать на одну октаву верхний тон интервала, но и понижать, причем повышать и понижать не на одну, а на произвольное число октав.

Таким образом мы получим из основных консонансов все обычные консонансы, в том числе и малую сексту. Она получится из большой терции путем понижения верхнего тона на октаву.

А вот септимы, тритоны и прочие обычные диссонансы из основных консонансов так получить нельзя. Они так и останутся среди диссонансов. Что и требовалось.

PS: Хотел бы подчеркнуть, что не считаю возможным выстраивать на этой основе детальную иерархию интервалов, сказать, что вот этот консонанс "консонанснее" другого консонанса, а этот диссонанс - "более диссонансный" чем другой диссонанс. В этом отличие того, что пишу я, от того что предлагалось в посте #1. Считаю, что таким способом возможно лишь разделить все рациональные интервалы вида m/n (причем лишь с относительно небольшими m и n, ну, скажем, меньшими 12) на условно "консонансы" и "диссонансы", так, что это не будет противоречить исторически сложившимся в европейской музыкальной практике представлениям. Интервалы, разумеется, здесь рассматриваются изолированно, вне какого либо музыкального контекста, лада и т.п. Просто как отдельное вертикальное созвучие.

[commator]

... малые терции уже между 5 - 6 ...

Обращение малой терции образуют 3-й и 5-й элементы натуральной скалы.

[Musstudent]

Читая дискуссию, я всё-таки соглашусь с Olorulus. Хиндемит был хорошим композитором . Он не писал музыку, держа под рукой свой собственный труд. Это, может быть, попытка подражания тому же Кеплеру, Боэцию, пифагорейцам и иже с ними, когда он ими увлёкся. Система же родства звуков, интервалов и аккордов основана больше, имхо, на его личном чувствовании, под которое он попытался подвести обоснование акустико-математическое.